Bandmatrix

Mit Bandmatrix wird in der Numerischen Mathematik eine Matrix bezeichnet bei der neben der Hauptdiagonalen nur eine bestimmt Anzahl Nebendiagonalen Elemente ungleich Null aufweist. Sind nur eine untere und eine obere Nebendiagonale ungleich Null so spricht man von Tridiagonalmatrizen. Diese Matrizen sind damit dünnbesetzte Matrizen mit einer speziellen Struktur. Bandmatrizen entstehen häufig bei der Diskretisierung von Differentialgleichungen.

Beschreibung

Sei $p,q\in \mathbb {N}$ $p,q\geq 0$ so ist die Matrix A eine Bandmatrix der Bandbreite l=p+q+1 falls für ihre Elemente $a_{ij}$ gilt:

$a_{ij}=0$ für $j+p<i$ und $i+q<j.$

Neben der Hauptdiagonale sind also nur p untere und q obere Nebendiagonalen besetzt.

$\left({\begin{matrix}a_{11}&\ldots &a_{1(q+1)}&0&\ldots &\ldots &\ldots &0\\\vdots &\ddots &&\ddots &\ddots &&&\vdots \\a_{(p+1)1}&&\ddots &&\ddots &\ddots &&\vdots \\0&\ddots &&\ddots &&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &&\ddots &&\ddots &0\\\vdots &&\ddots &\ddots &&\ddots &&a_{(n-q)n}\\\vdots &&&\ddots &\ddots &&\ddots &\vdots \\0&\ldots &\ldots &\ldots &0&a_{n(n-p)}&\ldots &a_{nn}\end{matrix}}\right)$

Eigenschaften

Für reguläre Bandmatrizen, für die keine Pivotisierung erforderlich ist, bleibt die Bandstruktur in der LR-Zerlegung oder Cholesky-Zerlegung bewahrt und der Aufwand reduziert sich auf $O(n)$.