Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

Einleitung

Liegen n nichtnegative Zahlen $x_{i}\geq 0;i=1,...,n$ vor, so bezeichnet man den Ausdruck

{\bar {x}}_{\mathrm {arithm} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

in der Mathematik als das arithmetischen Mittel dieser Zahlen.

Der Ausdruck

{\bar {x}}_{\mathrm {geom} }={\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}

wird in der Mathematik als das geometrisches Mittel dieser Zahlen bezeichnet.

Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel besagt, dass das arithmetische Mittel stets mindestens so groß wie das geometrische Mittel ist:

x_{\mathrm {geom} }\leq x_{\mathrm {arithm} }

.

Gleichheit wird nur dann erreicht, wenn alle $x_{i}$ gleich sind.

Beweis

Beweis aus der Jensenschen Ungleichung

Die Ungleichung vom arithemtischen und geometrischen Mittel lässt sich beispielsweise aus der Jensenschen Ungleichung beweisen: die Logarithmusfunktion ist konkav, daher gilt

\ln(\lambda _{1}x_{1}+...+\lambda _{n}x_{n})\geq \lambda _{1}\ln x_{1}+...+\lambda _{n}\ln x_{n}

Durch Anwendung der Exponentialfuktion auf beide Seiten folgt

\lambda _{1}x_{1}+...+\lambda _{n}x_{n}\geq \prod _{i=1}^{n}{x_{i}}^{\lambda _{n}}

.

Für $\lambda _{n}=1/n$ ergibt das genau die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel.

Induktive Beweise

Der Beweis aus der Jensenschen Ungleichung ist zwar sehr leicht verständlich, hat aber den Nachteil, dass Vorwissen über die Logarithmusfunktion benötigt wird. Methodisch sind daher oft induktive Beweise zweckmäßiger. Diese sind für die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel aber relativ schwierig.

Beweis mit vorwärts-rückwärts Induktion

Ein induktiver Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel kann mit "vorwärts-rückwärts" Induktion erfolgen. Der VorwärtsSchritt erfolgt dabei, indem man aus der Gültigkeit der Ungleichung für n die Gültigkeit für 2n beweist. Der Rückwärtsschritt erfolgt, indem man aus der Gültigkeit von der Ungleichung für n die Gültigkeit für n-1 zeigt, indem man $x_{n}={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n-1}x_{i}$ setzt. Laut Hardy, Littlewood, Polya Inequalites findet sich dieser Beweis bereits bei A. L. Cauchy, Cours d'analyse de l'Ecole Royale Polytechnique, premier partie, Analyse algebrique, Paris 1821.

Beweis mittels Hilfssatz

Ein anderer Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ergibt sich aus dem Hilfssatz, dass für $x_{i}>0$ und $\prod _{i=1}^{n}x_{i}=1$ folgt, dass $\sum _{i=1}^{n}x_{i}\geq n$ . Dieser Hilfssatz lässt sich relativ leicht mit vollständiger Induktion beweisen.

Beweis aus Bernoulli Ungleichung

Ein direkter induktiver Beweis mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung findet sich in H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1, Kapitel 12.2.

Veralgemeinerungen

Ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel

Erstetzt man in der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel $x_{i}$ durch $1/x_{i}$ , so erhält man die ungleichung vom harmonischen und geometrischen Mittel:

{\frac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}}}

Ungleichung der verallgemeinerten Mittel

Als verallgemeinertes (m-tes) Mittel bezeichnet man den Ausdruck

{\bar {x}}(m)={\sqrt[{m}]{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}}}

.

Für m = 1: erhält man das arithmetische Mittel,
Der Grenzwert m -> 0 ergibt das geometrisches Mittel.

Allgemein gilt für -∞ < s < t < ∞ die verallgemeinerte Mittelwertungleichung:

{\bar {x}}(s)\leq {\bar {x}}(t)

Diese Ungleichung lässt sich z.B. beweisen, indem man $u_{i}:=x_{i}^{s},v_{i}:=1$ setzt und $u_{i}$ und $v_{i}$ in die Hölder-Ungleichung mit $p=t/s$ einsetzt.

Ungleichung der gewichteten verallgemeinerten Mittel

Für einen gegebenen Gewichtsvektor $\gamma =(\gamma _{1},...\gamma _{n})$ mit $\gamma _{i}\geq 0$ und $\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}=1$ bezeichnet man den Ausdruck

{\bar {x}}(\gamma ,m)={\sqrt[{m}]{\sum _{i=1}^{n}{\gamma _{i}x_{i}^{m}}}}

als das $\gamma$ -gewichtete m-te Mittel der Zahlen $x_{i}$ .

Auch hier gilt für -∞ < s < t < ∞ die Ungleichung:

{\bar {x}}(\gamma ,s)\leq {\bar {x}}(\gamma ,t)

Diese Ungleichung lässt sich ebenfalls aus der Hölder-Ungleichung beweisen, indem man $u_{i}:=\gamma _{i}x_{i}^{s},v_{i}:=\gamma _{i}$ sowie $p=t/s$ setzt.

Muirhead-Ungleichung

Eine andere Verallgemeinerung der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist die Muirhead-Ungleichung.

Anwendungen

Definiert man für $x_{i},y_{i};i=1,...,n$ die Werte $\xi _{i}:=|x_{i}|/{\sqrt {\sum _{i}x_{i}^{2}}}$ und $\eta _{i}:=|y_{i}|/{\sqrt {\sum _{i}y_{i}^{2}}}$ , so ergibt sich aus der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel die Beziehung

\sum _{i}\xi _{i}\eta _{i}=\sum _{i}{\sqrt {\xi _{i}^{2}\eta _{i}^{2}}}\leq \sum _{i}(\xi _{i}^{2}/2+\eta _{i}^{2}/2)=1

Daraus folgt unmittelbar die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Siehe auch