Lineare Algebra

Hier fehlen Begriffsdefinitionen!

Dimension? Rang? Basis und Erzeugendesysteme? ...

Jemand der sie genau definiert weiss, füge sie bitte ein.

Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Matrizen, Vektoren und Vektorräumen.

Ein Vektor ist eine strukturierte Ansammlung von Zahlen:

 / 3 \
|  7  |
|  6  |
 \ 1 /

(Spaltenvektor) oder

(3,7,3,8)

(Zeilenvektor). Die Bezeichnungen variieren:

• Kleinbuchstaben
• fetter Kleinbuchstaben
• unterstrichener Kleinbuchstaben
• Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber

Dieser Artikel verwendet Kleinbuchstaben.

Auch eine Matrix ist eine strukturierte Ansammlung von Zahlen:

 / 8 2 9 \
|  4 8 2  |
|  8 2 7  |
 \ 5 9 1 /

Sie ist kann quadratisch sein (wichtiger Spezialfall). Matrizen werden meist mit Grossbuchstaben bezeichnet.

Der Einfachheit halber sind in diesem Artikel vorläufig alle Matrizen quadratisch, sie haben n Spalten und n Zeilen.

wichtigste Rechenregeln

• mit einem Index wird auf die Elemente eines Vektors (Bsp: x₂) oder einer Matrix (Bsp: a₁₃ ist dritte Element in der ersten Zeile) zugegriffen
• Vektoraddition: elementweise zusammenzählen

     / 1 \   / 3 \   /  4 \
     | 2 | + | 7 | = |  9 |
     \ 9 /   \ 2 /   \ 11 /

• Matrixaddition: elementweise zusammenzählen

     / 2 8 3 \   / 3 7 1 \   /  5 15  4 \
     | 2 9 4 | + | 8 4 6 | = | 10 13 10 |
     \ 7 3 1 /   \ 7 3 4 /   \ 14  6  5 /

• Skalarmultiplikation

       / 3 \   / 6 \
     2*| 4 | = | 8 |
       \ 1 /   \ 2 /

       / 3 8 4 \   /  6 16 8 \
     2*| 9 4 1 | = | 18  8 2 |
       \ 4 7 2 /   \  8 14 4 /

• Matrixmultiplikation

     C = A*B
     cij = &sumnk=1aik bkj

• die Matrixmultiplikation funktioniert auch mit Matrizen und Vektoren. Dafür müssen im folgenden Beispiel diese Bedingungen erfüllt sein:
  • x ist ein Spaltenvektor mit gleichvielen Einträgen wie A Spalten hat
  • y ist ein Zeilenvektor mit gleichvielen Einträgen wie B Zeilen hat
  • u ist ein Zeilen-, v ein Spaltenvektor. Die beiden Vektoren haben gleich viele Einträge

     A*x    y*B   u*v

Lineare Gleichungssysteme

Ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems:

  x1 +  x2 + 2x3 = 1
 2x1 + 3x2 + 3x3 = 4
 4x1 + 4x2 + 5x3 = 2

Aus diesen drei Gleichungen sollen nun die Werte von x₁, x₂ und x₃ berechnet werden. Dazu wird das System zuerst in Matrizen und Vektoren übersetzt:

            / 1 1 2 \       / x1 \       / 1 \
 Ax=b,  A = | 2 3 3 |,  x = | x2 |,  b = | 4 |
            \ 4 4 5 /       \ x3 /       \ 2 /

Hier kann nun der Gauss-Algorithmus angewendet werden.

Gauss-Algorithmus

Um Schreibarbeit zu sparen, wird die letzte Formel nochmal umgeschrieben:

1 1 2 | 1
2 3 3 | 4
4 4 5 | 2

Nun wird von der zweiten und der dritten Zeile jeweils das doppelte bzw vierfache der ersten Zeile abgezogen. Das entstehende System:

1 1  2 |  2
0 1 -1 |  2
0 2  1 | -2

Im nächsten Schritt wird von der dritten Zeile das doppelte der zweiten Zeile abgezogen:

1 1  2 |  2
0 1 -1 |  2
0 0  3 | -4

Dadurch entsteht aus A eine Matrix, in der alle Einträge links unterhalb der Diagonale 0 sind. Nun wird das System wieder umgeschrieben:

x1 + x2 + 2x3 =  2
     x2 -  x3 =  2
          3x3 = -4

Die dritte Gleichung kann einfach gelöst werden (einfach heißt nicht, dass es keine Brüche gibt...):

x3 = -4/3

Wenn man das nun in die zweite Gleichung einsetzt, kann auch diese leicht gelöst werden:

x2 + 4/3 = 2
⇒ x2 = 2/3

Die beiden Ergebnisse werden in die erste Gleichung eingesetzt:

x1 + 2/3 + 8/3 = 2
⇒ x1 = 2 - 10/3 = -4/3

Nun sind die drei "Unbekannten" x₁, x₂ und x₃ bekannt geworden, das Gleichungssystem ist gelöst:

     / -4/3 \
 x = |  2/3 |
     \ -4/3 /

siehe auch

• Lineare Abbildungen
• Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren zur Konstruktion von Orthonormalbasen