Drehmoment

Physikalische Größe
Name	Drehmoment
Größenart	Moment
Formelzeichen

Als Drehmoment (engl. Torque) bezeichnet man jene physikalische Größe, die bei der Beeinflussung (z. B.: Beschleunigung oder Verzögerung) eines drehbaren Körpers wirkt.

Das Drehmoment wird in Newtonmeter (Einheitenzeichen: Nm) gemessen und ist das Vektorprodukt von Kraftarm und Kraft.

{\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}

– Drehmomentvektor

Drehoment ist Kraftarm mal Kraft

Das Drehmoment ist ein Spezialfall eines Moments, der für rotierende Körper und Systeme benutzt wird. Es spielt dabei dieselbe Rolle wie die Kraft bei der geradlinigen Schiebebewegung (Translationsbewegung). Ein Antriebsmoment kann einen Drehkörper (z. B. ein Rad) um seine Drehachse rotatorisch beschleunigen, sodass die Drehzahl des Rades steigt. Ein in die andere Richtung gerichtetes Bremsmoment kann die Drehzahl des Rades reduzieren. Sind Antriebs- und Bremsmoment gleich groß (Momentengleichgewicht), dann ändert der Drehkörper seine Drehzahl nicht.

Die physikalische Dimension des Drehmomentes ist damit das Produkt aus Kraft und Weg. Im SI-System hat es die (abgeleitete) Maßeinheit Newton-Meter, $1\mathrm {Nm=1\,kg\,m^{2}/s^{2}}$ .

Grundlagen

Beziehung zwischen Kraft ${\vec {F}}$ , Drehmoment ${\vec {\tau }}$ , Impuls ${\vec {p}}$ , Drehimpuls ${\vec {L}}$ und Kraft- bzw. Hebelarm ${\vec {r}}$

Wirkt auf den Schwerpunkt eines frei beweglichen starren Körpers eine Kraft, so wird der Körper beschleunigt, das heißt, seine Geschwindigkeit verändert sich. Er führt eine geradlinige Translationsbewegung (Verschiebung) aus. Wird der Körper jedoch an einem Punkt festgehalten, so ist keine Translation mehr möglich, und die Bewegungsmöglichkeit des Körpers reduziert sich auf Rotationsbewegungen (Drehungen) um diesen Punkt. Die Größe, die diese Drehbewegung beeinflusst, d. h. die Änderung der Rotationsgeschwindigkeit verursacht, heißt Drehmoment.

Eine einzelne Kraft ${\vec {F}}_{1}$ kann keine reine Drehbewegung verursachen. Eine Veränderung der Drehbewegung ohne Änderung der Translationsbewegung ist erst möglich, wenn ein Kräftepaar angreift. Die zweite Kraft wird beispielsweise durch die drehbare Befestigung des Körpers aufgebracht. Ist die zweite Kraft entgegengesetzt gleich der ersten Kraft, ${\vec {F}}_{2}=-{\vec {F}}_{1}$ , so ist die resultierende Kraft auf den Körper null, und die Translationsbewegung ändert sich nicht. Trotzdem bewirkt dieses Kräftepaar ein Drehmoment auf den Körper und dadurch eine Veränderung der Drehbewegung. Dabei ist neben der Größe der beiden Kräfte ${\vec {F}}_{1}$ und ${\vec {F}}_{2}$ auch der Abstand der beiden Punkte, an denen die Kräfte angreifen, von Bedeutung. Der Abstand ${\vec {r}}$ ist ein Vektor, der vom Angriffspunkt der Kraft ${\vec {F}}_{2}$ zum Angriffspunkt von ${\vec {F}}_{1}$ zeigt. Zum Drehmoment trägt nur die Komponente $r'$ von ${\vec {r}}$ bei, die senkrecht auf der Richtung der Kraft ${\vec {F}}_{1}$ (oder ${\vec {F}}_{2}$ ) steht. $r'$ ist der Abstand, in dem die beiden Kräfte wirken.

Der Betrag des Drehmomentes ist dann das Produkt von $|{\vec {F}}_{1}|$ mit $r'$
Die Richtung des Drehmomentes ist senkrecht zur durch die Kraft ${\vec {F}}_{1}$ und den Abstandsvektor ${\vec {r}}$ aufgespannten Ebene gelegen, in derjenigen Richtung, in die der Daumen zeigt, wenn man mit den gekrümmten Fingern der rechten Hand in Richtung der durch das Drehmoment hervorgerufenen Drehbewegung zeigt. Diese „Rechte-Hand-Regel
Datei:Rechte Daumen Regel.png
Rechte-Hand-Regel
“ ist eine Definition, die durchgängig bei allen Berechnungen der Technischen Mechanik verwendet wird. (Man könnte jedoch mit der gleichen Berechtigung alle Drehmomente auch durchgängig über eine „Linke-Hand-Regel“ definieren)

Dieser Zusammenhang zwischen den auf den Körper wirkenden Kräften, dem Abstandsvektor der beiden Angriffspunkte und dem Drehmoment (in Betrag und Richtung) wird in kompakter Form durch das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) ausgedrückt. In dieser Darstellung erhält man für das Drehmoment ${\vec {M}}$ die Definition:

{\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{1}

.

D'Alembertsches Prinzip

Hauptartikel: D'Alembertsches Prinzip

Wirkt auf einen Körper eine von null verschiedene resultierende Kraft, z. B., weil nur eine einzige Kraft ${\vec {F}}_{1}$ von außen einwirkt, so wird der Körper nach dem 2. Newtonschen Gesetz beschleunigt. Nach dem d'Alembertschen Prinzip wird dies im beschleunigten Bezugssystem so beschrieben, dass eine Trägheitskraft (Scheinkraft) ${\vec {F}}_{t}=-m{\vec {a}}$ berücksichtigt wird. Wenn die Wirklinie der Kraft ${\vec {F}}_{1}$ nicht durch den Schwerpunkt geht, dann bilden ${\vec {F}}_{1}$ und ${\vec {F}}_{t}$ ein Kräftepaar, das ein Drehmoment erzeugt (obwohl im beschleunigten Bezugssystem die Summe aller Kräfte einschließlich der Trägheitskraft null ergibt!).

Die Beschreibung des gleichen Vorgangs im ruhenden System (Inertialsystem) kommt ohne Trägheitskräfte aus. Hier bewirkt ${\vec {F}}_{1}$ sowohl eine Beschleunigung als auch ein Drehmoment ${\vec {M}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}_{1}$ und damit eine Winkelbeschleunigung (Beispiel: Anschneiden eines Balles durch seitliches Treten etc.).

Messung des Drehmoments

Drehmomentmesseinrichtungen

Drehmomentmesswelle
Pendelmaschine
Wasserwirbelbremse

Unterschiedliches Auftreten des Drehmomentes

In der Technik ist es gebräuchlich, dem Drehmoment unterschiedliche Bezeichnungen zu geben, je nachdem, in welchem Zusammenhang sie wirken:

Man unterscheidet je nach der Richtung, in der Leistung fließt, zweierlei Drehmomente:

Antriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine etwas antreibt und Leistung abgibt.
Abtriebsmoment ist das Drehmoment, womit die Maschine angetrieben wird und Leistung aufnimmt.

Antriebsmoment eines Motors (für Verbrennungsmotor siehe Link unten)
Abtriebsmoment eines Generators, eines Kompressors oder einer Pumpe
Antriebsmoment und Abtriebsmoment eines Getriebes
Anfahrmoment einer Gasturbine
Anzugsmoment einer Schraube
Drehmoment in der Propellerwelle eines Schiffes oder eines Motorflugzeugs.

Drehmoment am realen Körper

Reale Körper sind keine starren Körper. Das Modell des starren Körpers kann hier nur angewandt werden, wenn die durch die Einwirkung des Drehmomentes hervorgerufene Deformation (z. B. Torsion) des Körpers vernachlässigbar klein ist. Die Definition des Drehmomentes selbst lässt sich jedoch auch auf den Fall übertragen, der die Deformation des Körpers einschließt. Zur Unterscheidung dieses Falles von dem der reinen Drehbewegung wird in der Technik die Größe, die auch die Deformation einschließt, als Moment bezeichnet. Nur im Falle der reinen Drehbewegung kann von Drehmoment gesprochen werden.

Beispiel: Schraubenschlüssel

Ein praktisches Beispiel zur Veranschaulichung des Drehmomentes ist das Lösen einer festsitzenden Schraube:

1. Fall:

Wenn die Schraube horizontal angeordnet ist und man einen Schraubenschlüssel von einem Meter Länge so auf die Schraube aufsetzt, dass der Hebelarm nach links weist, so kann man zum Lösen der Schraube auf diese ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 1 m) ausüben, wenn man das Ende des Schraubenschlüssels mit einer Kraft von 100 N nach unten drückt. Die Schraube muss dabei am (mathematisch gesehen einzigen) Berührungspunkt des Hebelarms eine rückhaltende Kraft von 100 N in entgegengesetzter Richtung (nach oben) aufbringen, was beispielsweise zu einem Verkanten/Verbiegen der Schraube führen kann.

2. Fall:

Diese Situation wird mit einem kürzeren Schraubenschlüssel noch verschärft. Um mit einem halb so langen Schlüssel dasselbe Drehmoment aufzubringen, wird eine Kraft und eine Gegenkraft von jeweils 200 N benötigt (200 N · 0,5 m).

3. Fall:

Diese zusätzliche Belastung der Schraube kann (mathematisch gesehen) komplett verhindert werden, wenn man einen Schlüssel verwendet, dessen auf die Schraube aufzusetzender Sechskant sich in der Mitte eines 1 m langen Hebelarms des Schlüssels befindet. Wenn man bei diesem an beiden Enden mit einer Kraft von jeweils 100 N in entgegengesetzter Richtung zieht, so wird auch hier ein Drehmoment von 100 Nm (100 N · 0,5 m + 100 N · 0,5 m) ausgeübt. Jedoch muss die Schraube die Rückhaltekraft dabei nicht aufbringen, da die Kräfte entgegengesetzt wirken und sich somit aufheben.

Beispiel: Drehmoment eines Verbrennungsmotors

Mit dem häufig bei Automobilen verwendeten Begriff maximales Drehmoment eines Verbrennungsmotors bei einer bestimmten Drehzahl ist das maximale vom Motor an der Kurbelwelle abgegebene Drehmoment gemeint. Das an der Kurbelwelle bei Vollgas (Vollast) abgegebene Drehmoment ist nicht über den gesamten Drehzahlbereich des Motors konstant, sondern hat in einem Bereich des nutzbaren Drehzahlbandes ein Maximum.

Das Drehmoment wird über die Kraftübertragung des Fahrzeugs an die Räder weitergegeben und dort in einen geradlinige Vortrieb (Physik) umgewandelt.

Das Drehmoment M für Viertaktmotoren berechnet sich aus:

M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\cdot 2\pi }}

Hierbei ist V_h das Hubvolumen und p_e der effektive Mitteldruck, der Faktor 2π im Nenner stammt aus der Formel für die Arbeit eines Drehmoments, die entlang des Umfanges 2π verrichtet wird. Der Wert $2\pi$ wird bei Viertaktmotoren mit 2 multipliziert, da Viertaktmotoren nur bei jeder zweiten Umdrehung Arbeit verrichten. Für Zweitaktmotoren gilt entsprechend:

M={\frac {V_{h}p_{e}}{2\pi }}

Rechenbeispiel für das Drehmoment eines Serienfahrzeuges mit 2000 cm³ (0,002 m³) Hubvolumen, dessen Viertaktmotor bei 2000 U/min einen Mitteldruck von 22 Bar (2.200.000 Pa) erreicht, in SI-Einheiten gerechnet: