Logarithmus

Graph des Logarithmus zur Basis 2 (grün), e (rot) bzw. 1/2 (blau)

Der Logarithmus (gr. λόγος lógos „Verständnis“, αριθμός arithmós „Zahl“) gehört zu den elementaren mathematischen Funktionen.

Logarithmieren zu einer Basis entspricht der Suche nach dem Exponenten (der Hochzahl) bei einer festen Basis. Der Logarithmus ist die Umkehrung der Exponentialfunktion (hier ist nicht notwendigerweise die natürliche Exponentialfunktion $e^{x}$ gemeint, deren Umkehrung speziell der natürliche Logarithmus $ln(x)$ (logarithmus naturalis) ist).

Sind beispielsweise zwei positive reelle Zahlen a und b mit b ≠ 1 gegeben und soll a in der Gestalt

$a\,=\,b^{x}$

dargestellt werden, dann ist x der Logarithmus von a zur Basis b und man schreibt

$x\,=\,\log _{b}a$.

Bezeichnungen

Man schreibt:

$x=\log _{b}a\,$

und sagt: „x ist der Logarithmus von a zur Basis b“ oder auch „x ist der Logarithmus zur Basis b aus a“. a heißt Logarithmand oder auch Numerus. Das Ergebnis des Logarithmierens gibt also an, mit welchem Exponenten x man die Basis b potenzieren muss, um den Logarithmanden (Numerus) a zu erhalten. Das setzt voraus, dass das Potenzieren mit beliebigen reellen Exponenten schon erklärt ist (was auf verschiedene Weise geht, aber ohne vorherige Kenntnis des Logarithmus nicht ganz einfach ist).

Das Formelzeichen für den Logarithmus ist log. Die Basis wird als Index angehängt. Seltener findet man auch davon abweichende Schreibweisen, wie zum Beispiel ${}_{b}\log a$, oder die Basis wird nicht mitnotiert, wenn sie aus dem Zusammenhang ersichtlich ist und keine Verwechslungsgefahr besteht.

log_b

Logarithmus zur Basis b

ln

logarithmus naturalis bzw. natürlicher Logarithmus, der Logarithmus zur Basis e, der Eulerschen Zahl 2,7182818284590452......

lg

Logarithmus zur Basis 10, auch bezeichnet als Zehnerlogarithmus oder dekadischer Logarithmus oder Briggsscher Logarithmus. Nützlich wegen des Zehnersystems.

ld

logarithmus dualis, Logarithmus zur Basis 2, auch als Zweierlogarithmus oder dyadischer oder binärer Logarithmus bezeichnet (manchmal auch mit der Abkürzung lb); wird in der Informatik aufgrund des Binärsystems verwendet.

log

In der Mathematik steht log für den natürlichen Logarithmus, in technischen Anwendungen (so z. B. auf Taschenrechnern) für den dekadischen Logarithmus, in der Informatik für den dyadischen Logarithmus. Gelegentlich wird log auch verwendet, wenn die verwendete Basis keine Rolle spielt.

Im Englischen werden zum Teil andere Notationen verwendet. Ebenso in deutschen Büchern, die aus dem Englischen übersetzt wurden.

log₂ = ld, manchmal auch lb

log_e = ln oder log (auf Taschenrechnern meist ln)

Ein ähnliches Formelsymbol ist li für den Integrallogarithmus. Bei dieser Funktion handelt es sich nicht um eine Logarithmusfunktion.

Logarithmus in Anwendung und Natur

Das Gehäuse eines Nautilus zeigt eine logarithmische Spirale

Anwendungen des Logarithmus finden sich vielfach in der Wissenschaft, wenn der Wertebereich viele Größenordnungen umfasst. Daten werden entweder direkt mit einer logarithmischen Skala dargestellt, oder die Einheiten selbst ausgedrückt, wie zum Beispiel beim pH-Wert, Dezibel oder Bit.

In der belebten Natur

finden sich zahlreiche Beispiele logarithmischer Spiralen, so z. B das Wachstum von Schneckenhäusern oder die Anordnung der Kerne auf der Sonnenblume.

Anzahl der Ziffern einer Binärzahl

Berechnung der Anzahl der Ziffern, die zur Darstellung einer Dezimalzahl im Binärsystem benötigt werden. Um eine natürliche Zahl n zur Basis b darzustellen, werden $1+\lfloor \log _{b}n\rfloor$ Stellen benötigt. Die Klammern bedeuten dabei Abrunden auf die nächste ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist. Zum Beispiel ist log₂100 ≈ 6,64. Die obige Formel liefert den Wert 7. Man braucht also 7 Binärstellen, um 100 darzustellen, nämlich 100=1100100₂.

Informationseinheit

Messung der Informationsmenge; die Informationstheorie sagt, dass wenn etwas mit Wahrscheinlichkeit p auftritt, das Wissen über das tatsächliche Auftreten davon eine Informationsmenge von $\log _{2}{\tfrac {1}{p}}$ Bits ergibt. Z. B. erhält man beim Ergebnis „Kopf“ eines fairen Münzwurfs ($p={\tfrac {1}{2}}$) die Informationsmenge $\log _{2}2=1$ bit, beim Auftreten einer „1“ beim Würfeln ($p={\tfrac {1}{6}}$) dagegen $\log _{2}6={\tfrac {\ln 6}{\ln 2}}\approx 2{,}585$ Bits.

Kryptographie

Der diskrete Logarithmus (erklärt für endliche Zahlenkörper) ist erheblich aufwendiger zu berechnen als seine Umkehrfunktion, die diskrete Exponentialfunktion, und hilft als sog. Einwegfunktion in der Kryptografie Daten zu verschlüsseln

pH-Wert

Der Säurewert von Lösungen. Anmerkung: In der Chemie kann man logarithmische Skalen i. A. am vorangestellten p erkennen, z. B. beim pKs- oder pKb-Wert.

Dezibel (dB)

Messung von Lautstärke, elektronischer Dämpfung, etc

Die Empfindlichkeit der Sinnesorgane

folgt dem logarithmischen Weber-Fechner-Gesetz der Psychophysik, wonach eine Vervielfachung der Reizstärke nur eine lineare Zunahme des wahrgenommenen Reizes bewirkt.

Sternhelligkeiten

werden in astronomischen Größenklassen angegeben, die ein logarithmisches Maß der tatsächlichen Strahlungsstärke darstellt.

Logarithmische Zeitskalen

finden sich in der Geschichte der Technologie ebenso wie in der geologischen Zeitskala.

Zur graphischen Darstellung von Funktionen

werden spezielle mathematische Papiere verwendet, wie z. B. einfachlogarithmisches Papier oder doppeltlogarithmisches Papier.

Lösung von typischen Aufgabenstellungen, die bei Wachstums- oder Zerfallsprozessen

auftreten, da diese durch seine Umkehrfunktion, die Exponentialfunktion, modelliert werden. Siehe Exponentieller Vorgang, Absorption.

Der Logarithmus als Größenmaßstab

Der Logarithmus zur Basis 10 (dekadischer Logarithmus) ist im Dezimalsystem ein Maß für die Größenordnung einer Zahl, denn die Ungleichung

${10}^{k}\leq x<{10}^{k+1}$

ist gleichwertig mit

$k\leq \log _{10}(x)<k+1$.

Gelten diese Ungleichungen für eine ganze Zahl $k$, so besitzt die reelle Zahl $x$ in ihrer Dezimalbruchentwicklung gerade $k+1$ Stellen vor dem Komma (für $k\geq 0$) bzw. beginnt bei der $|k|$-ten Stelle nach dem Komma (für $k<0$).

Der Logarithmus als Rechenhilfe

Logarithmische Skaleneinteilung eines Rechenschiebers (Detail)

Im Normalfall tauchen beim Logarithmieren auch Nachkommastellen auf, die Mantisse genannt werden. So ist $\log _{10}(3)\approx 0,47712$. Multipliziert man eine Zahl mit der Basis, dann ändert sich zwar die Kennzahl, nicht aber die Mantisse. Es ist also

$\log _{10}(3\cdot 10)=1+\log _{10}(3)\approx 1{,}47712$

Bevor elektronische Rechenmaschinen zur Verfügung standen, nutzte man dies aus, um Multiplikationen zu Additionen und Divisionen zu Subtraktionen zu vereinfachen. Und die Berechnung der Quadratwurzel vereinfacht sich auf der Ebene des Logarithmus zu einer Division durch 2. Weil der Logarithmus selbst nicht so leicht zu berechnen ist, waren Rechenschieber (John Napier) und Logarithmentafeln weit verbreitete Hilfsmittel.

Siehe dazu auch die Logarithmengesetze weiter unten.

Geschichte

Titelblatt zu Jost Bürgis Logarithmentafel von 1620

Indische Mathematiker im 2. Jahrhundert v. Chr. haben als Erste Logarithmen erwähnt. Schon in der Antike nutzen sie Logarithmen für ihre Berechnungen zur Basis der Zahl zwei. Im 8. Jahrhundert beschrieb Virasena (Indischer Mathematiker) Logarithmen zur Basis drei und vier. Ab dem 13. Jahrhundert wurden dann ganze logarithmische Tabellenwerke von muslimischen Mathematikern erstellt.

Im 17. Jahrhundert entwickelte der Schweizer Uhrmacher Jost Bürgi das erste bekannte System zur Berechnung von Logarithmen. Veröffentlicht hat er dieses aber erst 1620. Schon vorher im Jahre 1614 veröffentlichte der schottische Denker John Napier ein Buch über Logarithmen, dessen Grundlagen er unabhängig von denen Jost Bürgis entwickelte.

Definition

Der Logarithmus über den positiven reellen Zahlen kann auf verschiedene Art und Weisen eingeführt werden. Je nach Hintergrund und Intention wird man den einen oder anderen Zugang wählen.

Die einzelnen Definitionen sind untereinander äquivalent und erfolgen mit besonderem Fokus auf den natürlichen Logarithmus, der aus Sicht des Mathematikers auf natürliche Art auftritt, wie bei dem Zugang über die Funktionalgleichung oder über die Stammfunktion von 1/t erkennbar wird.

als Umkehrfunktion der Exponentialfunktion

Der Logarithmus zur Basis b ist die Umkehrfunktion der allgemeinen Exponentialfunktion zur Basis b

$x\mapsto b^{x}$

Die Funktionen b^x und log_b(x) sind also Umkehrfunktionen voneinander, d. h. Logarithmieren macht Exponenzieren rückgängig und umgekehrt:

$b^{\log _{b}x}=x\quad {\mbox{und}}\quad \log _{b}(b^{x})=x$

Der natürliche Logarithmus ergibt sich mit der Basis b = e, wobei e = 2,718281828459.... die Eulersche Zahl ist.

als Lösung einer Funktionalgleichung

Die Logarithmusfunktionen sind die nicht-trivialen, stetigen Lösungen $L$ der Funktionalgleichung

$L(x\cdot y)=L(x)+L(y)$

Diese Lösungen erweisen sich sogar als differenzierbar. Den natürlichen Logarithmus erhält man dann zusammen mit der Zusatzbedingung

$L'(1)=1\,$

Die Zusatzbedingung ist einer der Gründe dafür, den so erhaltenen Logarithmus als natürlich zu bezeichnen. Wollte man den Logarithmus zu einer anderen Basis $b$ über die Zusatzbedingung erhalten, dann müsste man fordern

$L'(1)={\frac {1}{\ln b}}\,$

und würde wieder den natürlichen Logarithmus benötigen.

Die triviale Lösung obiger Funktionalgleichung ist die Nullfunktion $L(x)=0$, welche nicht als Logarithmusfunktion angesehen wird.

als Stammfunktion von 1/t

Die Funktion

$L:x\mapsto \int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t$

mit x > 0 ist gerade der natürliche Logarithmus: Es ist L = ln. Zum Logarithmus mit der Basis b gelangt man durch Division der Funktion L durch die Konstante L(b) = ln b.

als Potenzreihe

Der natürliche Logarithmus kann als Potenzreihe gemäß

$\ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\,x^{k}}{k}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \cdots$

eingeführt werden. Diese Reihe hat den Konvergenzradius 1. Durch analytische Fortsetzung oder durch Anwendung der Funktionalgleichung

$\ln {\frac {1}{x}}=-\ln x$

erhält man den natürlichen Logarithmus auf den positiven reellen Zahlen.

Anmerkung

Diese Definitionen können auch herangezogen werden, um Logarithmen auf anderen mathematischen Strukturen zu erhalten, wie z. B. auf den komplexen Zahlen. Das setzt voraus, dass in der betreffenden Struktur die zur Definition verwendeten Konzepte existieren.

Um etwa den diskreten Logarithmus auf einer Gruppe zu definieren, können Konzepte wie Differentiation/Integration sowie Multiplikation/Division nicht herangezogen werden, weil sie dort gar nicht existieren. (In einer Gruppe gibt es eine Verknüpfung und nicht zwei, die zudem noch durch ein Distributivgesetz miteinander verknüpft sind).

Rechenregeln und grundlegende Eigenschaften

Logarithmengesetze

Produkte

Für das Rechnen mit Logarithmen von Produkten steht eine hilfreiche Rechenregel zur Verfügung:

$\log _{a}(x\cdot y)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$

Oder allgemeiner:

$\log _{a}\left(x_{1}\cdot x_{2}\cdot \ldots \cdot x_{n}\right)=\log _{a}\left(x_{1}\right)+\log _{a}\left(x_{2}\right)+\cdots +\log _{a}\left(x_{n}\right)$

bzw.

$\log _{a}\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\log _{a}(x_{i})}$

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der Faktoren.

Quotienten

Diese leiten sich direkt aus den Logarithmen von Produkten ab. Hier sei nur der einfache Fall angegeben:

$\log _{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$

Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers (x) minus den Logarithmus des Nenners (y).

Summen und Differenzen

Für Logarithmen von Summen und Differenzen gibt es diese wenig bekannten Rechenregeln:

$\log _{a}(x+y)=\log _{a}x+\log _{a}\left(1+{\frac {y}{x}}\right)=\log _{a}y+\log _{a}\left(1+{\frac {x}{y}}\right)$

$\log _{a}(x-y)=\log _{a}x+\log _{a}\left(1-{\frac {y}{x}}\right)$

Anmerkung: in diesem Fall wird einfach x ausgeklammert, damit ein Produkt entsteht; so kann wieder die Formel für Produkte angewandt werden:

$(x+y)=x\cdot \left(1+{\frac {y}{x}}\right)$

Oder allgemeiner:

$\log _{a}(x+y)=\log _{a}x+\log _{a}\left(1+a^{\log _{a}y-\log _{a}x}\right)$

$\log _{a}(x-y)=\log _{a}x+\log _{a}\left(1-a^{\log _{a}y-\log _{a}x}\right)$

Potenzen

Für Potenzen mit reellem Exponent $r$ gilt die Regel:

$\log _{a}\left(x^{r}\right)=r\cdot \log _{a}(x)$

Der Logarithmus einer Potenz ist also das Produkt aus dem Exponenten mit dem Logarithmus der Basis.

Daraus lässt sich für r= -1 ermitteln:

$\log _{a}\left({\frac {1}{x}}\right)=-\log _{a}(x)$

Der Logarithmus eines Stammbruchs (1/x) ist der negative Logarithmus des Nenners (x).

Diese Rechenregeln lassen sich von den Potenzgesetzen ableiten.

Wurzeln

Da Wurzeln nichts anderes als Potenzen mit gebrochenem Exponenten sind, ergibt sich nach der oben angegebenen Potenzregel des Logarithmus folgende Rechenregel:

$\log _{a}\!\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)=\log _{a}\!\left(x^{\frac {1}{n}}\right)={\frac {1}{n}}\log _{a}(x)$

Basisumrechnung

Um Logarithmen zur Basis $b$ mithilfe von Logarithmen einer beliebigen Basis $a$ zu berechnen, verwendet man den Zusammenhang

$\log _{a}(b)={\frac {\ln(b)}{\ln(a)}}$

Beweis:

${\begin{aligned}{\mbox{Sei }}L:=\log _{b}(r){\mbox{ }}\Leftrightarrow {\mbox{ }}r=b^{L}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\mbox{Dann folgt: }}{\frac {\log _{a}(r)}{\log _{a}(b)}}={\frac {\log _{a}(b^{L})}{\log _{a}(b)}}={\frac {L\cdot \log _{a}(b)}{\log _{a}(b)}}=L=\log _{b}(r)\end{aligned}}$

Tabellenwerke oder Taschenrechner stellen i. A. Logarithmen zur Basis 10 und natürliche Logarithmen zur Verfügung. Mit obiger Formel lassen sich daraus Logarithmen zu einer beliebigen Basis berechnen.

Beispiel 1

$\log _{10}(8)={\frac {\log _{2}(8)}{\log _{2}(10)}}\approx {\frac {3}{3{,}32}}\approx 0{,}90$

Alternative mit Hilfe des natürlichen Logarithmus:

$\log _{10}(8)={\frac {\ln(8)}{\ln(10)}}\approx 0{,}90$

Beispiel 2

$\log _{2}(1024)={\frac {\ln(1024)}{\ln(2)}}=10,\ {\mathsf {denn}}\ 2^{10}=1024$

Null und die negativen Zahlen

In den reellen Zahlen ist der Logarithmus für Null und negative Zahlen nicht definiert.

Begründungen

• $x=\log _{a}(0)$ müsste dann $0=a^{x}$ bedeuten. Was aber nicht der Fall ist, wenn a ungleich Null ist.
• (als Beispiel die negative Zahl -1) $x=\log _{a}(-1)$ müsste dann $-1=a^{x}$ bedeuten. Was aber nicht sein kann, wenn a größer Null ist.

In der Funktionentheorie, in der Funktionen von komplexen Zahlen betrachtet werden, kann man den Logarithmus auch für negative Zahlen definieren (siehe Komplexer Logarithmus), allerdings gelten dann einige der Rechenregeln nicht mehr.

Ableitung und Integral

Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion. Daher erhält man die Ableitung des natürlichen Logarithmus einfach durch Anwendung der Umkehrregel (siehe Beispiel dort).

Es ergibt sich

$\ln '(x)={\frac {1}{x}}$

Für allgemeine Logarithmen gilt:

$(\log _{b}{x})'={\frac {1}{x\ln {b}}}$

Das unbestimmte Integral des natürlichen Logarithmus erhält man mit partieller Integration:

$\int {\ln {x}\,\mathrm {d} x}=\int {1\cdot \ln {x}\,\mathrm {d} x}=x\cdot \ln {x}-\int {x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x}=x\ln {x}-x+C$

Ist bei einem bestimmten Integral des natürlichen Logarithmus eine der Grenzen Null, so kann die Regel von L'Hospital angewendet werden.

Beispiel

$\int _{0}^{1}{\ln {x}\,\mathrm {d} x}=[x\ln {x}-x]_{0}^{1}=-1$,

da

$\lim _{x\to 0^{+}}x\ln {x}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln {x}}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}(-x)=0$

Kurvendiskussion

• Definitionsmenge: $D=]0,\infty [$
• Wertemenge: alle reellen Zahlen
• Nullstellen bzw. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: {1} bzw. (1|0)
• Gebräuchliche Limiten / Verhalten im Unendlichen:

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{b}x={\begin{cases}-\infty ,&{\mbox{wenn }}b>1\\+\infty ,&{\mbox{wenn }}b<1\end{cases}}$

$\lim _{x\to \infty }\log _{b}x={\begin{cases}+\infty ,&{\mbox{wenn }}b>1\\-\infty ,&{\mbox{wenn }}b<1\end{cases}}$

• Erste Ableitung:

$(\log _{b}x)'={\frac {1}{\ln b\cdot x}}$

• Extrempunkte: keine
• Wendepunkte: keine
• Monotonie: streng monoton steigend/wachsend (wenn $b>1$) bzw. fallend (sonst)

Natürlicher Logarithmus und andere spezielle Logarithmen

Der Logarithmus zur Basis e (der Eulerschen Zahl) wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet und mit „ln“ oder einfach „log“ (ohne Subskript) abgekürzt:

Wenn $y=e^{x}$, dann ist $x=\log _{e}(y)=\ln(y)$.

Die Zahl e ist z. B. dadurch ausgezeichnet (und könnte auch so definiert werden), dass die Exponentialfunktion $e^{x}$ sich bei Ableitung wieder selbst reproduziert, als Formel:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}$

Der Begriff natürlicher Logarithmus wurde gewählt, weil sowohl die Exponentialfunktion als auch der Logarithmus zur Basis e in vielen Zusammenhängen (Integralrechnung, Differentialrechnung, Komplexe Zahlen, Trigonometrie) auftreten. Zudem lässt sich der natürliche Logarithmus sehr einfach integrieren und differenzieren.

Der natürliche Logarithmus vom Betrag von x, also f(x)=ln|x| ist eine Stammfunktion der Potenzfunktion $f'(x)=x^{(-1)}$ bzw. ${\frac {1}{x}}$.

Die Stammfunktionen des natürlichen Logarithmus sind $x\cdot \ln(x)-x+c$, was sich durch Differenzieren leicht beweisen lässt:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(x\cdot \ln(x)-x+c\right)=1\cdot \ln(x)+x\cdot {\frac {1}{x}}-1=\ln(x)$

Der Logarithmus zur Basis Zehn wird oft mit „lg“ (bei Taschenrechnern oft mit „LOG“) abgekürzt; er heißt dekadischer Logarithmus oder auch Briggscher Logarithmus, benannt nach dem Mathematiker Henry Briggs.

Der Logarithmus zur Basis Zwei – abgekürzt mit „lb“ oder „ld“ – heißt binärer, dualer oder dyadischer Logarithmus.

Berechnung des Logarithmus, Potenzreihe

Die Potenzreihenentwicklung

$\ln(1+x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{k+1}}{k+1}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \cdots ,\qquad -1<x\leq 1$

des natürlichen Logarithmus um den Entwicklungspunkt 1 konvergiert nicht sonderlich schnell.

Zur Berechnung verwendet man besser folgende Reihendarstellung, die auf der Potenzreihenentwicklung des Areatangens Hyperbolicus beruht:

$\ln(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}+\;R_{n+1}(x),\qquad x>0$

mit der Restgliedabschätzung

$|R_{n+1}(x)|\leq {\frac {(x-1)^{2}}{2\,|x|}}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2n}.$

Die Reihe zeigt für x und 1/x ähnliches Konvergenzverhalten und konvergiert um so besser, je näher x bei 1 liegt. Um dies zu erreichen, verwendet man

$\ln(x)=m\ln(2)+\ln(2^{-m}x).\quad$

Durch Wahl einer geeigneten ganzen Zahl m kann man immer erreichen, dass gilt $1/{\sqrt {2}}\leq 2^{-m}x\leq {\sqrt {2}}$ und erhöht damit die Konvergenzgeschwindigkeit der Reihe, die man jetzt für $2^{-m}\cdot x$ berechnet. Allerdings braucht man dann auch eine gute Näherung für ln 2.

Wenn man aus obiger Formel die Restgliedabschätzung entfernt, erhält man:

$\ln(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2}{2k+1}}\cdot \left({\frac {x-1}{x+1}}\right)^{2k+1}\qquad x>0$

Für den natürlichen Logarithmus gilt zudem:

$\ln(x)=\lim _{n\to \infty }n\,\left(\!{\sqrt[{n}]{x}}-1\right)$

sowie

$\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}.$

Für eine praktische Berechnung von ln x sind die beiden letzten Formeln jedoch nicht sonderlich gut geeignet.

Komplexer Logarithmus

Riemannsche Fläche der komplexen Logarithmus-Funktion, die Blätter entstehen aufgrund der Mehrdeutigkeit

Hauptwert des Logarithmus = ln(z)

Betrag von ln(z)

Realanteil von ln(z)

Imaginäranteil von ln(z)

Analog zur reellen Definition heißt jede komplexe Zahl $w$, die die Gleichung

$e^{w}=z\,$

erfüllt, ein natürlicher Logarithmus von $z$. Dies ist im Unterschied zum reellen Logarithmus jedoch nicht eindeutig, da gilt:

$e^{2k\pi i}=1,\ k\in \mathbb {Z}$

Hat man also einen Logarithmus $w_{0}$ von $z$ gefunden, so ist auch

$w=w_{0}+2k\pi i\,$

ein Logarithmus von $z$, da gilt:

$e^{w}=e^{w_{0}+2k\pi i}=e^{w_{0}}\cdot e^{2k\pi i}=e^{w_{0}}\cdot 1=e^{w_{0}}=z$

Um Eindeutigkeit zu erreichen, schränkt man $w$ auf einen Streifen in der komplexen Zahlenebene ein. Man kann z. B. den Streifen

$\left\{w\in \mathbb {C} :-\pi <\mathrm {Im} \,w\leq \pi \right\}$

verwenden. Ein $w$ aus diesem Streifen heißt Hauptwert des Logarithmus und man schreibt $w=\ln {(z)}$. Stellt man $z$ in Polarkoordinaten dar, so erhält man eine einfache Darstellung des k-ten Zweigs der Logarithmusfunktion:

$w=\ln {|z|}+i\left(\arg {(z)}+2k\pi \right),\ k\in \mathbb {Z}$

Für $k=0$ hat man dann den Hauptzweig des Logarithmus:

$\ln {(z)}=\ln {|z|}+i\arg {(z)}$

ln(z) ist nicht stetig auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$. Entfernt man jedoch die negative reelle Achse, so ist ln(z) auf dem Gebiet

$\mathbb {C} \setminus \{x\in \mathbb {R} :x\leq 0\}$

stetig und sogar holomorph.

Mit dem Hauptzweig des komplexen Logarithmus kann man den Logarithmus von negativen, reellen Zahlen bestimmen:

$\ln {(-x)}=\ln {|-x|}+i\arg {(-x)}=\ln {(x)}+i\pi ,\ x\in \mathbb {R} ^{+}$

Man muss jedoch beachten, dass im Komplexen die Rechenregeln für Logarithmen nicht immer gelten, sondern nur noch modulo $2\pi i$:

• $\ln {x}+\ln {y}\neq \ln {(x\cdot y)}$

Beispiel: $\ln {(-1)}+\ln {(-1)}=2\pi i\neq 0=\ln {1}=\ln {((-1)\cdot (-1))}$

• $y\cdot \ln {x}\neq \ln {x^{y}}$

Beispiel: $2\pi i\cdot \ln {(e)}=2\pi i\neq 0=\ln {1}=\ln {(e^{2\pi i})}$

Diskrete Logarithmen

Diskrete Logarithmen sind Lösungen von ganzzahligen Gleichungen der Form: a^x=b mod(c). Sie sind aufwändig zu berechnen und finden Anwendung in der Kryptographie.

Literatur

• Wolfgang Walter: Analysis I. Grundwissen Mathematik Band 3. Springer-Verlag, 1985, ISBN 3-540-12780-1 und ISBN 0-387-12780-1.
• Klaus Jänich: Funktionentheorie. Eine Einführung. Springer-Verlag, ISBN 3-540-20392-3.

Siehe auch

• Exponentialfunktion
• Potenzfunktion
• Ableitung
• Dekadischer Logarithmus
• Logarithmus von Ordinalzahlen
• Logarithmische Ableitung

Weblinks

• Beispiele zur Logarithmusrechnung mit Maple
• Logarithmen
• Logarithmen und Logarithmusgesetze (Onlinekurs, Übungen, Applets und Links)