Theoretische Elektrotechnik

Die Elektrostatik

Poisson-Differentialgleichung

$\triangle \varphi ({\vec {r}})=-{\frac {\rho ({\vec {r}})}{\varepsilon }}$

Laplace-Differentialgleichung

$\triangle \varphi ({\vec {r}})=0$

Spezialfälle

Multipolentwicklung

Ausgangspunkt: Die spezielle Lösung der Poisson-Differentialgleichung

$\varphi ({\vec {r}})={\frac {1}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon }}\iiint _{V}{\frac {\rho ({\vec {\tilde {r}}})}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert }}\;d{\tilde {V}}$

Taylorreihen Entwicklung von ${\frac {1}{\Vert {\vec {r}}-{\vec {\tilde {r}}}\Vert }}<center><math>\varphi ({\vec {r}})\approx \underbrace {\frac {Q_{ges}}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot \Vert {\vec {r}}\Vert }} _{\mbox{Monopolnäherung}}+\underbrace {\frac {{\vec {r}}\cdot P_{1}}{4\cdot \pi \cdot \varepsilon \cdot \Vert {\vec {r}}\Vert ^{3}}} _{\mbox{Dipolnäherung}}$

Die vollständigen Maxwell'schen Gleichungen (Maxwellsche Gleichungen)

Die Maxwell'schen Gleichungen lassen sich mit dem Satz von Gauss und Stokes sowohl in differentieller als auch in integraler Schreibweise ausdrücken:

${\mbox{rot}}{\vec {H}}={\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}$	$\leftrightarrow$	$\oint _{c}{\vec {H}}\;d{\vec {s}}=\iint _{A}\left({\vec {J}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\right)\;d{\vec {A}}$
${\mbox{rot}}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	$\leftrightarrow$	$\oint _{c}E\;d{\vec {s}}=-{\frac {\partial }{\partial t}}\iint _{A}{\vec {B}}\;d{\vec {A}}$
${\mbox{div}}{\vec {B}}=0$	$\leftrightarrow$	$\iint _{A}{\vec {B}}\;d{\vec {A}}=0$
${\mbox{div}}{\vec {D}}=\rho$	$\leftrightarrow$	$\iint _{A}{\vec {D}}\;d{\vec {A}}=\iiint _{V}\rho \;dV$

Wobei die letzten beiden Flächenintegrale auch Ringintegrale sind (mit dem verfügbaren TeX nicht datstellbar?!).

Materialgleichungen

Die Beziehungen zwischen:

• ${\vec {D}}$ und ${\vec {E}}$
• ${\vec {B}}$ und ${\vec {H}}$
• ${\vec {J}}$ und ${\vec {E}}$

Werden durch die Materialgleichungen beschrieben.