Lineare Algebra
Lineare Algebra ist der Zweig der Mathematik, der sich mit Vektoren, Vektorräumen, linearen Abbildungen und linearen Gleichungssystemen befasst.
Da der Vektorraum ein wichtiges Hilfsmittel in vielen Bereichen der Mathematik ist, gilt die lineare Algebra als eine der Grundlagen der Mathematik.
Ausserhalb der reinen Mathematik finden sich Anwendungen der linearen Algebra u.a. in den Naturwissenschaften und in der Wirtschaftswissenschaft (Optimierung).
Der Ursprung der linearen Algebra findet sich in systematischen Betrachtungen von Vektoren im 2- und 3-dimensionalen (euklidischen) Raum, auch "Anschauungsraum" genannt. Hier entspricht einem Vektor eine Strecke einer bestimmten Länge (der Betrag des Vektors) sowie eine der zwei möglichen Richtungen. Vektoren dieser Art lassen sich nutzen, um physikalische Größen (etwa Kräfte) anschaulich darzustellen. Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl sowie das Addieren von Vektoren bilden die Rechenoperationen in einem aus Vektoren gebildeten Vektorraum.
Die Verallgemeinerung zu mehrdimensionalen (abstrakten) Vektorräumen, obwohl unanschaulich, ist wesentlicher Bestandteil der linearen Algebra. Hier werden der mathematische Ring aller linearen Abbildungen, die als Matrizen darstellbar sind, wichtige Hilfsmittel. Ein Vektorraum ist nur dann vollständig characterisiert, wenn der Zahlenkörper, über dem der Vektorraum definiert ist, angegeben ist. Typische Zahlenkörper sind die reellen oder komplexen Zahlen.
Wichtige Begriffe der Linearen Algebra, die besser unter Vektorraum beschrieben werden, sind die Basis eines Vektorraums, die Eigenschaften linearer Abbildungen und von Determinanten sowie das Skalarprodukt.
Beispiele wichtige Vektorräume sind der Banachraum und der Hilbertraum.
Schreibweise
Vektoren können durch ihre Komponenten beschrieben werden, die (je nach Anwendung) als (hier 3-dimensionaler) Spaltenvektor
/ 3 \
a = | 7 |
\ 1 /
oder (hier 4-dimensionaler) Zeilenvektor
b = ( 4 6 3 7 )
geschrieben werden. In der Literatur werden Vektoren unterschiedlich von anderen Größen unterschieden: Es werden Kleinbuchstaben, fettgedruckte Kleinbuchstaben, unterstrichene Kleinbuchstaben oder Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber benutzt. Dieser Artikel verwendet Kleinbuchstaben.
Eine Matrix wird durch ein 'Raster' von Zahlen angegeben. Hier ist eine dimensionale Matrix (mit 4 Zeilen und 3 Spalten:
/ 8 2 9 \
M = | 4 8 2 |
| 8 2 7 |
\ 5 9 1 /
Matrizen werden meistens mit Grossbuchstaben bezeichnet.
Einzelne Elemente eines Vektors werden bei Spaltenvektoren in der Regel durch einen Index angegeben: Das 2. Element des oben angegebenen Vektors a wäre dann a2=7. In Zeilenvektoren wird manchmal eine Hochzahl verwendet, wobei man aufpassen muss, ob eine Vektorindizierung oder ein Exponent vorliegt: Mit dem obrigen Beispiel b hat man etwa b4=7.
Matrixelemente werden durch zwei Indizes angegeben. Dabei werden die Elemente durch Kleinbuchstaben dargestellt: m2,3=2 ist das Element der 2. Zeile in der 3. Spalte.
Rechenregeln
Sowohl Vektoren als auch Matrizen werden elementweise addiert:
/ 1 \ / 3 \ / 4 \
| 2 | + | 7 | = | 9 |
\ 9 / \ 2 / \ 11 /
/ 2 8 3 \ / 3 7 1 \ / 5 15 4 \
| 2 9 4 | + | 8 4 6 | = | 10 13 10 |
\ 7 3 1 / \ 7 3 4 / \ 14 6 5 /
Die Multiplikation mit einer Zahl (Skalarmultiplikation, skalare Multiplikation) erfolgt durch Multiplikation jedes Vektor- oder Matrixelementes mit der Zahl.
/ 3 \ / 6 \
2 * | 4 | = | 8 |
\ 1 / \ 2 /
/ 3 8 4 \ / 6 16 8 \
2 * | 9 4 1 | = | 18 8 2 |
\ 4 7 2 / \ 8 14 4 /
Damit eine Multiplikation zweier Matrizen definiert werden kann, muss die Anzahl der Spalten der 'linken' Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der 'rechten' Matrix sein. Die anschauliche Merkregel zur Matrixmultiplikation beizpeilsweise zweier Matrizen zu C = A * B ist, dass dass man ein Element ci,j der Matrix C aus der Produkt der i-ten Zeile der Matrix A mit der j-ten Spalte der Matrix B erhält. Nach den oben genannten Bedingungen ist sichergestellt, dass deine Zeile in A genausoviele Elemente wie eine Spalte in B enthält. Dann kann man das Produkt von Zeile mit Spalte als die Summe der paarweisen Produlte (erstes Element der Zeile * erstes Element der Spalte + ... + letztes Element der Zeile * letztes Element der Spalte) definieren. Da man formal einen Vektor als ein Matrix mit einer Zeile oder einer Spale auffassen kann, fallen Multiplikationen zwischen Matrix unf Vektor ebenfalls unter diese Vorschrift.
Formaler definiert man die Matrikmultiplikaton C = A * B durch
- cij = &sumnk=1aik bkj
Lineare Gleichungssysteme
Eine wichtige Anwendung der Linearen Algebra ist das Lösen linearer Gleichungssysteme. Beispielsweise kann man das lineare Gleichungssystem,
x1 + x2 + 2x3 = 1 2x1 + 3x2 + 3x3 = 4 4x1 + 4x2 + 5x3 = 2
für das die Lösungswerte für x1, x2 und x3 berechnet werden sollen, in eine Matrix- und Vektorgleichung A * x = b umformen:
/ 1 1 2 \ / x1 \ / 1 \
A = | 2 3 3 |, x = | x2 |, b = | 4 |
\ 4 4 5 / \ x3 / \ 2 /
Gauss-Algorithmus
Der Gauss-Algorithmus ist ein Standardverfahren zum Lösen linearer Gleichungssystems. Um Schreibarbeit zu sparen, wird die letzte Formel nochmal umgeschrieben:
1 1 2 | 1 2 3 3 | 4 4 4 5 | 2
Nun wird von der zweiten und der dritten Zeile jeweils das doppelte bzw vierfache der ersten Zeile abgezogen. Man erhält
1 1 2 | 2 0 1 -1 | 2 0 2 1 | -2
Im nächsten Schritt wird von der dritten Zeile das doppelte der zweiten Zeile abgezogen:
1 1 2 | 2 0 1 -1 | 2 0 0 3 | -4
Dadurch entsteht aus A eine Matrix, in der alle Einträge links unterhalb der Diagonale 0 sind. Nun wird das System wieder umgeschrieben:
x1 + x2 + 2x3 = 2
x2 - x3 = 2
3x3 = -4
Die dritte Gleichung kann einfach gelöst werden (einfach heißt nicht, dass es keine Brüche gibt...):
x3 = -4/3
Wenn man das nun in die zweite Gleichung einsetzt, kann auch diese leicht gelöst werden:
x2 + 4/3 = 2 ⇒ x2 = 2/3
Die beiden Ergebnisse werden in die erste Gleichung eingesetzt:
x1 + 2/3 + 8/3 = 2 ⇒ x1 = 2 - 10/3 = -4/3
Nun sind die drei "Unbekannten" x1, x2 und x3 bekannt geworden, das Gleichungssystem ist gelöst:
/ -4/3 \
x = | 2/3 |
\ -4/3 /
Siehe auch
- Lineare Abbildungen
- Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren zur Konstruktion von Orthonormalbasen