Verallgemeinerte Poisson-Verteilung

Die verallgemeinerte Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die vor allem in der Versicherungsmathematik verwendet wird. Im Vergleich zur Poisson-Verteilung besitzt sie zwei Parameter, ist dadurch wesentlich flexibler als diese.

Definition

Eine diskrete Zufallsvariable $X_{n}$ unterliegt der Verallgemeinerten Poisson-Verteilung mit den Parametern $\lambda$ (Ereignisrate) und $\theta$, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten

$P(X_{n}=k)=\theta (\theta +k\lambda )^{k-1}\;\mathrm {e} ^{\theta -k\lambda }$

besitzt.

Eigenschaften

• Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert. Diese Eigenschaft nennt man Overdispersion.
• Für die verallgemeinerte Poisson-Verteilung sind Rekursionen für die Summenverteilung bekannt, wie man sie auch aus der Panjer-Verteilung kennt.
• Für viele Anwendungsfälle ist die implizite Definition der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ausreichend.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\operatorname {E} (X_{n})={\frac {\theta }{1-\lambda }}$.

Varianz

Für die Varianz erhält man

$\operatorname {Var} (X_{n})={\frac {\theta }{(1-\lambda )^{3}}}$.

Standardabweichung

Aus der Varianz erhält man wie üblich die Standardabweichung

$\sigma ={\sqrt {\frac {\theta }{(1-\lambda )^{3}}}}$.

Variationskoeffizient

Für den Variationskoeffizienten ergibt sich:

$\operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {1}{\theta (1-\lambda )}}}$.

Schiefe

Die Schiefe lässt sich darstellen als

$\operatorname {v} (X)={\frac {1-2\lambda }{\sqrt {\theta (1-\lambda )}}}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion hat die Form

$\phi _{X}(s)=e^{\theta (u-1)}$ mit $u=e^{is}e^{\lambda (u-1)}$.

Erzeugende Funktion

Für die erzeugende Funktion erhält man

$g_{X}(s)=e^{\theta (u-1)}$ mit $u=ze^{\lambda (u-1)}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion der verallgemeinerten Poisson-Verteilung ist

$m_{X}(s)=e^{\theta (u-1)}$ mit $u=e^{s}e^{\lambda (u-1)}$.