Polarkoordinaten

In Koordinatensystemen mit Polarkoordinaten erfolgt die Angabe der Position von Punkten mittels des Abstandes von einem festgelegten Koordinatenursprung sowie durch einen oder mehrere Winkel in Bezug zu einer ausgezeichneten Ebene und/oder zu einer ausgezeichneten Richtung.

Allgemeines

Die Darstellung in Polarkoordinaten erlaubt bei Systemen, die Rotationssymmetrie oder Punktsymmetrie aufweisen, eine erhebliche Vereinfachung der Beschreibung. Z.B. genügt zur Festlegung einer Postion auf der Erdoberfläche, wenn es auf die Höhe über NN nicht ankommt, die Angabe von lediglich zwei Koordinaten (Längengrad und Breitengrad), da der Erdradius (nahezu) konstant ist.

Bei Polarkoordinaten stehen die Koordinatenlinien (Koordinatenachsen) ebenso wie bei kartesischen Koordinaten senkrecht aufeinander. Im Unterschied zu geradlinigen Koordinatensystemen sind die Koordinatenlinien bei Polarkoordinaten keine (bzw. nicht ausschließlich) Geraden.

Da es sich bei Polarkoordinaten um krummlinige Koordinaten handelt, ist bei der Integration in Polarkoordinaten die Funktionaldeterminante anzuwenden.

Unterschiedliche Varianten

Ebene Polarkoordinaten (Kreiskoordinaten)

Die Kreiskoordinaten eines Punktes in der euklidischen Ebene werden in Bezug zu einem Koordinatenursprung (einem Punkt der Ebene) und einer Polarkoordinatenrichtung (ein im Koordinatenursprung beginnender Strahl) angegeben.

Ebene Polarkoordinaten und ihreTransformation in kartesische Koordinaten

Wenn man ein Kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung sowie der x-Achse in Polarkoordinatenrichtung wählt, ergeben sich

x = r cos ( φ ) und

y = r sin ( φ )

als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen.

Für die Funktionaldeterminante in ebenen Polarkoordinaten erhält man

$\det {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r$

Zylindrische Koordinaten (Zylinderkoordinaten)

Zylindrische Koordinaten sind im Wesentlichen ebene Polarkoordinaten, die um eine dritte Koordinate ergänzt sind. Diese dritte Koordinate, im Allgemeinen h genannt, beschreibt die Höhe eines Punktes über (oder unter) der Ebene des Kreiskoordinatensystems.

Wenn man ein Kartesisches Koordinatensystem mit gleichem Ursprung wie beim Kreiskoordinatensystem wählt, und eine dritte Achse (z-Achse) senkrecht auf der Ebene errichtet, dann ergeben sich

x = r cos ( φ ),

y = r sin ( φ ) und

z = h

als Transformationsgleichungen zwischen den beiden Darstellungen. r ist jetzt nicht mehr der Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung sondern von der z-Achse.

Die Hinzunahme der geradlinigen Koordinaten h hat keinen Einfluss auf die Funktionaldeterminante:

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\varphi ,h)}}={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi &0\\\sin \varphi &r\cos \varphi &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=r$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement dV:

$\mathrm {d} V=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} h$

Sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)

Ein Punkt P mit den kartesischen Koordinaten (x,y,z) läßt sich darstellen in den sphärischen Polarkoordinaten (r,φ,θ).

Wenn das kartesische Koordinatensystem wieder so gewählt wird wie im Fall der Zylinderkoordinaten, so erhält man die möglichen Transformationsgleichungen

$x=r\sin(\vartheta )\cos(\varphi )$,

$y=r\sin(\vartheta )\sin(\varphi )$ und

$z=r\cos(\vartheta )$

Anschaulich:

z ist die Projektion des Ortsvektors ${\vec {p}}$ von P auf die z-Achse,

x ist die Projektion von ${\vec {r}}_{0}$ auf die x-Achse und

y ist die Projektion von ${\vec {r}}_{0}$ auf die y-Achse, wobei

${\vec {r}}_{0}$ die Projektion von ${\vec {p}}$ auf die x-y-Ebene ist.

$r(=|{\vec {p}}|)$ ist der Abstand des Punktes P vom Koordinatenursprung,

θ ist der Winkel zwischen ${\vec {p}}$ und der z-Achse und

φ ist der Winkel zwischen ${\vec {r}}_{0}$ und der x-Achse.

In sphärischen Polarkoordinaten erhält man die Funktionaldeterminante

$\det {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\vartheta ,\varphi )}}={\begin{vmatrix}\sin \vartheta \cos \varphi &r\cos \vartheta \cos \varphi &-r\sin \vartheta \sin \varphi \\\sin \vartheta \sin \varphi &r\cos \vartheta \sin \varphi &r\sin \vartheta \cos \varphi \\\cos \vartheta &-r\sin \vartheta &0\end{vmatrix}}=r^{2}\sin \vartheta .$

Neben der hier gewählten Definition der beiden Winkel sind auch andere Definitionen gebräuchlich. Die bei der Angabe von Punkten P auf der Erdoberfläche verwendeten Winkelkoordinaten sind z.B. der Winkel zwischen dem Strahl durch den Punkt P und der Äquatorialebene (Breitengrad), sowie zwischen dem Strahl und der durch Rotationsachse und Greenwich-Meridian aufgespannten Ebene (Längengrad).

Für das Flächenelement dA gilt:

$\mathrm {d} A=r\sin \vartheta \,\mathrm {d} \varphi \,r\mathrm {d} \vartheta$

Und für das Volumenelement dV:

$\mathrm {d} V=r\sin \vartheta \mathrm {d} \varphi \,r\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} r$

Umrechnung zwischen den Koordinatensystemen

Kartesisch und polar

$x=r\,\cos \theta \quad$

$y=r\,\sin \theta \quad$

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$

$\theta =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y$

Dabei ist u₀ die Heaviside-Funktion mit $u_{0}(0)=0$ und sgn ist die signum funktion. Die Funktionen u₀ und sgn werden hier als logische Schalter benutzt, anstatt verschiedener Fallunterscheidungen. Einige Programmier- und Skriptsprachen benutzen eine bivariate arctangens-Function atan2(y,x) die den korrekten Wert für θ für jedes gegebene x und y findet.

Kartesisch und zylindrisch

$x=r\,\cos \theta$

$y=r\,\sin \theta$

$z=h\quad$

$r={\sqrt {x^{3}+y^{2}}}$

$\theta =\arctan {\frac {y}{x}}+\pi u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y$

$h=z\quad$

${\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta &0\\\sin \theta &r\cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dr\\d\theta \\dh\end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}dr\\d\theta \\dh\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}&0\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\\0&0&1\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}$

Kartesisch und sphärisch

${x}=\rho \,\sin \phi \,\cos \theta \quad$

${y}=\rho \,\sin \phi \,\sin \theta \quad$

${z}=\rho \,\cos \phi \quad$

${\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

${\phi }=\arccos {\frac {z}{\rho }}$

${\phi }=\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}$

${\theta }=\arctan {\frac {y}{x}}+\pi \,u_{0}(-x)\,\operatorname {sgn} y$

${\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\sin \phi \cos \theta &\rho \cos \phi \cos \theta &-\rho \sin \phi \sin \theta \\\sin \phi \sin \theta &\rho \cos \phi \sin \theta &\rho \sin \phi \cos \theta \\\cos \phi &-\rho \sin \phi &0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\rho \\d\phi \\d\theta \end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}d\rho \\d\phi \\d\theta \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {x}{\rho }}&{\frac {y}{\rho }}&{\frac {z}{\rho }}\\{\frac {xz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{\rho ^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}$

Zylindrisch und sphärisch

${r}=\rho \,\sin \phi$

${\theta }=\theta \quad$

${h}=\rho \,\cos \phi$

${\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

${\phi }=\arctan {\frac {h}{r}}+\pi \,u_{0}(-r)\,\operatorname {sgn} h$

${\theta }=\theta \quad$

${\begin{vmatrix}dr\\d\theta \\dh\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\sin \phi &\rho \cos \phi &0\\0&0&1\\\cos \phi &-\rho \sin \phi &0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\rho \\d\phi \\d\theta \end{vmatrix}}$

${\begin{vmatrix}d\rho \\d\phi \\d\theta \end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}&0&{\frac {h}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}\\{\frac {-h}{r^{2}+h^{2}}}&0&{\frac {r}{r^{2}+h^{2}}}\\0&1&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}dr\\d\theta \\dh\end{vmatrix}}$

Weitere Artikel zum Thema

Siehe auch: Koordinatensystem Koordinate, geographische Koordinaten, Kartesische Koordinaten, Affine Koordinaten, Kreis, Zylinder, Kugel