Kontinuumshypothese

Die Kontinuumshypothese wurde 1878 von Mathematiker Georg Cantor aufgestellt. Nach ihr gibt es keine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen, die in ihrer Mächtigkeit kleiner als die reellen Zahlen (die auch das 'Kontinuum' genannt werden, daher der Name der Hypothese) ist. In der berühmten Liste von 23 mathematischen Problemen, die David Hilbert am Internationalen Mathematischen Kongress 1900 vortrug, steht die Kontinuumshypothese an erster Stelle.

Kurt Gödel bewies 1940, dass die Kontinuumshypothese (CH) zur Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC) relativ widerspruchsfrei ist, d.h.: Wenn ZFC widerspruchsfrei ist (was allgemein angenommen wird, aber nach den Gödelschen Unvollständigkeitssatz nicht mit Hilfe von ZFC bewiesen werden kann), dann ist auch "ZFC + CH" widerspruchsfrei.

In den 1960er Jahren zeigte Paul Cohen, dass die Kontinuumshypothese keine Folgerung aus der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ist, d.h., dass auch die Negation der Kontinuumshypothese zur ZFC relativ widerspruchsfrei ist. Hierfür erhielt er die Fields-Medaille.

Daher ist die Kontinuumshypothese im Rahmen der Mengenlehre nicht entscheidbar, und sie (oder ihre Negation) kann als neues Axiom verwendet werden. Sie ist ferner das erste relevante Beispiel für Gödels Unvollständigkeitssatz. Alternativ werden viele Aussagen unter der Annahme gemacht, dass die Kontinuumshypothese wahr sei.

Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese (GCH) besagt, dass für jede unendliche Menge X zwischen den Kardinalzahlen] |X| und 2^|X| keine weiteren Kardinalzahlen liegen. Die einfache Kontinuumshypothese (CH) macht diese Behauptung für den Fall X = N. Die verallgemeinerte Kontinuumshypothese ist ebenfalls unabhängig von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zusammen mit dem Auswahlaxiom (ZFC).