Satz von Schwarz

Der Satz von Schwarz ist ein Satz der Mathematik in der Differentialrechnung mehrerer Variablen. Er ist benannt nach Herrmann Amandus Schwarz.

Der Satz von Schwarz besagt, dass die Reihenfolge der partiellen Differentiation (Ableitung) nicht entscheidend für das Ergebnis ist:

Die Funktion f(x,y) mit zwei Variablen x und y besitze in der Umgebung $U_{\varepsilon }(x,y)$ stetige partielle Ableitungen:

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}$, ${\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}$, und ${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right)$.

Die erste Ableitung differenziert f(x,y) nach x bei festem y (partielle Ableitung nach x), die zweite nach y bei festem x (partielle Ableitung nach y) und die letzte erst partiell nach x und danach das Ergebnis nach y.

Die letzte Ableitung ist dem Satz von Schwarz zufolge identisch mit

${\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)$,

also

${\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\right)$.

Man kann erst partiell nach x und danach nach y oder erst nach y und danach nach x differenzieren. Das Ergebnis bleibt gleich (sofern die Ableitungen existieren und stetig sind). Dies ist der Inhalt des Satzes von Schwarz.

Oft werden die Klammern weggelassen und man schreibt kürzer:

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}$

oder einfach: ${f_{xy}\ =\ f_{yx}}$