Bilineare Abbildung

In dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandter Gebiete verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation). Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz (a*(b + c)=a*b + a*c) bei der normalen Multiplikation.

Definition

Eine bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, d.h. eine Abbildung

$f\colon E\times F\to G$

so dass für jedes (fest gewählte) x aus E und y aus F die partiellen Abbildungen

f(x,·): F → G und f(·,y): E → G

lineare Abbildungen sind.

Dies impliziert, dass E, F und G drei k-Moduln oder Vektorräume über dem (demselben) Körper k sind. Die Linearität der partiellen Abbildungen kann auch etwas expliziter wie folgt geschrieben werden:

$\forall x,x'\in E,\forall y,y'\in F:f(x+x',y)=f(x,y)+f(x',y),~f(x,y+y')=f(x,y)+f(x,y')~$ und

$\forall x\in E,\forall y\in F,\forall \lambda \in k:f(\lambda x,y)=\lambda f(x,y)=f(x,\lambda y)~.$

Bemerkung: f kann als eine Art "Multiplikation" aufgefasst werden, welche einem Paar (x,y) das "Produkt" f(x,y) zuordnet. Aus dieser Perspektive entspricht die Bilinearität dem Distributivgesetz.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Bilineare Abbildungen mit endlich-dimensionalem Definitionsbereich sind immer stetig.

Ist eine bilineare Abbildung B stetig, ist sie auch total differenzierbar und es gilt: $DB(x_{0},y_{0})(x,y)\;=\;B(x_{0},y)\,+\,B(x,y_{0}).$

Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass zwei differenzierbare Funktionen, die mit einer bilinearen Abbildung verknüpft sind, mit der Verallgemeinerung der Produktregel abgeleitet werden können: Seien $f,g$ total differenzierbare Funktionen. Dann gilt: $DB(f(\cdot ),g(\cdot \cdot ))(x_{0},y_{0})(x,y)\,=\,D(B\circ (f,g))(x_{0},y_{0})(x,y)\,=\,B(Df(x_{0})x,y)\,+\,B(x_{0},Dg(y_{0})y).$

Beispiele

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, und Skalarprodukt.

Die Verkettung von linearen Abbildungen ist ebenfalls eine bilineare Abbildung.

Von wichtiger Bedeutung für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie sind die Bilinearformen, welche dem Sonderfall G=k entsprechen.

In der Bildverarbeitung wird eine Bilineare Filterung zur Interpolation eingesetzt.

Weitere Eigenschaften

Symmetrie, Antisymmetrie (für F=E) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen Abbildungen definiert.

Eine bilineare Abbildung $E\times E\to E$ macht E zu einer Algebra.

Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare („anderthalb“-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, d.h. so daß

$f(x,\lambda y)=\lambda ^{*}\,f(x,y)$

(wobei * die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu Tensorprodukten

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist

$f\colon E\times F\to G$

eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$E\otimes F\to G,\quad x\otimes y\mapsto f(x,y);$

umgekehrt definiert jede lineare Abbildung

$\lambda \colon E\otimes F\to G$

eine bilineare Abbildung

$E\times F\to G,\quad (x,y)\mapsto \lambda (x\otimes y).$

Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen $E\times F\to G$ und dem Raum der linearen Abbildungen $E\otimes F\to G$.