Hauptideal

Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.

Definition

Ein Hauptideal eines Ringes $R$ ist ein Ideal, das von einem einzigen Element $a$ des Ringes erzeugt wird. Mit den Komplexprodukten

$Ra:=\{ra\mid r\in R\}$,

$aR:=\{ar\mid r\in R\}$ und

$RaR:=\{ras\mid r,s\in R\}$

gilt jeweils für das von einem Ringelement $a$ erzeugte

• Haupt-Linksideal

  $(a)_{\text{L}}:=(\{a\})_{\text{L}}=Ra\cup \{a\}$,

• Haupt-Rechtsideal

  Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle (a)_\text{R} := (\{a\})_\text{R} = aR \cup \{a\}} ,

• (beidseitige) Hauptideal

  $(a):=(\{a\})=\{r_{1}+\ldots +r_{n}\mid n\in {\mathbb {N}},r_{i}\in \{a\}\cup Ra\cup aR\cup RaR\}$.

Falls der Ring $R$ eine Eins besitzt gilt:

$(a)_{\text{L}}=Ra$,

$(a)_{\text{R}}=aR$,

$(a)=\{r_{1}+\ldots +r_{n}\mid n\in {\mathbb {N}},r_{i}\in RaR\}$.

Ist $R$ kommutativ, dann stimmen alle drei Begriffe überein.

Eigenschaften

Nicht alle Ideale sind Hauptideale.

Beispiel

Als Beispiel betrachten wir den kommutativen Ring ${\mathbb {C}}[X,Y]$ aller Polynome in zwei Unbestimmten mit komplexen Koeffizienten. Das von den beiden Polynomen $X$ und $Y$ erzeugte Ideal $(X,Y)$ besteht aus allen Polynomen aus ${\mathbb {C}}[X,Y]$, deren Absolutglied gleich 0 ist. Dieses Ideal ist kein Hauptideal, denn wäre ein Polynom p ein Erzeuger von $(X,Y)$, dann müssten X und Y Vielfache von p sein, also wäre p konstant. Das einzige konstante Polynom in $(X,Y)$ ist aber das Nullpolynom, und dieses erzeugt lediglich das einelementige Nullideal $(0)$.

Hauptidealring

Ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist, heißt Hauptidealring (engl. principal ideal domain, PID).

Jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring; der von den ganzen Zahlen bekannte Beweis der Primfaktorzerlegung (der Fundamentalsatz der Arithmetik) funktioniert in jedem Hauptidealring.

Alternative Definition

Man könnte abweichend von oben den Hauptidealring auch ohne die Forderung der Nullteilerfreiheit des Ringes definieren. Dann wäre jeder nullteilerfreie Hauptidealring ein faktorieller Ring. Ein Beispiel für einen nicht-nullteilerfreien Hauptidealring wäre dann der $\mathbb {Z} _{4}$.

Eigenschaften

Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring; der euklidische Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) liefert den Erzeuger eines vorgegebenen Ideals.

Allgemeiner haben je zwei Hauptideale in einem beliebigen kommutativen Ring einen größten gemeinsamen Teiler im Sinne der Idealmultiplikation. In Hauptidealringen erlaubt dies die Bestimmung des ggT zweier Ringelemente, eindeutig bis auf Multiplikation mit Einheiten. Wir können also den ggT von a und b definieren als einen Erzeuger des Ideals (a, b).

Ein Hauptidealring $R$ besitzt folgende Eigenschaften:

• Es ist d genau dann ein ggT von $a_{1},\dots ,a_{n}$, wenn das endlich erzeugte Ideal $(a_{1},\dots ,a_{n}):=(\{a_{1},\dots ,a_{n}\})$ gleich dem von d erzeugten Ideal $(d)$ ist.
• Lemma von Bézout: Zu $a_{1},\dots ,a_{n}$ existiert stets ein ggT $d\in R$, und dieser lässt sich mit Hilfe von Elementen $r_{i}\in R$ darstellen in der Form

$d=\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}$.

• Die Elemente $a_{1},\dots ,a_{n}$ sind genau dann teilerfremd, wenn es $r_{1},\dots ,r_{n}$ in $R$ gibt mit $1=\sum _{i=1}^{n}r_{i}a_{i}$.