Kalkül

Unter einem Kalkül (lat. calculus, Rechenstein, Spielstein) versteht man ein formales Regelsystem. Umgangssprachlich bezeichnet der Ausdruck "ins Kalkül ziehen" eine bewertende Betrachtung einer möglichen Handlungsweise und entspricht somit dem Ausdruck "in Erwägung ziehen".

In den formalen Wissenschaften setzt sich ein Kalkül allgemein aus Axiomen (oder Anfangsregeln) und Inferenzregeln zusammen. Beide zusammengenommen bilden einen fest abgeschlossenen Handlungsspielraum. Das Schachspiel mit den Figuren (Axiome) und Zugregeln (Inferenzregeln) bietet, wie Spiele im Allgemeinen, ein anschauliches Beispiel. Wenn gleich - streng genommen - nicht zum Kalkül gehörend, ist meist eine Zielstellung mitgegeben (Gewinn des Spiels, Lösung eines (politischen) Konflikts, Finden eines Weges aus dem Labyrinth).

Logik

Die Logik bietet die bisweilen formalste Definition des Kalkülbegriffs. Axiome sind in der Logik Formeln (Aussagen), Inferenzregeln sind Ersetzungsschemata über den Formeln. Der Begriff des Schließens spielt in der Logik eine zentrale Rolle, und so versucht man den semantisch definierten Schlussfolgerungsoperator $\models$ durch den syntaktisch definierten Folgerungsoperator $\vdash$ nachzubilden, der die Anwendung von Inferenzregeln symbolisiert.

Ein Kalkül heißt

korrekt

Wenn $\forall G:\Gamma \vdash G\Rightarrow \Gamma \models G$

vollständig

Wenn $\forall G:\Gamma \models G\Rightarrow \Gamma \vdash G$

adäquat

Vollständigkeit und Korrektheit ist gegeben

Praktische Anwendung finden Kalküle in der Informatik auf dem Gebiet des Automatischen Beweisens (Prolog).

Beispiele:

• Syllogistik
• Prädikatenkalkül
• Gentzenkalkül
• Resolutionskalkül
• Fregekalkül
• Tableaukalkül
• Hilbertkalkül

Mathematik

In der Mathematik können sämtliche Regelsysteme die, richtig angewendet, zu richtigen Ergebnissen führen, als Kalkül bezeichnet werden.

Beispiele

• Arithmetik
• Integralrechnung
• Infinitesimalrechnung
• Stochastik

Philosophie

Die philosophischen Wurzeln des Kalküls lassen sich schon in Aristoteles' Syllogistik finden, und setzten sich später unter dem Namen ars inveniendi (= "Erfindungskunst") fort, in dessen Linie vor allem Leibniz' characteristica universalis steht. Zielstellung hierbei ist, durch reine Anwendung von vorher bestimmten Regeln mit Hilfe von Sprache, neue Erkenntnisse zu gewinnen.

Siehe auch: Formales System, Logik