Diskussion:Gruppenlaufzeit

Fragen

• Warum kann man über die Veränderung der Phase eines Signals eine Aussage über die Zeitverzögerung treffen?
• Hat Gruppenlaufzeit auch etwas mit Gruppengeschwindigkeit zu tun? --Abdull 16:14, 17. Dez. 2006 (CET)

• • Hallo Abdull, den einfachsten Fall stellt ein monofrequentes Signal s(t) dar, dessen Zeitverlauf durch s(t)=cos(w*t+p) beschrieben wird (w soll seine Kreisfrequenz sein, die gewöhnlich mit dem griechischen Buchstaben 'Omega' bezeichnet wird. Der typographischen Einfachheit benutze ich hier auf der Diskussionsseite 'w'. Ebenso einfach nur 'p' anstelle des griechischen Buchstabens 'Phi'.) Die Phase des Signals ist - wie es auch im Artikel beschrieben wird - das Argument der Funktion, also w*t+p (nicht p allein, denn p ist nur der Nullphasenwinkel). Betrachtet man nun die Phase dieses Signals zu zwei verschiedenen Zeitpunkten, beispielsweise zum Zeitpunkt t1=0 und zum Zeitpunkt t2=T, dann erhält man im ersten Fall als Phasenwert p (den Nullphasenwinkel) und im zweiten Fall w*T+p. Die (negative) Ableitung der Phase nach der Kreisfrequenz ist laut Artikel die Gruppenlaufzeit des Signals. Der Differentialquotient kann bekanntermaßen durch den Differenzenquotienten angenähert und hier sogar perfekt ersetzt werden. Man erhält somit als Gruppenlaufzeit die Differenz der beiden Phasenwerte dividiert durch die Kreisfrequenz. Das ist (w*T+p-p)/w. Rechnet man dies aus, so bleibt nur T übrig und das ist genau der oben eingeführte Zeitunterschied, sprich die Zeitverzögerung des Signals. Zu deiner zweiten Frage: Genauso wie es einen Zusammenhang zwischen Laufgeschwindigkeit, Laufzeit und Wegstrecke bei einem Hundertmeterlauf gibt, nämlich Geschwindigkeit gleich Weg durch Zeit, ist auch der Zusammenhang zwischen Gruppenlaufzeit Tau und Gruppengeschwindigkeit v zu sehen, nämlich v=L/Tau, wobei L die (elektrische) Länge der Strecke ist, die das Signal zurücklegt. Gruß von --OS 09:30, 18. Dez. 2006 (CET)

Qualität

Nicht gegen den Artikelschreiber, aber irgendwie steht da Murks im Arikel, werde das mal ausbessern. -- Valentin2007 14:56, 20. Aug. 2007 (CEST)

Mathematische Bedeutung und ihre Folgen

Hallo, erst einmal super, dass auch jemand mit en der Korrektur der GLZ mitarbeitet. Deine Korrektur finde ich persönlich jeodch eine nicht korrekte Darstellung. Zu meiner erstmal rein mathematischen Begründung. Betrachten wir eine Übertragungsfunktion eines streng stabilen Systems. Wir erhalten eine Betragsfunktion und eine Phasenfunktion. Nach deiner Korrektur ist Phasenfunktion beschränkt auf den Bereich von -Pi/2 bis + Pi/2. Die Ableitung dieser Funktion ergibt nun die Gruppenlaufzeit. Jetzt zu meiner Meinung deiner Auslegung. Ist eine positive Ableitung möglich (negative GLZ)? Nach deiner Definition ja. Physisikalisch nein. Der Denkfehler liegt in der Umsetzung der Argumentfunktion. Der Arcus-Tangens ist nicht identisch der Argumentfunktion. Allerdings stimme ich dir überein, dass deine Variante vielfach falsch gelehrt wird. Betrachten wir das Ganze physikalisch. Die Bedeutung der GLZ ist die Verzögerung der Information des Signals. Wie groß ist diese Verzögerung denn? Nun sie kann sehr groß werden, keinesfalls negativ. Dies bedeutet bei einem Phasensprung an einer Pol bzw. Nullstelle nach deiner Defintion stets nur negative Phasensprünge. Dies ist jedoch nicht richtig. -- Valentin2007 17:22, 23. Aug. 2007 (CEST)

Hallo Valentin, du hast recht. Die Übernahme der Arcustangensfunktion war falsch. Diese stammte aber ursprünglich nicht von mir. Ich hatte nur das Argument der Übertragunsfunktion im Artikel angegeben und erst neulich nach deinen als „Murks-Verbesserung“ titulierten Änderungen, die aus meiner Sicht weder physikalisch korrekt noch stilistisch besonders schön waren, diese quasi aus Entgegenkommen stehen gelassen. Das war ein Fehler! Tatsache ist, dass in der Praxis der Gruppenlaufzeitmessung über die Phase (es gibt auch andere Verfahren) die Phase erstens mithilfe einer modifizierten Arcustangensfunktion (häufig ATAN2 genannt) für alle vier Quadranten, also im Phasenbereich zwischen −180° und +180° bestimmt wird und zweitens die Phase von Frequenzpunkt zu Frequenzpunkt „verfolgt“ wird, also über den genannten Wertebereich hinaus „unwrapped“ wird (wie die Amerikaner sagen). Damit gibt es keine Phasensprünge – weder positive noch negative. Da - wie du richtig schreibst - die Gruppenlaufzeit stets positiv ist und folglich auch die Phase eines Messobjektes immer fällt, habe ich die Arcustangensfunktion aus dem Artikel wieder entfernt. Danke für deinen Hinweis und deine kritische Anmerkung! Wenn du einverstanden bist, dann verschiebe doch bitte unser Gespräch auf die Diskussionsseite des Artikels, quasi für's Archiv. Gruß von --OS 07:46, 24. Aug. 2007 (CEST)

Überarbeitungen durch Wdwd

Danke für deine Mitarbeit! Du hast im ersten Satz die Definition der Gruppenlaufzeit ausdrücklich eingeschränkt auf „ein schmalbandiges Signal“. Das finde ich unnötig einschränkend und unpräzise. Aus der Definitionsgleichung der Gruppenlaufzeit folgt auch, dass diese Einschränkung überflüssig ist. Ferner hast du zwei aus meiner Sicht für das Verständnis wichtige Textpassagen gelöscht, nämlich „Linearer Phasengang bedeutet konstante Gruppenlaufzeit und keine Verzerrung des Signals. Die Abweichung der Gruppenlaufzeit von der Konstanten ist ein Ausdruck für den Grad der Nichtlinearität der Phase.“ sowie „Die maximal mögliche Gruppengeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen ist durch die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum gegeben und beträgt 299.792,458 km/s. Das entspricht rund 30 cm pro Nanosekunde (30 cm/ns). In der Atmosphäre wird die Geschwindigkeit durch die Permittivität der uns umgebenden Luft auf etwa 299.700 km/s reduziert. In Kabeln beträgt die Gruppengeschwindigkeit aufgrund der Permittivität des verwendeten Dielektrikums typisch rund 200.000 km/s.“ Bitte mache diese Änderungen rückgängig. Gruß von --OS 07:08, 4. Jan. 2008 (CET)

Hi OS,

1. ja das mit den schmalbandigen Bandpasssignal ist in gewisser Weise einschränkend. Ist der Versuch möglichst OMA-tauglich zu erklären, was denn nun eine "Gruppe" in diesem Kontext ist (Frequenzgruppe, aha, und was ist eine Gruppe von Frequenzen? -> Bandpasssignal) und in welchem Kontext der Begriff der Verzögerung da gemeint sein kann. Bessere Formulierungen (auch eine weniger einschränkende) sind gerne willkommen. Vielleicht hab ich das eh zu schwer verständlich formuliert. Momentan fällt mir nix besseres dazu ein. (Zur Not ganz raus, dann ist aber auch nicht erklärt was das ist und wo dieser Begriff der Gruppe nun herkommt)

2. Erste von Dir reklamierte Textpassage wieder eingebaut. Sorry, ist mir wohl beim hin&herverschieben verloren gegangen.

3. Die zweite Passage habe ich ganz bewusst rausgenommen. Beim ersten Edit noch mit Kommentartext, hab mich aber dann entschlossen diesen Abschnitt ganz rauszunehmen. Warum? Weil es in dem Artikel um die Gruppenlaufzeit geht. Es geht dabei nicht im Wellen welche auch vom Ort abhängen und wo Geschwindigkeiten vorkommen. Zwar sind Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit "benachbarte" Themen, aber obiger Abschnitt von Dir würde besser im Artikel Gruppengeschwindigkeit reinpassen. Es ist in Deinem Abschnitt ja auch nur noch von Geschwindigkeiten (Welle) die Rede und von keiner Laufzeit mehr, was eben sehr trefflich unter Gruppengeschwindigkeit passen würde.

ggf wäre ein wikilink auf die Artikel der Gruppengeschwindigkeit und Phasengeschwindigkeit sinnvoll. Das fehlt noch. Aber meiner Meinung dann nicht nur so als "hingeklatschtes" Siehe-auch was nichts erklärt, so wie es schon drinnen war, sondern mit entsprechenden Bezug.--wdwd 15:33, 4. Jan. 2008 (CET)

Nachtrag zu dem obigen zweiten Absatz Gruppengeschwindigkeit: Der Absatz ist auch inhaltlich nicht richtig. Es kann sehr wohl die Gruppengeschwindigkeit in entsprechenden Medien höher als die Vakuumlichtgeschwindigkeit sein (dann ist allerdings zugleich auch die Phasengeschwindigkeit kleiner c₀). Was hingegen nicht höher als c₀ sein kann, ist die damit transportierte Information. Denn die Gruppengeschwindigkeit für sich alleine ist kein Ausdruck für die Informationsgeschwindigkeit. Dies nur als Randkommentar, da es hier ansich nicht um Geschwindigkeiten geht. --wdwd 15:50, 4. Jan. 2008 (CET)

Didaktik

Das ist ja alles irgendwie richtig, aber letztlich für den Nichtfachmann unverständlich und selbst für den Fachmann verwirrend geschrieben. Wie kommt man denn auf die Formel zur Berechnung der Gruppenlaufzeit? Das ergibt sich eben nicht rein mathematisch, sondern physikalisch. Ich finde, dass man hier Vorbildern folgen sollte, mit diesen Schritten:

• um eine Nachricht zu übertragen, muss eine Modulation eines Trägersignals erfolgen
• im Umkehrschluss hat ein unmodulierter Träger keine Nachricht (ausser, dass der Sendemast noch steht)
• im einfachsten Fall ist der Träger sinusförmig
• die Modulation sei AM, der Modulator kann Gaussförmig sein, oder (besonders einfach zu rechnen) auch sinusförmig, mit geringerer Frequenz als der Träger
• die Laufzeit der Nachricht hat demnach nichts mit der Phase des Trägers zu tun, sondern mit der Laufzeit der Einhüllenden
• Der Kanal hat einen Phasengang
• die Laufzeit der Einhüllenden läßt sich als Differenzenquotient aus dem Additionstheorem für sin/cos herleiten
• ein modulierter Träger hat ein verschmiertes Frequenzspektrum
• es handelt sich also um eine Gruppe von Frequenzen
• durch Grenzübergang wird aus dem Differenzenquotienten der hier dargestellte Differentialquotient, das ist wirklich ein mathematischer Schritt
• auch nicht fehlen darf der Hinweis, dass zunächst mal unklar ist, was GL bedeuten soll, wenn die Betrachtung in einem Gebiet erfolgt, indem der Amplitudengang nicht flach ist, z.B. genau an der Eckfrequenz eines idealen Tiefpasses
• bzw: physikalisch ist die Gruppenlaufzeit zunächst mal nur dort definiert, wor wir im Durchlassbereich sind und G=1. Mathematisch kann man den Differentialquotienten immer bilden, nur was ist dann dessen physikalische Interpretation? Da wird in vielen Programmen gnadenlos drauflos gerechnet und die Gruppenlaufzeit für alle Frequenzen von DC bis Daylight ausgedruckt. Fragt sich nur, was das z. B. bei einem schmalen Bandpass bedeuten soll ...

--Herbert Eppler 15:40, 4. Jan. 2008 (CET)

Hi, ja gute Idee den Erklärungsversuch so anzugehen. Sehr konkret auf die Nachrichtentechnik bezogen, aber warum auch nicht. Baust Du es in dem Artkel ein?--wdwd 10:48, 5. Jan. 2008 (CET)

Grob Falsch

Ich habe noch einmal (jetzt 3x) drüber nachgedacht und ein schönes Beispiel gefunden: lineares System bestehend aus einem direkten Pfad und einem verzögerten Pfad (z. B. Bandgerät, Echogerät, etc.). H(s)= a + exp(-s*T). Man hat nur bei manchen Werten für a lineare Phase. Nun befolge ich genau den im Artikel angegebenen Algorithmus zur Bestimmung der Gruppenlaufzeit. Setzen wir a=1.1 und T=0.001 s. Was kommt heraus?

Rechenergebnis für Gruppenlaufzeit a=1.1

Zur Interpretation des Bildes: |H(f)| ist der Betrag oder die Magnitude der Übertragungsfunktion. Man befindet sich nahe an einer Nullstelle. D(f) ist die errechnete Gruppenlaufzeit. Sie ist überall nahe bei -0.5 ms, in der Nähe der Null schnellt dieser Wert auf + 10 ms! Das System hat also (wenig überraschend) eine mittlere Verzögerung zwischen 0 und 1 ms (negatives Vorzeichen heißt Verzögerung), jedoch nahe der Nullstelle wird aus der Verzögerung ein Voreilen (!), also akausal? Jetzt ändern wir den Parameter a ein bisschen und nehmen a=0.9:

Rechenergebnis für Gruppenlaufzeit a=0.9

. Das Ergebnis ist von der Magnitude kaum anders (wenn nicht gleich), auch der Betrag der Gruppenlaufzeit ist ähnlich (wenn nicht gleich), allerdings jetzt immer schön negativ, was zumindestens die Kausalität rettet. Zu Untersuchen wären jetzt Wellikel und ihre Interaktion im Zeitbereich mit diesem System. Aber man erkennt auch so: der hier beschrieben Algorithmus zur Berechnung der Gruppenlaufzeit benötigt Nebenbedingungen. Man könnte sagen: er gilt nur (die ganze physikalische Herleitung der Gruppenlaufzeit bedingt) wenn man von Polen und Nullstellen sich fernhält, also dann, wenn die Magnitude flach ist. Allpässe sollten auch damit leben können. Auf der Webseite von Julius O. Smith zur Signalverarbeitung

http://ccrma.stanford.edu/~jos/filters/Group_Delay.html

war das früher mal beschrieben, nach der Renovierung ist das jetzt in der Herleitung nur noch implizit enthalten, schade.

Und das Beispiel war noch freundlich. Wenn ich nämlich a=1 setze, so werden die Nullstellen "tief", d.h.: die Magnitude wird exakt 0. In diesem Fall ist der Phasenwinkel (Argument der komplexen Übertragungsfunktion) an einigen Stellen mathematisch nicht definiert. Der Phasengang hat also Lücken (vielleicht hebbar). Das Ganze dann noch zu differenzieren ist so hemdsärmelig mathematisch total daneben. Wenn man weiter drüber nachdenkt, so kommt man darauf: je tiefer die Nullstelle, desto mehr entartet die Phasenfunktion zu einer unstetigen Sprungfunktion an jeder Nullstelle im Beispiel, der Wert springt von +90 auf -90 Grad. Möglich, dass man das mit Hilfe von Distributionen in den Griff kriegt, die Gruppenlaufzeit wird dann zu einer Delta-Distribution. Es wird schwer fallen, dieses Ergebnis als naive Fortsetzung zu interpretieren.

Das Beispiel ist auch so schön, weil man sich die Verhältnisse im Zeitbereich ohne Rechnung vorstellen kann. a sei 1. Gebe ich ein Wellikel ein, und ist T kürzer als die "Länge" des Wellikels , so wird das Wellikel breitgeschmiert am Ausgang erscheinen und die Gruppenlaufzeit läßt sich im Zeitbereich leicht als T/2 ermitteln. Mache ich T länger, so erscheinen zwei Wellikel am Ausgang, eine Laufzeit anzugeben wird dann schwierig.

Überarbeitung ist daher dringend geboten.

Übrigens: beim Abhören einer CD tritt eine Guppenlaufzeit von Jahren oder Jahrzenten auf, je nachdem, wann die Platte aufgenommen wurde ....

Wie muss man wohl die "ergebnisse" bewerten, die bei Lautsprecherübertragung "gewonnen" werden, durch blinde Anwendung des Algorithmus unterhalb der unteren Grenzfrequenz, also nahe an einer doppelten, wenn nicht gar vierfachen Nullstelle?

--Herbert Eppler 11:23, 26. Jan. 2008 (CET)

Hi, Herbert Eppler. Hab momentan nicht die Zeit Deine etwas längere Argumention im Detail nachzuvollziehen und kann derzeit inhaltlich nichts dazu sagen. Stimme Dir aber zu, dass die derzeitige Beschreibung im Artikel etwas "unrund" ist. Bitte tu' Dir auch keinen Zwang bzgl. Artikelüberarbeitung an; Es steht jedem frei das Überarbeiten-Knopferl zu drücken. - Ich hab den Artikel eigentlich nur deswegen (am Anfang) ein wenig umgestaltet, umgeschichtet und versucht nach besten Wissen das möglichst OMA-tauglich zu beschreiben, weil auf einer Qualitätsseite der Artikel eingetragen war und weil die Vermischung mit der Gruppengeschwindigkeit mir ins Auge gesprungen ist. Vielleicht auch auf den Qualitätsseite des Physikportals einen Link setzen, eventuell gibt's dann auch von anderen mehr. --wdwd 11:39, 26. Jan. 2008 (CET)

Kein Grund für Asche auf dem Kopf, ich habe früher auch munter mit den Formeln gerechnet. Irgendwann habe ich mich dann schon über die Ergebnisse bei einem Hochpass 1er Ordnung gewundert (bringe ich vielleicht noch), soviel Durchlaufzeit, wie kann das sein? Der Witz ist: es steht nirgendwo explizit, wie gefährlich das Rumrechnen ist. http://en.wikipedia.org/wiki/Arg_%28mathematics%29 zeigt einen Teil des Problems. Es gibt zig Seiten, die sich über gewaltige Werte der Gruppenlaufzeit ergehen, meist bei Lautsprechern. Eine Diskussion, ob diese Werte irgendeinen Sinn machen, findet nie statt. --Herbert Eppler 13:42, 26. Jan. 2008 (CET)

Hi, Herbert Eppler. Einige Punkte dazu:

1. Die Gruppenlaufzeit ist nichts weiter als die Ableitung (quasi die "Schieflage") der Phase über die Frequenz. Beim Abhören einer CD die 10 Jahre im Regal steht kann somit keine Gruppenlaufzeit von 10 Jahren vorliegen: Dazu müsste es Frequenzkomponenten geben, die vor 10 Jahren von der CD abgenommen wurden und heute ausgegeben werden. Wo ist das der Fall? Die Gruppenlaufzeit bei der Audio-CD samt CD-Player und Umfeld (alles wunderhübsch linear) ist doch praktisch 0. Egal ob Du die CD jetzt, in einer Woche oder in 10 Jahren abspielst. Da steckt doch schon eine grundsätzliche Begriffsvermischung drinnen.
2. Kannst Du bitte in Deinen Diagrammen den Phasengang noch mit einzeichnen? Quasi Betragsamplitudengang (|H(jw)|), Phasengang und Gruppenlaufzeit. (Mit MATLAB gezeichnet?)
3. In der Nachrichtentechnik wird vieles aus der Mathematik nicht "so eng" (=streng) gesehen, und auch über eine Delta-Distribution mal hurtig-mutig "d'rüberintegriert", genauso wie Unstetigkeiten bei Sprüngen. Ein recht "salopper" Umgang, was viele mit tieferen mathematischen Hintergrund durchaus zu Recht kritisieren. Man kann es grundsätzlich schon zeigen, dass das schlussendlich zwar so passen mag, nur sind Ausflüge in die Distributionentheorie meistens mehr als das übliche mathematische Niveau was auf Universitäten für technische Studien wie Nachrichtentechnik geboten wird bzw. werden kann. Und es wird daher die Distributionentheorie selbst bei "gehobenen" Lehrveranstaltungen für Nachrichtentechnik/Elektrotechnik bestenfalls gestreift, und nur am Rande erwähnt. (Wichtiger ist, wenn eher grundlegende Bereiche und zumindest partiell sowas wie Funktionentheorie bekannt ist). Zumindest meine persönliche Erfahrung.--wdwd 19:29, 27. Jan. 2008 (CET)

1. Man kann es so sehen, dass das Abspielen einer CD, die vor 10 Jahren aufgenommen wurde, eine Verzögerung von 10 Jahren bedeutet. Bei einer Verzögerung in diesem Sinne ist H(s)=exp(-sT),

also völlig linear, Gruppenlaufzeit konstant. Aber amüsant, sich das so vorzustellen.

1. Nee, Gnuplot, ich glaube, da gehen nur zwei Funktionen sinnvoll, mit yaxis und y2axis, eine dritte Achse gibt es wohl nicht, aber man kann noch einmal Phase und Ableitung miteinender zeichnen.
2. Tradition ist Schlamperei, im Ernst, das geht so einfach wirklich nicht, wie soll man denn die Ergebnisse sinnvoll interpretieren? Mathematisch muss es sauber sein und das geht auch.
3. Anderes Beispiel: mit einem Hochpass 1ster Ordnung kann ich je nach Grenzfrequenz beliebe Gruppenlaufzeiten bekommen. 1 s ist kein Problem. Wir wissen alle, dass das auf bandbegrenzte Signale bis 20 Hz keinerlei Einfluss hat. Man muss ja auch immer bedenken, wie das Wellikel dazu aussieht. Um z. B. die Gruppelaufzeit bei 1 Hz im Zeitbereich zu ermitteln, brauche ich z. B. ein Wellikel, dass 10 s lang ist. 1 s Verzögerung ist dann etwas ganzu anderes.
4. Anderer Gedanke: die Nullstellen im Übertraghungsband des ersten Beispieles wirken zunächst etwas gekünstelt, aber: die s-Ebene kennt auch negative Frequenzen. Die Nullstelle bei 0 liegt also auch immer "mittendrin". Schon für einen Hochpass 1ster Ordnung ist die Lücke im Phasengang bei 0 nicht hebbar. Ich fcinde das alles sehr lehrreich. --Herbert Eppler 23:05, 27. Jan. 2008 (CET)