Diskussion:Potenz (Mathematik)

---

Mir fehlt hier der Lateinische Name dafür.

---

Ich versuchte, im ersten Absatz eine Ergänzung für nichtganzzahlige Exponenten und komplexe Exponenten unterzubringen. Dabei wurde die Formel zerstört. Ich habe die vorherige Version regeneriert. -- Hutschi 13:05, 15. Mär 2004 (CET)

Du hast versehentlich deinen Satz in eine Formel hineingeschrieben. Ergänzungen zu nicht ganzzahligen Exponenten kannst du in den Abschnitten "nicht ganzahlige Exponenten" und "komplexe Zahlen" hinzufügen. --SirJective 21:41, 15. Mär 2004 (CET)

---

Danke sehr für die Erklärung, SirJective. Ich habe bei der Definition noch einen Kurzen Hinweis zu nicht ganzzahligen Exponenten untergebracht, die ja dann weiter hinten erklärt werden. -- Hutschi 13:10, 17. Mär 2004 (CET)

Und ich hab ihn noch mit einem Link versehen. Wobei ich mich frage, ob dieser Hinweis wirklich nötig ist, da ja gleich danach das Inhaltsverzeichnis steht. --SirJective 21:44, 17. Mär 2004 (CET)

Das Problem dabei: Es ist eine Kurzdefinition, und die sollte, obzwar kurz, doch vollständig sein. Das Inhaltsverzeichnis gehört bereits nicht mehr zur Definition. Die Alternative wäre, das Inhaltsverzeichnis vorn hin zu stellen, dann gehört der gesamte Text zur Definition. Wäre aber schlechterer Überblick -- Hutschi 09:04, 18. Mär 2004 (CET)

0⁰

Nach welcher Definition, für welche Anwendung würde man $0^{0}$ einen anderen Wert zuweisen als 1?--Gunther 20:23, 29. Mär 2005 (CEST)

Ich habe in einem Buch nur die Andeutung gefunden, dass das etwa so ist, wenn man $f(x)=0^{x}$ stetig haben will anstatt $f(x)=x^{0}$. --Eldred 08:42, 30. Mär 2005 (CEST)

Wobei $0^{x}$ ja für $x<0$ ohnehin nicht definiert ist und $x^{y}$ egal mit welcher Definition an der Stelle $(0,0)$ nicht stetig ist. Gibt es irgendwelche Formeln, für die man Ausnahmen machen müsste, wenn $0^{0}=1$ ist? Gibt es irgendein Buch, irgendeine sonstige ernstzunehmende Referenz, die $0^{0}=0$ setzt?--Gunther 10:11, 30. Mär 2005 (CEST)

Was mir gerade aufgefallen ist, ist dass die Wurzel aus -27 nicht -3, sondern im bereich der Reellen Zahlen nicht definiert ist! (Abschnitt: nicht ganzzahlige Exponenten) Gruß Q

Es spricht wenig gegen die Definition ${\sqrt[{q}]{x}}=-{\sqrt[{q}]{|x|}}$ für negative x und ungerade q.--Gunther 13:52, 20. Okt 2005 (CEST)

Die Gleichung $-27=x^{3}$ ist sogar eindeutig lösbar in R, im Gegensatz zu $4=x^{2}$. --DFG 21:17, 12. Nov 2005 (CET)

Es ist keine gute Idee, ein Funktionsergebnis (mehr oder weniger) willkürlich festzulegen: läßt sich eine Gleichung, die keinen entsprechenden Ausdruck enthält, durch korrekte Umformungen so gestalten, daß ein solcher doch auftritt (oder umgekehrt), so liefert eine solche Funktion je nach Auslegung plötzlich unterschiedliche Ergebnisse! Vgl. „nochmal 0 hoch 0“ unten, an der Stelle mit ${\frac {\sin x}{\sin {2x}}}$

Die "willkürliche Festlegung" $0^{0}=1$ resultiert ganz einfach aus der Tatsachen $\lim _{x\to +0}x^{x}=1$. -- Jesi 05:45, 20. Sep. 2007 (CEST)

Kannst Du irgendeine Quelle angeben, die Deine Behauptung belegt? Genausogut könnte man ja auch sagen, dass $\lim _{x\to +0}0^{x}=0$ und daher $0^{0}=0$ sein muss. Grenzwertargumente sind jedenfalls untauglich, da $x^{y}$ an der Stelle $(0,0)$ unstetig ist und unstetig bleibt, egal, wie man $0^{0}$ definiert. Knuth argumentiert jedenfalls dahin, dass die Konvention $0^{0}=1$ viele Formeln vereinfacht, weil der Spezialfall 0 damit abgedeckt ist, der sonst extra behandelt werden müsste. Du kannst ja in der zitierten Arbeit die Argumente nachlesen (free download). Kahan argumentiert eher noch mit Grenzwerten und meint, dass bei den typischerweise in numerischen Anwendungen auftretenden Grenzwerten $0^{0}=1$ der richtige Limes ist. --NeoUrfahraner 08:49, 20. Sep. 2007 (CEST)

Eine konkrete Stelle habe ich jetzt auf Anhieb nicht gefunden, vielleicht finde ich ja mal noch eine. Dein letzter Satz unterstreicht ja meine Bemerkung (ich setze jetzt mal voraus, dass ich deine Frage auf das Problem der Festlegung und nicht auf die Tatsache lim_x->0 x^x = 1 bezieht). Aber es hat sich ja nun sowieso erledigt. -- Jesi 11:24, 20. Sep. 2007 (CEST)

Wegmachen eines Doppelpunktes

Ich habe dei der Gleichung a^m:n = n. Wurzel aus a^m. Dort war ein Doppelpunkt, welcher die Gleichung unlogisch machte.

Grüße,

MQ

Das ist ein verbreitetes Symbol, um anzudeuten, dass die linke Seite über die rechte definiert wird. Wird in der WP aber genau aus dem Grund, dass es eben nicht jeder kennt, abgelehnt.-- Gunther 21:24, 9. Apr 2005 (CEST)

Potenzen komplexer Zahlen

Existiert eigentlich irgendeine anschauliche Erklärung, was es bedeutet einen komplexen Exponenten zu verwenden? Bei rationalen Exponenten, kann man den Bruch als eine n-te Wurzel einer m-ten Potenz darstellen. Ist der Exponent reel, so ist die Potenz ein Grenzwert einer unendlichen Folge von Potenzen mit rationalen Exponenten.

Danke TR

Hm, gute Frage. Wenn die Basis positiv reell ist, geht es noch halbwegs:

$a^{x+\mathrm {i} y}=a^{x}\cdot a^{\mathrm {i} y}$

$a^{x}$ kennt man, und $a^{\mathrm {i} y}$ ist eine komplexe Zahl vom Betrag 1, entspricht also einer Drehung. Geht man von $y=0$ aus und macht dann $y$ größer oder kleiner, bewegt sich $a^{x+\mathrm {i} y}$ auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius $a^{x}.$

Für eine echt komplexe Basis wird das ganze wesentlich komplizierter, aber das kommt auch viel seltener vor. Dann gibt es keine stetige Potenzfunktion auf der ganzen komplexen Zahlenebene mehr, und man muss Wahlen treffen. Mit den "Hauptwerten" gilt

$\mathrm {i} ^{x+\mathrm {i} y}=\mathrm {e} ^{(x+\mathrm {i} y)\cdot \mathrm {i} \pi /2}=(\mathrm {e} ^{-\pi /2})^{y}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x\pi /2},$

d.h. jetzt bestimmt $y$ den Betrag und $x$ die Richtung. Für Basen $a$, deren Real- und Imaginärteil beide nicht Null sind, wird es nochmal komplizierter.

Kurz: $a^{z}$ für positive reelle $a$ funktioniert tadellos, $z^{n}$ für ganze $n$ auch, Wurzeln gehen gerade noch so halbwegs, Potenzen von zwei echt komplexen Zahlen kann man zwar definieren, es gibt aber einige Probleme.--Gunther 12:40, 22. Apr 2005 (CEST)

hyper4

wäre eventuell ein link auf diesen artikel sinnvoll? --Xenoborg 14:14, 16. Okt 2005 (CEST)

Frühestens, wenn die Fragen, die ich gerade eben dort gestellt habe, beantwortet sind...--Gunther 01:27, 17. Okt 2005 (CEST)

nochmal 0 hoch 0

Dass die Potenzregel

$a^{0}=a^{1-1}={\frac {a}{a}}$

für $a=0$ nicht anwendbar ist, stellt kein Hindernis dar; auch beispielsweise die Gleichung

$2={\frac {2a}{a}}$

verliert für $a=0$ ihre Gültigkeit, dennoch würde niemand auf die Idee kommen, deshalb die 2 als undefinierte Größe zu bezeichnen.--Gunther 01:48, 8. Nov 2005 (CET)

Ich will auch mal was zum Thema 0 hoch 0 sagen :D. Es ist ja bekannt, dass $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ und dass $e^{0}=1$ ist. Wäre $0^{0}\not =1$, so wäre auch $e^{0}\not =1$. Sagt man, $0^{0}$ ist nicht definiert, so würde ja auch folgen, dass exp an der Stelle 0 nicht definiert wäre. Was lernt man darauf? Immer schön $0^{0}=1$ setzen ;) --Dark-Immortal 09:48, 10 November 2005 (CET)

Null hoch Null

Ich verstehe nicht was der Vergleich mit e hoch 0 und Null hoch Null soll? Die Null hoch Null ist sobalt ich weiß nicht definiert -> Taschenrechner gibt Error aus. Außerdem ist e = 2,7... und somit ne Zahl ungleich Null, für die gilt e hoch Null = 1. Beweise mal das Null hoch Null = e hoch Null ist!

Das Argument ist anders. Es gilt

$\mathrm {e} ^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},$

also insbesondere

$1=\mathrm {e} ^{0}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {0^{k}}{k!}}={\frac {0^{0}}{0!}}+{\frac {0^{1}}{1!}}+\ldots =0^{0}.$

Klar?--Gunther 23:24, 9. Jan 2006 (CET)

Nein, es gilt

$\mathrm {e} ^{x}=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}},$

beweisen lässt sich so gar nichts. --mst 13:57, 18. Jan 2006 (CET)

Natürlich kann man nichts beweisen, es geht ja um eine Konvention. Aber nenne mir bitte ein ernstzunehmendes Buch, das die Gleichung in der von Dir angegebenen Form schreibt.--Gunther 13:59, 18. Jan 2006 (CET)

Bronstein schreibt sogar nur: $e^{x}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\dots$, ganz ohne Summe. Ich wollte damit auch nur sagen, dass in dieser Form der Exponentialfunktion die Konvention natürlich schon enthalten ist (wird im Artikel ja auch ausdrücklich erwähnt). --mst 14:38, 18. Jan 2006 (CET)

Das ist wieder etwas anderes, bei explizit ausgeschriebenen Summanden schreibt natürlich normalerweise niemand $x^{0}/0!$. Aber $k=0$ aus der Summe abzuspalten erscheint mir extrem ungewöhnlich.--Gunther 14:49, 18. Jan 2006 (CET)

Klar, ich wollte ja auch nur darauf hinweisen, dass sich aus dieser Darstellung nichts beweisen lässt, da die Konvention natürlich schon hereingesteckt wird. --mst 14:59, 18. Jan 2006 (CET)

Man kann auch umgekehrt schauen, wo allein in der Wikipedia die Konvention $0^{0}=1$ in diesem Zusammenhang verwendet wird. Und da findet man nicht nur Exponentialfunktion, sondern auch en:Exponential_function, fi:Eksponenttifunktio, fr:Exponentielle, he:פונקציה מעריכית, io:Exponentala, ja:指数関数 etc. Das sagt zwar auch nichts über wahr oder falsch, aber doch einiges über die Verbreitung der Konvention aus. --NeoUrfahraner 14:19, 18. Jan 2006 (CET)

Ich hab es schon ganz oben eingetragen: Die Festlegung $0^{0}=1$ resultiert ganz einfach aus der Tatsachen $\lim _{x\to +0}x^{x}=1$. -- Jesi 05:45, 20. Sep. 2007 (CEST)

Siehe meine Antwort oben. --NeoUrfahraner 08:49, 20. Sep. 2007 (CEST)

Änderung 13:44, 14. Jan 2006 Gunther

Wieso ist es Unfug zu verlangen, dass $2^{0}2^{0}=(2\cdot 2)^{0}$ auch modulo 4 gelten soll? --NeoUrfahraner 07:24, 16. Jan 2006 (CET)

Schließe in der Definition von $a^{0}$ nicht nur die Null, sondern beliebige Nullteiler aus, Problem gelöst. Die Frage, ob $4^{0}$ und $0^{0}$ modulo 4 dasselbe ergeben sollten, ist davon ja unabhängig. Allerdings ist so etwas i.w. für Polynome relevant, und da kann man sich ja immer mit $a_{0}+a_{1}x+\ldots$ herausreden (schließlich kann man Polynome auch über Ringen ohne 1 betrachten).--Gunther 12:15, 16. Jan 2006 (CET)

Mit anderen Worten, wenn man $0^{0}$ undefiniert lässt, muss man $a^{0}$ für jeden Nullteiler $a$ undefiniert lassen; das würde ich durchaus als Argument dafür gelten lassen, $0^{0}=1$ zu setzen. Wie dem auch sei, ich habe das Argument nur drinnen lassen, weil es schon da war; und da ich jetzt gesehen habe, dass es im Wesentlichen von Dir (Änderung 16:04, 4. Apr 2005) stammt, ist wohl niemand beleidigt, weil es jetzt weg ist. --NeoUrfahraner 13:31, 16. Jan 2006 (CET)

Deshalb hatte ich auch keine Bedenken, es als Unfug zu bezeichnen :-) Ich denke, wer $0^{0}$ undefiniert lassen will (und dafür ja einigen Aufwand betreiben muss, um die Formel für die geometrische Reihe usw. zu erklären), hat auch keine Probleme, das auf Nullteiler auszudehnen. Es sollte auch eher ein Argument gegen $0^{0}=0$ sein, aber das ist ja nicht die wesentliche Gegenposition, wie ich inzwischen gelernt habe.

Irgendwann kürzlich habe ich nochmal ein wenig darüber nachgedacht, wie das mit dem Potenzieren eigentlich genau funktioniert, und frage mich jetzt, ob man das nicht nochmal systematischer darstellen sollte:

• Für jedes Monoid gibt es Potenzen $x^{n}$ für $n\in \mathbb {N} _{0}$, und es gilt $(x^{n})^{m}=x^{nm}$ sowie $x^{n}x^{m}=x^{n+m}$. Für ein kommutatives Monoid gilt außerdem $x^{n}y^{n}=(xy)^{n}$.
• Für eine Gruppe (insbesondere die Gruppe der invertierbaren Elemente eines kommutativen Monoids) kann man das mit denselben Regeln auf $n\in \mathbb {Z}$ ausdehnen. Für abelsche Gruppen sind die Potenzgesetze nichts anderes als die Moduleigenschaften.
• Ist das Potenzieren mit Exponent $N$ eine Bijektion, so kann man die Potenzen auf Exponenten in $\mathbb {Z} [1/N]$ ausdehnen; insbesondere erhält man Potenzen reeller Zahlen ungleich 0 mit Exponenten in $\mathbb {Z} _{(2)}$.
• Schränkt man sich auf positive reelle Zahlen als Basis ein (eliminiert man also die 2-Torsion), erhält man Potenzen mit rationalen Exponenten.
• Nicht genau überlegt habe ich mir die minimalen Voraussetzungen dafür, dass man das auf reelle Exponenten ausdehnen kann.

Ist eine eher abstrakte Sichtweise, aber mit einer derartigen Übersicht sollte auch niemand mehr erschrecken, wenn irgendwo auf einmal Exponenten aus $\mathbb {Z} _{p}$ auftauchen. Man sieht aber auch gut das algebraische Problem, dass $0^{0}$ nur definiert ist, wenn die obere Null ein Element von $\mathbb {N} _{0}$ ist.--Gunther 13:59, 16. Jan 2006 (CET)

Der Artikel hier beschränkt sich in der Einleitung tatsächlich nur auf eine reelle Basis, die später lediglich auf eine komplexe Basis erweitert wird. Eine Überarbeitung bzw. Verallgemeinerung in die von Dir vorgeschlagene Richtung wäre durchaus denkbar (ich möchte mir die Mühe aber derzeit nicht machen). Für ganzzahlige Exponenten ist das ja mehr oder weniger Standard; für rationale und reelle (oder gar komplexe) Exponenten wird es aber wohl schwierig, interessante Beispiele außerhalb komplexer/reeller Basis zu finden. Außer diagonalisierbaren Matrizen fällt mir dazu nicht viel ein; da sollte das Potenzieren aber wohl im jeweiligen Artikel erwähnt werden und evtl. von Potenz nur dorthin verwiesen werden.

Was die "obere Null" betrifft: in http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node40.html#SECTION00530000000000000000 findet sich ja tatsächlich der Vorschlag As a rule of thumb, one can say that $0^{0}=1$ , but $0.0^{0.0}$ is undefined; da in der Mathematik aber die Null kein Mascherl hat, ob sie jetzt ganzzahlig oder reell ist, ist das nicht wirklich praktikabel. In der Informatik sorgt das aber durchaus für Diskussionen, insbesondere die Frage, was jetzt mit der komplexen Null sein soll, siehe z.B. http://gcc.gnu.org/ml/gcc/2005-03/msg00289.html --NeoUrfahraner 14:40, 16. Jan 2006 (CET)

Die verlinkte Diskussion wirkt aber nicht sonderlich fundiert... Zu anderen Basen: Es gibt z.B. einen kanonischen Isomorphismus ${\hat {\mathbb {Z} }}\to \mathrm {Gal} ({\bar {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q}),n\mapsto F^{n}$ (F = Frobenius). Übrigens ist mit der obigen Vorgehensweise $0^{0{,}1}$ undefiniert. Das mit der "oberen Null" ist auch weniger ein Argument pro/contra $0^{0}=1$, sondern eher eine Erklärung dafür, dass die ernstzunehmenderen Gegenargumente reelle Exponenten benötigen.--Gunther 15:10, 16. Jan 2006 (CET)

„… und dafür ja einigen Aufwand betreiben muss …“: $s_{n}=a_{0}+\sum _{k=1}^{n}a_{k}$${}=a_{0}+\sum _{k=1}^{N}a_{0}\cdot q^{k}$
Und schon tritt auch kein leidiges $x^{0}$-Problem mehr auf – ob nun $a_{0}$ bekannter- oder unbekannterweise 0 ist.

Die verlinke Diskussion wurde ja hauptsächlich von Compilerbauern geführt, denen kann die Unwissenheit in diesem Punkt verziehen werden. Ich weiß jetzt gar nicht, worauf sie sich geeinigt haben, vielleicht sollte ich demnächst nachschauen, was der gcc jetzt liefert. Ich habe im Artikel Potenz (Mathematik) nachgelesen; rationale bzw. reelle Exponenten sind im ARtikel derzeit tatsächlich nur für positive Basen (also nicht für 0) definiert; das sollte wohl behoben werden. Ebenso berücksichtigen die Argumente pro/contra $0^{0}=1$ derzeit nur Exponenten von $\mathbb {N} _{0}$; reelle Exponenten werden laut http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node40.html#SECTION00530000000000000000 in Louis M. Rotando and Henry Korn. The Indeterminate Form $0^{0}$ (Mathematics Magazine,Vol. 50, No. 1 (January 1977), pp. 41-42) behandelt. Anscheinend bezieht sich auch Kahan auf diese Arbeit; ich habe sie aber leider nicht zur Verfügung und beim Zitat in http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/node40.html#SECTION00530000000000000000 fehlen anscheinend irgendwelche Zusatzvoraussetzungen wie z.B. dass $f(x)\geq 0$. --NeoUrfahraner 15:52, 16. Jan 2006 (CET)

Gemeint sind da vermutlich positive Leitkoeffizienten, also $f(x)=x^{m}f_{1}(x)$ und $g(x)=x^{n}g_{1}(x)$ mit positiven ganzen $m,n$ und $f_{1}(0),g_{1}(0)>0$. Dann ist

$f(x)^{g(x)}=\exp(g(x)[m\log x+\log f_{1}(x)]),$

und das strebt relativ offensichtlich gegen 1 für $x\searrow 0$.--Gunther 16:06, 16. Jan 2006 (CET)

Potenzen sind rechtsassoziativ.

Mir fehlt in der Beschreibung, dass Potenzen rechtsassoziativ sind. Auf der Seite über Assoziativität steht als Beispiel für Rechtsassoziativität Potenz. Leider steht auf der Seite über Potenzen nichts über Rechtsassoziativität. :-(

Nun ja, das ist mMn doch sehr Ansichtssache. Ich finde, dass Potenzen eher "von oben" assoziativ sind als von rechts; z.B. würde ich ${}^{{}^{\sigma }\tau }x$ auch von oben klammern und nicht von rechts.

Wenn man das im Informatik-Zusammenhang für den Fortran-Operator ** sagen will, dann mag man das tun (falls es überhaupt stimmt, ich habe keine Ahnung von Fortran), aber die mathematische Notation ist kein gutes Beispiel.--Gunther 20:02, 25. Jan 2006 (CET)

Wo steht etwas von Rechtsassoziativität? Das einzige, was ich gefunden habe, ist Operatorassoziativität. Das Beispiel mit der Potenzierung in der Mathematik halte ich dort auch für schlecht gewählt (weil nicht unumstritten). Die Rechtsassoziativität ist jedenfalls keine beweisbare Eigenschaft der Operation, sondern lediglich eine Konvention, wie man fehlende Klammer setzen soll. --NeoUrfahraner 20:44, 25. Jan 2006 (CET)

Nun ja, auch wenn es keine beweisbare Eigenschaft ist und nur eine Konvention ist, so gehört diese doch zu den Potenzen. MMn gehört diese Konvention in den Text über Potenzen, da eine Konvention die Berechnung von derartigen Potenzen überhaupt erst eindeutig möglich macht und einfach eine Vorschrift ist, wie auch Punkt vor Strich.--AlGates 02:09, 28. Jan 2006 (CET)

Habe das ergänzt. Das Wort "Rechtsassoziativität" (um das es ursprünglich ging) ist hier aber mMn falsch.--Gunther 02:28, 28. Jan 2006 (CET)

Warnhinweis in Tabelle

Vgl. den Satz nach der Tabelle: Die Bedingungen sind eigentlich nur nette Dekoration, weil man die anderen Regeln anwenden darf, wann immer alle darin auftretenden Ausdrücke definiert sind. Die einzige Ausnahme ist eben die Regel $(a^{r})^{s}=a^{rs}$, und im Beispiel ist schon der im wesentlichen einzige Fall angegeben, in dem etwas schiefgehen kann. Es genügt also vollkommen, wenn man die erste Spalte und den Warnhinweis kennt.--Gunther 18:29, 5. Mär 2006 (CET)

Aber Bedingungen sind doch in einem Satz wie auch in der darunterliegenden Stufe einer Hierarchie von Regeln (Terminus dafür?) immer notwendiger Bestandteil der Regel, und nicht „eigentlich nur nette Dekoration“ - kann man das nicht ein bischen mehr ordnen? --Alfred Grudszus 18:38, 5. Mär 2006 (CET)

Die in der Tabelle angegebenen Bedingungen orientieren sich an dem folgenden Schema: Es gibt

• Potenzen mit beliebiger Basis und nichtnegativen ganzzahligen Exponenten
• Potenzen mit invertierbarer Basis und ganzzahligen Exponenten (oder allgemeiner rationalem Exponenten mit ungeradem Nenner)
• Potenzen mit positiver Basis und reellen Exponenten

Jeder dieser Begriffe funktioniert für sich genommen gut und erfüllt alle angegebenen Regeln ohne weitere Einschränkungen (ausgenommen natürlich Division durch 0). Erst wenn man die verschiedenen Konzepte mischt, gibt es Probleme.--Gunther 19:02, 5. Mär 2006 (CET)

Es tut mir leid, daraus geht jetzt immernoch nicht hervor, warum man „nette Dekoration“ stehen lassen muß. --Alfred Grudszus 23:54, 5. Mär 2006 (CET)

Das war auch nur die Antwort auf die Frage nach der Ordnung. Formal ist irgendwelche derartige Dekoration nötig, aber es handelt sich eben nur um typische Beispiele für Bedingungen, die die Gültigkeit sicherstellen. Um ein Gefühl für die Grenzen der Anwendbarkeit zu bekommen, sind charakteristische Gegenbeispiele mMn wesentlich hilfreicher.--Gunther 00:23, 6. Mär 2006 (CET)

"Fachausdruck 'Fortsetzung'"

Irgendwie ist die mathematische Sprache eine ziemlich verarmte... --Alfred Grudszus 18:41, 5. Mär 2006 (CET) P.S.: Sicher kommt jetzt jemand auf die Idee, sie nicht verarmt, sondern "genial vereinfacht" zu nennen... ;-)

Grammatik

[1], [2]. "Beliebig" ist kein Zahladjektiv.--Gunther 10:52, 6. Mär 2006 (CET)

Du beweist mal wieder, daß du nicht die leiseste Ahnung davon hast, wie Sprache funktioniert. Sprache muß nicht Regeln gehorchen, die Regeln gehorchen der Sprache. Ich entscheide nach Gefühl, wie ich formuliere, solange es keinen "unmittelbaren Zwang" gibt, eine Regel zu befolgen. Da du irgendwelche Quellen, die angelsächsischen Ursprungs sind, bemühst bzw. x-beliebige Diskussionsforen, gehe ich davon aus, daß es hier keine "zu befolgende" Duden-Regel gibt. Dein Revert war also unberechtigt, aber ich lasse ihn stehen. Du sollst auch mal deinen Willen haben... ;-) Gruß --Alfred Grudszus 11:19, 6. Mär 2006 (CET)

Änderung 14:33, 15. Mär 2006 212.79.173.253

"und die umfassende Korrektheit im Rahmen der Verwendung sicherzustellen" habe ich gestrichen. Umgekehrt müsste man ja, wenn man $0^{0}$ undefiniert lässt, ebenfalls "die umfassende Korrektheit im Rahmen der Verwendung sicherstellen", insbesondere also in allen Formeln, die $x^{n}$ enthalten, explizit die Sonderfälle x=0 und n=0 behandeln. Ich habe schon einige Skripten gesehen, wo das "vergessen" wurde. Den Rest der "Warnung" habe ich ein wenig umformuliert. --NeoUrfahraner 15:10, 15. Mär 2006 (CET)

@Alfred Grudszus: "Warum so vorsichtig?" Ich habe "ist es zweckmäßig" durch "kann es zweckmäßig sein" ersetzt, weil in der mir bekannten Literatur kaum jemand darauf hinweist, aber trotzdem $0^{0}=1$ verwendet. Ich habe gerade Abramowitz/Stegun durchgeschaut; dort habe ich keine Aussage zu $0^{0}$ gefunden, aber es taucht dort oft mehr oder weniger gut versteckt, z.B. in (4.3.119) auf und liefert mit $0^{0}=1$ das richtige Ergebnis. Ich möchte daher niemanden vorschreiben, die Definition explizit zu erwähnen, kann aber mit beiden Textvarianten leben. --NeoUrfahraner 15:56, 15. Mär 2006 (CET)

0 hoch 0 als leeres Produkt

Ich bin kein Mathematiker, aber nach meinem Verständnis handelt es sich bei "a hoch 0" um ein leeres Produkt, d. h. um ein Produkt ohne Faktoren. Das ist nunmal 1. In dem Buch "Die Geschichte der Null" gibt es sogar eine anschauliche Herleitung dafür. Es ist ja mitnichten eine willkürliche Festlegung. Das leere Produkt ist aber, wie der Name sagt, leer. Die Basis "a" von "a hoch 0" fließt also in das Produkt gar nicht mit ein. Deshalb kann es keine Rolle spielen, was der Wert von "a" ist. Ein leeres Produkt ist ein leeres Produkt. Es ist unerheblich wovon es leer ist. Das ist wie bei einer leeren Menge. Es gibt nur eine leere Menge und nicht eine leere Menge Birnen oder eine leere Menge Äpfel. Man kann deshalb auch nicht sagen, dass sich "a hoch 0 = 1" und "0 hoch x = 0" widersprechen und deshalb "0 hoch 0" nicht definiert sei. Der Punkt ist, dass "0 hoch x = 0" schlichtweg falsch ist. Es ist keine allgemeingültige Aussage. --subsonic68 10:44, 16. Mär 2006 (CET)

Ich bin auch keiner, dessen Beruf Mathematiker ist. Aber ich denke, "0 hoch x = 0" ist schon richtig. Auch und gerade, wenn man deiner Argumentation folgt, den da steht ja ein Faktor, nämlich die "0". Im übrigen wird bei deiner Argumentation vom "leeren Produkt" unterstellt, das doch ein Faktor da ist, nämlich die 1, die sozusagen sofort in's Leben tritt, wenn irgendwo eine Potenz oder ein x-Zeichen auftaucht. Das klingt nicht besonders folgerichtig. Alfred Grudszus 11:52, 16. Mär 2006 (CET)

$0^{x}=0$ gilt nur für $x>0$. Für $x<0$ ist $0^{x}$ undefiniert. Die Funktion $x\mapsto 0^{x}$ liefert daher keine zwingende Antwort auf die Frage, wie und ob $0^{0}$ definiert werden soll. --NeoUrfahraner 13:09, 16. Mär 2006 (CET)

Ich denke, all die Diskussionen wurden nun schon ein paar Jahrhunderte geführt und das Ergebnis war, das die Mathematiker sich nicht einigen konnten. Insofern bleibt es bei dem Rat, die Angelegenheit jeweils nach Zweckmäßigkeitsgesichtspunkten zu behandeln. 13:17, 16. Mär 2006 (CET)

Folgt man der ergänzenden Definition, so gibt es kein Plausibilitätsproblem. Dann bedeutet 0^0: Multipliziere die Zahl 1 (neutrales Element der Multiplukation) mit dem Faktor 0 keinmal. Im Ergebnis bleibt die 1 unmulitipliziert da stehen. Genauso wie bei a^0 für a >0 Djat 20:09, 5. Sep 2006 (CEST)

Der Bronstein schließt den einführenden Teil zum Thema Potenzen mit „Man beachte besonders: a⁰=1 für a≠0.“ 84.151.238.224

Was nun?

leider hat wikipedia auch kein eindeutiges ergebnis. als einfache lösung mit den kenntnissen für einen schüler am gymnasium ließe sich ein "Error" auf dem taschenrechner relativ leicht erklären. (ich weiß, schlechte mathematische schreibweise)

e^0=1 weil 0* ln(e)=ln(1)

damit ist: 0=0

0^0=1 ?

damit wäre: 0* ln(0)=ln(1)

und ln(0) gibt es im prinzip nicht, da sich der ln asymtotisch zur y- achse hinbewegt. (also im mathematischen)

lim ln(x->0) (x)= - unendlich

aber im artikel gibt es ja mehrere und auch viel ausführliche erklärungen dazu.

nachtrag:

wenn man aber bei: lim(x->0) ln(x)= - unendlich

weitermacht, könnte es auch so aussehen:

0 * (-unendlich)= 0

oder auch irgendwas anderes...

weil man auch sagen kann: x/(-unendlich)=0 (x € R \ 0)

also könnte ja theoretisch auch sein: 0 * (-unendlich)=x (x € R \ 0)

Hinweis für Abschreibwillige: BITTE NICHT!!! ich habe kein mathematik studiert. ich gehe lediglich von meinem wissen aus und meinen bekannten mathematischen mitteln und erklärungsansätzen. es kann überall sein, dass mein ansatz FALSCH ist. Darum nur mit ÄUßERSTER vorsicht genießen!

st.ku --84.182.7.247 19:48, 8. Mai 2006 (CEST)

Was ist jetzt Deine Frage? --NeoUrfahraner 18:58, 9. Mai 2006 (CEST)

gebrochene Exponenten

Hier fehlen viele Informationen zu Potenzen mit gebrochenen Exponenten und den Konvertierungsmöglichkeiten in die Wurzelschreibweise. Könnt ihr vllt was adden, wenn ihr was wisst? (nicht signierter Beitrag von 80.131.130.184 (Diskussion) NeoUrfahraner)

Klar, weil Du den Abschnitt gelöscht hast. Ich habe den alten Zustand wieder hergestellt. --NeoUrfahraner 13:56, 24. Sep 2006 (CEST)

Beispiel unpassend ...

Meiner Meinung nach ist das Beispiel 2 aus "6.1 Anwendungsbeispiele von Zweierpotenzen" zu 99% ungeeignet: die Herangehensweise "ein Mensch - zwei leibliche Eltern - vier Großeltern..." ist zwar soweit richtig, wenn man aber den logarithmischen Zusammenhang der Fortpflanzung "weiterspinnt", ergibt sich für die heutige Weltbevölkerung eine Ahnenzahl von ca. (6,6) * (10^9) * (2^70). *grins*

Ich halte diese Vernachlässigung der diffusen Überkreuzung von Stammbäumen im Laufe der Geschichte sowie der Tatsache, dass zwei Eltern meistens (v.a. früher) mehr als ein Kind haben für ziemlich unsachgemäß.

Besser wäre da vielleicht ein Hinweis auf das allgemeine "exponentielle Bevölkerungswachstum", was allerdings nichts mit 2er-Potenzen zu tun hat. (außer evtl. die Angabe einer ungefähren Verdopplungszeit)

MfG, --2freaky4u 23:29, 31. Okt. 2006 (CET)

Negative Basis

Gehört bei negativen Zahlen das Vorzeichen auch mit zur Basis z.b -8² = 64 oder nicht, z.B. -8² = -64 wie es wohl an deutschen Sekundarstufen unterrichtet wird. Dies wird im Artikel nicht 100% klar. Falls dies auf nur auf meinem Unverständnis beruhen bitte sagt mir wo es steht. --87.123.244.13 23:40, 11. Dez. 2006 (CET)

Nach den üblichen Regeln für die Berechnung von Termen hat das Potenzieren Vorrang vor dem Minuszeichen. -8² ist also dasselbe wie -(8^2). Soll das Vorzeichen zur Basis gehören, dann muss man (-8)² schreiben. Ich bin mir nicht sicher, ob der Artikel der richtig Ort ist, um das zu klären. Möglicherweise sollte man ein paar konkrete Beispiele einfügen.--Digamma 20:55, 12. Dez. 2006 (CET)

Siehe auch Operatorrangfolge --Digamma 20:10, 13. Dez. 2006 (CET)

Die Verwirrung kommt vielleicht daher, dass in vielen Programmiersprachen zwischen einem (einstelligen) "Vorzeichenminus" und einem zweistelligen "Differenzen-Minus" unterschieden wird. Während letzteres eine geringe Bindungskraft hat, bindet ein Vorzeichenminus stärker an seinen Operanden als der Potenzierungsoperator.

Diese Unterscheidung und die damit verbundene unterschiedliche Operatorrangfolge existiert in der Mathematik aber nicht. --RokerHRO 23:07, 17. Nov. 2007 (CET)

also ich finde auch, dass die negative Basis genauer erklärt werden sollte. Allerdings bin ich nicht mehr so im Bilde ob die Erklärung stimmt. Mit der vorgestellten Schreibweise 1*a*a*a müsste doch auch -1*a*a*a abgedeckt sein, sodass das Vorzeichen einfach nach der Potenzierung übernommen würde oder nicht ?

Was meinst du nun genau? --RokerHRO 23:07, 17. Nov. 2007 (CET)

Kommazahlen

Wie Rechnet man eigentlich potenzen mit kommazahlen? Bsp: 5^0.5 (formel funktioniert nicht!) (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von Benutzer:Firecool (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner)

Siehe Absatz Potenz (Mathematik)#Reelle Exponenten. Zur Formel: "{" und "}"fehlen: $5^{0.5}$ --NeoUrfahraner 17:08, 30. Apr. 2007 (CEST)

Hochzahl vs. Exponent

Ist der deutsche Begriff "Hochzahl" nicht ein wenig veraltet und "Exponent" das weitaus geläufigere Wort dafür? --RokerHRO 15:01, 10. Aug. 2007 (CEST)

Naja, Google liefert 13.000 Treffer (allerdings nicht nur Mathematik). So richtig veraltet ist es also nicht. --NeoUrfahraner 20:35, 10. Aug. 2007 (CEST)

Potenzen Funktionen

Vielleicht sollte hier auch erwähnt werden, dass es auch für Funktionen eine Potenzschreibweise gibt. Unglücklicherweise mit verschiedenen Bedeutungen:

Multiplikation

In Ausdrücken wie $\sin ^{2}\ x$ ist meist $(\sin \ x)^{2}$ also $\sin(x)\cdot \sin(x)$ gemeint, etwa bei den Additionstheoremen für Winkelfunktionen.

Verkettung

Verkettung: $f^{n}(x)$ meint hierbei $f\left(f^{n-1}(x)\right)$, insbesondere ist $f^{-1}(x)$ eine übliche Kurzsschreibweise für die Umkehrfunktion von f. (Während im ersten Fall $f^{-1}(x)={\tfrac {1}{f(x)}}$ wäre.)

Was haltet ihr davon? --RokerHRO 20:38, 30. Aug. 2007 (CEST)

Ein berechtigter und guter Hinweis. Ich versuchs mal einzubauen. --Eckh 16:29, 3. Nov. 2007 (CET)

Danke. An der Formulierung hab ich noch ein wenig gefeilt, aber der Anfang ist gemacht. :-) Vielleicht sollte man noch nachtragen, in welchen Fachgebieten der Mathematik welche Definition gebräuchlicher ist oder so. Im Moment ist das ja noch sehr laienhaft geschrieben, finde ich. --RokerHRO 18:15, 3. Nov. 2007 (CET)

da hast du nicht nur dran gefeilt, sondern noch wesentlich verbessert, schien mir :-). ich finds schon nicht schlecht; was wo gebräuchlicher ist, wird kaum darstellbar sein, aber beispiele sind ja da. mir passt noch nicht, dass die formeln bei mir teilweise so klein sind... hmmm... kapier nicht, wann sie gross erscheinen und wann klein. --Eckh 11:09, 4. Nov. 2007 (CET)

Die "zu kleinen Formeln" sind wahrscheinlich die, die bei deinen Browsereinstellungen als HTML dargestellt werden statt als Bild. Du kannst bei deinen Wikipedia-Einstellungen das ändern, dass alle Formeln als Bild gerendert werden sollen. --RokerHRO 13:21, 4. Nov. 2007 (CET)

Probleme

Ich habe eine Reihe von Problemen mit dem Artikel. Ich werde sie nacheinander besprechen. Zunächst:

Festlegung?

"Für $b=0$ wird $a^{0}=1$ festgelegt." Das halte ich so für nicht richtig. IMHO handelt es sich im Falle $a\neq 0$ nicht um eine Festlegung, sondern um eine zwingende Folgerung aus der Natur von $\mathbb {R}$ und der Potenzschreibweise - hier muss nichts festgelegt werden. Hingegen ist es im Falle $a=0$ nicht allgemein festgelegt. In manchen Bereichen der Mathematik ist es als Festlegung sinnvoll, in anderen muss man $0^{0}$ als undefiniert stehen lassen. --KnightMove 22:11, 18. Sep. 2007 (CEST)

Anfangs definiert man ja nur $a^{n}$ für natürliche Zahlen. Erst wenn man sieht, was das Potenzieren mit Brüchen macht, kann man negative Exponenten via $a^{-n}:={\frac {1}{a^{n}}}$ definieren und damit man $a^{n}a^{m}=a^{n+m}$ auch für negative n und m hinschreiben kann, muss man $a^{0}=1$ festlegen. Ich halte es für nicht so geschickt, gleich mit der $\exp(b\ln(a))$-Tür ins Haus zu fallen; da fiele natürlich obiges sofort raus, wenn man sich die Reihendarstellung der Exponentialfunktion anguckt.--R. Möws 00:16, 19. Sep. 2007 (CEST)

Mag sein, dass das ursprünglich "intuitiv", "heuristisch" so festgelegt worden ist. Heute ist es nach den gängigen Definitionen und Funktionen eine triviale Folgerung, keine zusätzliche Festlegung. Die Potenzschreibweise mit Exponenten in $\mathbb {N} ^{+}$macht für Basen in jeder Halbgruppe Sinn, für $\mathbb {N} _{0}$ in jeder Halbgruppe mit neutralem Element (=Monoid), und $a^{0}$ ist dann immer und ausnahmslos das neutrale Element. In $\mathbb {R}$ bezieht sich die Potenzschreibweise auf die Multiplikation in $\mathbb {R} \setminus 0$, deren neutrales Element ist 1, und damit ist $x^{0}$ gleich 1. Das erfordert keinerlei zusätzliche Definitionen. --KnightMove 13:18, 19. Sep. 2007 (CEST)

Kommt drauf an, wie man es aufbaut. Ich würde einfach induktiv sagen, $x^{0}$ ist das neutrale Element, $x^{n+1}=x^{n}\cdot x$. Damit ist $x^{0}$ aber Teil der Definition. Wie dem auch sein, welche Formulierung wäre Dir lieber? z.B. Für $b=0$ folgt $a^{0}=1$ Woraus folgt das? Klarerweise folgt es für $a\neq 0$ aus $a^{n}a^{m}=a^{n+m}$, aber ist $a^{n}a^{m}=a^{n+m}$ ein Axiom? Welchen axiomatischen Aufbau verwendest Du dabei? --NeoUrfahraner 14:19, 19. Sep. 2007 (CEST)

Den da. (man beachte meinen letzten Edit dort) --KnightMove 14:32, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ja, dort ist $x^{0}$ als das neutrale Element definiert, und die Potenzgesetze folgen mit Induktion aus der Definition $x^{n+1}=x^{n}\cdot x$. Übrigens hast Du damit auch implizit $0^{0}=1$ festgelegt, da die reellen Zahlen bzgl. der Multiplikation bekanntlich ebenfalls ein Monoid sind. --NeoUrfahraner 14:57, 19. Sep. 2007 (CEST)

PS: Aus $x^{1}=x$ und der Fortsetzung von $x^{n+1}=x^{n}\cdot x$ auf $n=0$ erhält man $x^{0}=e$ (wobei $e$ das neutrale Element) lediglich für invertierbare Elemente $x$. Für die nicht-invertierbaren Elemente kann es noch andere Lösungen geben, $x^{0}=e$ ist dann eine mehr oder weniger willkürliche (aber sinnvolle) Festlegung. --NeoUrfahraner 17:08, 19. Sep. 2007 (CEST)

Du hast hier Recht, da lag ich falsch. Aber meine Ansicht stammt aus dem Artikel, was wiederum seine Fehlerhaftigkeit beweist. Bei Monoiden muss offenbar insbesondere das Problem von absorbierenden Elementen berücksichtigt werden. Vielleicht sollte man sie aus dem "Allgemein"-Abschnitt ganz herauslassen und diesen auf Gruppen und Halbgruppgen beschränken. --KnightMove 11:30, 20. Sep. 2007 (CEST)

Diese Problematik wird im Abschnitt Potenz (Mathematik)#„Null hoch null“ ausführlich und mit Quellenangaben diskutiert - reicht das nicht? --NeoUrfahraner 08:56, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ich habe den Abschnitt gelesen und betrachte seine Schlussfolgerung als Theoriefindung bzw. im Widerspruch zu seinem eigenen Inhalt. Offenbar kann man in manchen Bereichen der Mathematik $0^{0}$ als 1 festlegen, in anderen nicht. Es gilt das abzugrenzen - als ganzes definiert ist $0^{0}$ nicht. Und selbst wenn es das wäre, ist das ein fundamentaler Unterschied zu $a^{0},a\neq 0$ !! --KnightMove 13:13, 19. Sep. 2007 (CEST)

Wie kann es Theoriefindung sein, wenn es durch Literatur (Knuth, Kahan) belegt ist? --NeoUrfahraner 14:06, 19. Sep. 2007 (CEST)

Knuth hat 1992 seine Analyse und These veröffentlicht. Gut. Dass sie zum Allgemeingut in der Mathematik geworden wäre, ist im Moment noch unbelegt. Ich habe im Studium noch etwas anderes gelernt... nach 1992. --KnightMove 14:35, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ja, Allgemeingut in der Mathematik ist es anscheinend nicht, daher greift WP:NPOV Punkt 5: Klar zugeordnete Argumente für die eine oder andere Position dürfen angegeben werden. Unbelegte Standpunkte, die weder einer Person noch einer Gruppe zugeordnet werden können, sind möglicherweise unerwünschte Theoriefindung., und es handelt sich um klar zugeordnete Argumente und nicht um Theoriefindung. Klar zugeordnete Argumente (mit Literaturangaben) gegen die Festlegung $0^{0}=1$ kannst Du natürlich ergänzen. --NeoUrfahraner 14:57, 19. Sep. 2007 (CEST)

Ich sehe keine Beweislast auf meiner Seite. Der Abschnitt legt die verschiedenen Positionen dar, gut so. Dass die Einleitung aber $0^{0}=1$ festschreibt, ist nach Deinen eigenen Ausführungen POV. Außer, die Ansicht von Knuth hat sich als Allgemeingut in der Mathematik durchgesetzt und entsprechend auch in den neueren Auflagen der Mathematiklehrbücher. Das bliebe von denen, die die jetzige Darstellung wollen, zu belegen.

Ja, dass die Einleitung aber $0^{0}=1$ festschreibt, ist tatsächlich POV - man müsste strenggenommen z.B. ergänzen "Für den Spezialfall $0^{0}$ siehe aber Abschnitt Null hoch Null." Die Frage ist allerdings, ob die Einleitung dadurch nicht überladen wird. --NeoUrfahraner 12:45, 20. Sep. 2007 (CEST)

Ich stelle folgende Hypothese (!) in den Raum: $0^{0}$ lässt sich sinnvoll als 1 festlegen, wenn nur Exponenten in $\mathbb {N} _{0}$ oder $\mathbb {Z}$ vorkommen, aber nicht, wenn Exponenten in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {C}$ erlaubt sind. --KnightMove 11:30, 20. Sep. 2007 (CEST)

Diese Variante taucht auch in http://www.cs.uwaterloo.ca/~alopez-o/math-faq/math-faq.html auf, dort wird dann auf Kahan verwiesen, der insbesondere für die numerische Mathematik auch die Festlegung $0.0^{0.0}$ empfiehlt. Wie gesagt, wenn Du Quellen hast, die das empfehlen (die sci.math FAQ ist da nur sehr bedingt geeignet), kann man sie ergänzen. Meiner persönlichen Meinung nach wird durch die Unterscheidung reeller/ganzzahliger Exponent nichts gewonnen und einiges komplizierter gemacht (welche 0 ist jetzt reell und welche ganzzahlig?). Kennst Du irgendeine mathematische Aussage, die durch die Konvention "$0.0^{0.0}$ ist undefiniert" einfacher bzw. erst korrekt wird? --NeoUrfahraner 12:45, 20. Sep. 2007 (CEST)

Rendern erzwingen?

Eine Kleinigkeit: Die Mischung aus HTML und PNG sieht recht hässlich aus. Ist es ok, wenn ich allgemeines Rendern erzwinge? --KnightMove 13:43, 19. Sep. 2007 (CEST)

Üblicherweise wird empfohlen, das nicht im Text zu machen, sondern es über die Benutzereinstellungen/TeX/"Immer als PNG darstellen" je nach Geschmack zu aktivieren. --NeoUrfahraner 14:09, 19. Sep. 2007 (CEST)

Der Nur-Leser kommt nicht dazu, irgendwas an den Einstellungen zu ändern, und wenn eine Mischung von ansonsten gleichartigen Ausdrücken in einer Tabelle (Rechenregeln) herauskommt, ist das hässlich. --KnightMove 11:30, 20. Sep. 2007 (CEST)

Es ist trotzdem besser, es dem Leser der Seite zu überlassen, wie er die Formeln angezeigt haben möchte und es ihm nicht vorzuschreiben. Ansonsten hat diese Diskussion wenig mit dem Lemma zu tun und sollte eher dort geführt werden. Obwohl... nein, dort ist sie ja bereits geführt worden. --RokerHRO 12:41, 20. Sep. 2007 (CEST)

Potenzen addieren

Hallo Leute, ich suche eine Lösung (wenn es eine gibt) für folgendes Problem, leider hilft mir der Artikel nicht weiter: Ich habe eine Reihe der Form:

s =  x^1 + x^2+...+x^n

Bei gegeben n errechnet sich die Summe s:

s = (x^(n+1) - x) / (x-1)

z.B. für x=2; n=3

s = 2^1 + 2^2 + 2^3
s = 2 + 4 + 8
s = 14

oder

s = (2^4 - 2) / 1
s = 16 - 2
s = 14

Nun habe ich aber n und s gegeben und will s = (x^(n+1)-x) / (x-1) nach x umstellen, also

x= 

Geht das? Und wie? Bob Dylan 20:28, 22. Okt. 2007 (CEST)

Das geht nur wenn n=1,2,3 ist, denn dafür müsstest du Gleichungen (n+1). Grades lösen können, das geht im Allgemeinen nur bis Gleichungen 4. Grades, darüber hinaus existieren nur noch Näherungsformeln und nur für wenige Spezialfälle exakte Lösungsformeln. --RokerHRO 21:38, 22. Okt. 2007 (CEST)

Danke. Merkwürdig, sah so einfach aus :-( Bob Dylan 10:20, 23. Okt. 2007 (CEST)

Tja, einfach aussehende Probleme haben oftmals einfache aber falsche komplizierte Lösungen. ;-( --RokerHRO 15:23, 23. Okt. 2007 (CEST)

Rationale Exponenten mit negativer Basis

Hier sollte zusätzlich gefordert werden, dass der Bruch ${\frac {m}{n}}$ vollständig gekürzt ist. Ansonsten gilt z.B. $-1=(-1)^{\frac {1}{3}}\neq (-1)^{\frac {2}{6}}=1$ Da hier lediglich der Bruch erweitert wurde wird dieser Fall durch das Aussetzen der Potenzregel $(a^{r})^{s}=a^{rs}$ nicht abgefangen. Entweder definiert man $a^{r}$ gar nicht für negative Basen mit rationalen Exponenten, oder man setzt $a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$, falls m und n teilerfremd sind, wie es auch bei Taschenrechnern implementiert ist (und was IMHO daher sinnvoller wäre). --DonPromillo7 03:51, 5. Nov. 2007 (CET)

Meines Erachtens ist es sinnvoll und üblich, $a^{r}$ nur für nichtnegative Basen zu definieren. Dann entsteht das Problem nicht. Bei meinem Taschenrechnet ist die Potenz auch nur für nichtnegative Basen implementiert. --Digamma 14:03, 5. Nov. 2007 (CET)

Das Potenzieren negativer Basen mit ganzzahligen Exponenten stellt aber kein Problem dar und muss behandelt werden. Ob man die nur eingeschränkt verträgliche Verallgemeinerung auf rationale Exponenten weglassen sollte, ist eine andere Frage. Ich halte es der Vollständigkeit halber aber für angemessen, nur wenn, dann auch korrekt. --DonPromillo7 18:10, 5. Nov. 2007 (CET)

Ich wollte mich natürlich nur auf rationale Exponenten beziehen. Und ich möchte Dich keinesfalls daran hindern, den Absatz über Potenzen mit gebrochenen Exponenten bei negativer Basis korrekt umzuformulieren. --Digamma 18:24, 5. Nov. 2007 (CET)

Irgendwie scheine ich letzte Nacht überlesen zu haben, dass im Artikel explizit ein ungerader Nenner gefordert wird, was auch das Erweitern des Bruchs (um 2) mit einschließt... Ich nehme alles zurück^^ --DonPromillo7 21:56, 5. Nov. 2007 (CET)

also, ich muss schon sagen, gebrochene exponenten bei negativer basis ueberhaupt zuzulassen, scheint mir doch ziemlich krank zu sein. wenn man mit sowas rechnen will, sollte man besser die wurzelschreibweise benutzen. --Eckh 16:47, 6. Nov. 2007 (CET)

Ich würde vor allem sagen, dass obige Erweiterung des Exponenten nicht konform mit den Potenzgesetzen ist. Sonst wär ja auch -1 =(-1)^1= (eben nicht) (-1)^(2/2) = sqrt((-1)^2)=1 --χario 23:26, 6. Nov. 2007 (CET)

Das steht ja aber auch explizit dabei: Die Definition gilt nur für ungerade Nenner und die Potenzgesetze auch. Ich würde allerdings auch Eckh zustimmen, dass man in diesem Fall besser Wurzeln benutzen sollte. Aber da es schon mal drin ist im Text und so wie es da steht wohl auch richtig (Es stammt von Gunther, dem trau ich in dieser Hinsicht), würde ich es auch drin lassen. Vielleicht kann man es um einen Satz ergänzen, dass diese Erweiterung wenig hilfreich ist. --Digamma 09:18, 7. Nov. 2007 (CET)

soweit ich das sehe, hat gunther durchaus recht, keine frage. nur mit dieser erweiterung wird z.B. f(x):=(-1)^x zu einer ziemlich kranken funktion: zwischen je zwei rationalen stellen gibt es unendlich viele rationale x, auf denen f nicht definiert ist, unendlich viele rationale x, auf denen f(x)=-1 und unendlich viele rationale x mit f(x)=1. das ist schon nicht mehr einfach nur krank, das ist schon unheilbar krank ;-)

der physiker in mir findet sowas bekloppt und wills in die tonne treten, aber ach, zwei herzen wohnen in weiner brust, denn mathematiker bin ich ja auch, und grad die mathematiker widmen sich ja oft mit besonderer wonne den besonders kranken faellen.

also ists wohl interessant genug, um es drin zu lassen, aber vielleicht sollte man wirklich, wie digamma es vorschlaegt, verdeutlichen, dass diese erweiterung auf negative basen in der regel nicht gemacht wird und auch wenig hilfreich oder wenig sinnvoll ist. --Eckh 22:26, 7. Nov. 2007 (CET)

Nochmal 0^0

Nach welcher Definition, für welche Anwendung würde man $0^{0}$ einen anderen Wert zuweisen als 1?--Gunther 20:23, 29. Mär 2005 (CEST)

Bronstein und mit ihm alle Hardcore-Axiomatiker lassen $0^{0}$ explizit undefiniert (also nichtexistent). Das findet sich so auch in allen streng formalen Klassikern der Mathematik und Theoretischen Physik wie überhaupt in allen Ostblock-Lehrbüchern (die nicht umsonst im streng formalen/theoretischen Bereich nach wie vor unangefochtener Standard sind). Und das aus gutem Grund:

Potenzen sind induktiv aus der Multiplikation definiert. Dabei geben positive Exponenten an, wie of die Basis multipliziert wird (bzw. wie oft im Zähler des Potenzwertes), und negative Exponenten geben an, wie oft das Multiplikations-Inverse der Basis (bzw. die Basis im Nenner des Potenzwerts) multipliziert wird. 0, also weder posi noch nega, ist definiert als weder Basis (Zähler) noch Inverses (Nenner), sondern das Produkt aus beiden (=das neutrale Element der Multiplikation). Aber für die 0 gibt es bekanntlich bezüglich der Multiplikation weder ein Inverses noch ein Produkt aus der 0 und ihrem Inversen ... Im Übrigen gibt es nichts, wofür man $0^{0}=1$ brauchen würde, außer für die eigene Schreibfaulheit. --jhartmann 20:29, 17. Nov. 2007 (CET)

Ist es Schreibfaulheit, wenn man ein Poynom als $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ schreiben will? Der erste Summand, der für das konstante Glied steht, lautet $a_{0}x^{0}$. Mit der Vereinbarung $x^{0}=1$ für alle $x$ ist das einfach $a_{0}$. Wenn man $0^{0}$ nicht definiert, dann ist das ganze an der Stelle 0 nicht definiert, und man muss umständliche Verrenkungen machen. --Digamma 21:30, 17. Nov. 2007 (CET)

Was ist an $a_{0}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{i}$ so schlimm? 0^x ist wegen des fehlenden Inversen ja für negative Exponenten (also für Nullen als Faktoren im Nenner) ohnehin nicht definiert, warum soll das ausnahmsweise für 0^0 anders sein? Wieso soll man nur für ein bischen weniger Geschreibe im Fall 0^0 etwas definieren, was mit der gesamten Systematik der Potenz-Syntax nichts zu tun hat? Und vor allem: Warum willst Du eine Ausnahme definieren, die wesentliche (Potenz-)Rechenregeln über den Haufen wirft? (Wie willst Du mit 0^0=1 das z.B. Distributivgesetz für Potenzen retten?) Letztlich wird der Aufwand dafurch sogar größer statt kleiner, denn Du musst nun lauter Ausnahme-Rechenregeln für 0^0 erfinden. --jhartmann

Siehe Abschnitt "Rechenregeln": welchen Regeln sind denn Deiner Meinung nach falsch? Welche Vereinfachungen ergäben sich, wenn man 0^0 undefniert liese? --NeoUrfahraner 09:28, 19. Nov. 2007 (CET)

PS: bei einem Polynom in einer Variablen ist der Unterschied noch vernachlässigbar, bei zwei Variablen wird's schon schlimmer:

$\sum _{i=0}^{m}\sum _{j=0}^{n}a_{i,j}x^{i}y^{j}$ oder

$a_{0,0}+\sum _{i=1}^{m}a_{i,0}x^{i}+\sum _{j=1}^{n}a_{0,j}y^{j}+\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}x^{i}y^{j}$

Wie schaut es jetzt bei 3 Variablen aus? --NeoUrfahraner 11:34, 19. Nov. 2007 (CET)

Schreibfaulheit und willkürliche Definitionen

Natürlich ist es Schreibfaulheit, wenn man Sonderfälle geeignet "wegdefiniert", wenn sich dadurch Formeln vereinfachen. Wenn man so eben beispielsweise $0^{0}:=1$ definiert, spart man sich in vielen Formeln eine Menge Schreibarbeit für eben diesen Fall. Im Übrigen ist ja die gesamte Potenzschreibweise von Schreibfaulen "erfunden" worden, die nicht immer $\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot ...\cdot a} _{nmal}$ schreiben wollten, und sich darum eben eine Notation $a^{n}$ ausdachten. Multiplikation und selbst die Addition sind ja nur verkürzende Schreibweisen, die Inkrement-Operation würde völlig ausreichen. Allerdings würden die meisten Formeln bei ausschließlicher Verwendung der Inkrement-Operation, gewürzt mit verbalen Kommentaren, noch unübersichtlicher aussehen, als sie es selbst in der modernen mathematischen Formelsprache tun. Man schaue sich nur mal mittelalterliche Mathematik-Lehrbücher an, die eben ohne diese Formelsprache auskommen mussten.
Worauf ich hinaus will: Mathematische Formeln und Notationen sind stets Definitions- und Vereinbarungssache. Es gibt sinnvolle Definitionen und Vereinbarungen und weniger sinnvolle. Und bisweilen mag es sogar vom Themen- und Aufgabengebiet abhängig sein, ob und wenn ja welche Definition sinnvoll oder geeignet ist. Die Bedeutung einer Formel wie $0^{0}$ ist eben auch nur Definitionssache, es gibt da kein "richtig" oder "falsch", allenfalls ein "zweckmäßig" oder "unzweckmäßig". Und anscheinend hat sich in vielen Bereichen und für viele Formeln es sich als zweckmäßig herausgestellt, $0^{0}:=1$ zu definieren. Wer dieser Vereinbarung nicht folgen mag, weil er sie nicht für zweckmäßig hält, kann das gerne tun, und muss dann eben diesen Spezialfall in allen Formeln, wo er vorkommt, explizit behandeln. --RokerHRO 22:58, 17. Nov. 2007 (CET)

Mathematische Syntax/Axiome/Definitionen folgen aber normalerweise einer gewissen Logik bzw. schlüssiger Systematik. Das trifft auch für die Potenzschreibweise zu, die so definiert ist, dass sie induktiv aus der Multiplikation herleitbar ist und übliche, das Rechnen vereinfachende Axiome gelten können (wie (a^c)*(b^c)=(a*b)^c). Warum soll man das, nur um vor Summenformeln in Einzelfällen keinen extra Summanden schreiben zu müssen, mit 0^0=1 alles über den Haufen werfen? (a^c)*(b^c)=(a*b)^c => (a^b)/(b^c)=(a/b)^c => 1=1/1=(0^0)/(0^0)=(0/0)^0? --jhartmann 22:08, 18. Nov. 2007 (CET)

Hast Du den Abschnitt "Rechenregeln" gelesen? (letzte Spalte, letzte beide Zeilen der Tabelle) --NeoUrfahraner 09:21, 19. Nov. 2007 (CET)

Revert der Änderung vom 21:49, 21. Nov. 2007

http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Potenz_%28Mathematik%29&diff=39229196&oldid=39229138 : Ich hab's revertiert. Was die "intuitive Definition der Potenz" sein soll, ist völlig unklar und wird im Folgenden nicht verwendet. Dafür widerspricht es irgendwie dem versteckten Absatz, dass es keine Frage von wahr oder falsch, sondern von zweckmäßig oder unzweckmäßig ist. --NeoUrfahraner 08:54, 22. Nov. 2007 (CET)

negative Wurzeln

Ich frage mich, inwiefern der Hinweis

$((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=1\neq -1=(-1)^{2\cdot {\frac {1}{2}}}$

im Abschnitt "Rechenregeln" korrekt ist, da

$((-1)^{2})^{\frac {1}{2}}=+/-1$ (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.122.35 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner)

Wie kommst du denn auf das schmale Brett?

$(-1)^{2}=1$ und $1^{\frac {1}{2}}=1.$ und nicht ±1. --RokerHRO 12:48, 27. Nov. 2007 (CET)

Das Radizieren ist keine eindeutige Zuweisung. Wenn es als "Gegenteil" des Quadrierens betrachtet wird, so ist das Ergebnis des Radizierens die Zahl, die quadriert wieder die ursprüngliche Zahl ergibt.

$(-1)^{2}=1\vee (+1)^{2}=1$

$\Rightarrow 1^{\frac {1}{2}}=\pm 1.$

Ansonsten könnten für die Parabel $y=x^{2}-1$ niemals beide Nullstellen -1 und 1 berechnet werden. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.122.35 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner)

Du musst unterscheiden zwischen der Wurzelfunktion ${\sqrt {}}:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt {x}}$, die einen eindeutigen Wert liefert, und der Lösung der Gleichung $x^{2}=y$, die die beiden Lösungen $x=\pm {\sqrt {y}}$ hat. --NeoUrfahraner 13:40, 27. Nov. 2007 (CET)

Wenn ich mir aber die Erklärung des "Wurzelziehens" bei Wiki ansehe heißt es dort:

"In der Mathematik versteht man unter Wurzelziehen oder Radizieren die Bestimmung der Unbekannten x in der Potenz

$a=x^{n},\,$ [...]"

Und die Unbekannte x kann bei geradem n nunmal positiv und negativ sein. Außerdem wäre eine mathematische Definition, die für einige Zahlen nicht funktioniert, nicht sonderlich sinnvoll. In dem aufgeführten Beispiel handelt es sich auch nicht um eine theoretisch anwendbare Wurzelfunktion sondern um eine Gleichung (wenn diese zwei Dinge tatsächlich getrennt betrachtet werden sollen), wonach ja dann nach Deiner Aussage beide Ergebnisse zulässig sein sollten. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.122.35 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 14:00, 27. Nov. 2007 (CET))

Eben nicht. Im angeführten Beispiel handelt es sich um die Potenzfunktion, und nicht um das Lösen einer Gleichung. --NeoUrfahraner 14:00, 27. Nov. 2007 (CET)

Ok, sagen wir, es handelt sich um eine Potenzfunktion. Wenn wir dann Neo's Definition ${\sqrt {}}:\mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+},x\mapsto {\sqrt {x}}$ verwenden, gilt die Zuweisung lediglich im positiven reellen Raum (sowohl für x als auch für y). Damit dürfte die $-1$ garnicht eingesetzt werden, da die Funktion nicht für diesen Bereich definiert ist. Also ist entweder das Beispiel nicht zulässig für diese Definition oder die Definition nicht passend für dieses Beispiel. In beiden Fällen sollte der Artikel aber korrigiert werden. (Der vorstehende, nicht signierte Beitrag stammt von 132.230.122.35 (Diskussion • Beiträge) NeoUrfahraner 17:56, 27. Nov. 2007 (CET))

Ja, genau das ist der Punkt bei dem Beispiel. Direkt oberhalb steht ja, dass bei reellen Exponenten die betreffende Rechenregel nur für eine positive Basis gilt. Die weiter unten stehende Faustregel "wann immer alle Ausdrücke definiert sind" gilt aber nicht mehr, da man meinen könnte, eine negative Basis wäre erlaubt, wenn diese zuerst mit einer ganzen Zahl im Exponenten auftritt, weil dieser Ausdruck ja "definiert" ist. Wie sollte man denn es Deiner Meinung nach formulieren, um dieses Falle deutlich zu machen? --NeoUrfahraner 17:56, 27. Nov. 2007 (CET)

Ich würde entweder die Anmerkung komplett streichen, da die Einschränkungen ja darüber aufgeführt sind, oder aber das Ganze als Beispiel bezeichnen und darauf hinweisen, dass hier zwei unterschiedliche Definitionsbereiche verwendet wurden, wodurch kein lösbarer Ausdruck zustande kommt. Vielleicht sollte die Tabelle auch die Spaltenüberschriften Rechenregel und Definitionsbereich oder Randbedingungen bekommen. Ist es noch sinnvoll, klarzustellen, dass die Definitionsbereiche alternativ sind, also nicht alle gleichzeitig gelten können? Und den Satz "Bis auf die Ausnahme $(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}$ gelten die Regeln, „wann immer alle Ausdrücke definiert sind“;" würde ich durch "Die Regeln gelten, solange die jeweiligen Randbedingungen erfüllt sind" ersetzen. (nicht signierter Beitrag von 132.230.122.35 (Diskussion)-- Jesi 19:55, 28. Nov. 2007 (CET) 15:05, 28. Nov. 2007)

Das würde meiner Meinung nach den Artikel nicht verbessern. Wie sehen's andere? --NeoUrfahraner 14:47, 30. Nov. 2007 (CET)

Ich sehe das auch so.--Digamma 15:57, 30. Nov. 2007 (CET)

Ich hab allerdings mal die Formel unter "negative Exponenten" anders geschrieben, ich denke, dass die damit dem darüber stehenden Text besser angepasst ist. -- Jesi 19:19, 30. Nov. 2007 (CET)

Das betrifft eine andere Stelle; beide Varianten betrachte ich als gleichwertig. --NeoUrfahraner 07:55, 1. Dez. 2007 (CET)

Ja, da hast du natürlich zweimal Recht. -- Jesi 09:28, 1. Dez. 2007 (CET)

Revert

Was spricht gegen die mathe-Umgebungen in der Einleitung? Variablen sollten so gesetzt werden, deswegen habe ich das mal wieder revertiert. --χario 13:06, 18. Jan. 2008 (CET)

Ich hab mal versucht, einen Kompromiss zu machen. Durch die Änderungen von Jshimbi war gar keine Einleitung mehr da, in der vorherigen bzw. revertierten Fassung war sie etwas lang und im eigentlichen Artikel ging es etwas unschön mit "Abweichende Schreibweisen" los. Im Moment haben wir eine kleine Einleitung und am Artikelbeginn eine "Definition". -- Jesi 16:08, 18. Jan. 2008 (CET)

Was jetzt nicht mehr passt, ist, dass der Exponent in der Definition n heißt, in der Begriffserklärung aber b.--Digamma 16:34, 18. Jan. 2008 (CET)

Klar, habs korrigiert. Diese Änderung in der Definition hatte ja Jshimbi vorgenommen, und ich denke, das ist besser so, weil es üblicher ist. -- Jesi 17:27, 18. Jan. 2008 (CET)