Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen V eines Festkörpers und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks p. Diese Zustandsgleichung ist von zwei Parametern abhängig, dem Kompressionsmodul bei einem Druck von 0 GPa $K_{0}$, und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa, $K_{0}'$. Diese sind wie folgt definiert:

$K_{0}=V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }$

$K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} }$

Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers $K_{0}$ linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt. Eine weitere wichtige Annahme ist, dass die Grösse $K_{0}'$ druckunabhängig ist.

$K(p)=K_{0}+pK_{0}'$

Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan

$p={\frac {K_{0}}{K_{0}'}}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{K_{0}'}-1\right]$

bzw.

${\frac {V}{V_{0}}}=\left[{\frac {K_{0}'}{K_{0}}}p+1\right]^{-{\frac {1}{K_{0}'}}}$

wobei $V_{0}$ das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa ist.

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p und der freien Energie F besteht:

$p=\left({\frac {\partial F}{\partial V}}\right)_{T}$

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

$F=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\epsilon ^{n}$

Hier sind $a_{n}$ druckabhängige Koeffizienten, $\epsilon ^{n}$ ist die sog. Eulersche Dehnung.

$\epsilon ={\frac {1}{2}}\left[1-\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}\right]$

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:

$p={\frac {3}{2}}K_{0}\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {7}{3}}}+\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {5}{3}}}\right]\left[1+{\frac {3}{4}}\left(K_{0}'-4\right)\left[\left({\frac {V}{V_{0}}}\right)^{-{\frac {2}{3}}}-1\right]\right]$

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

• F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
• B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)