Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass jedes Beweis system für die Menge der wahren arithmetischen Formeln unvollständig ist (sofern man voraussetzt, dass die Arithmetik widerspruchsfrei ist - was, wie Gödel auch zeigt, nicht mit Mitteln der Theorie alleine bewiesen werden kann (aber was wir doch alle hoffen wollen)), was heißt:

In jeder Theorie, welche mindestens so maechtig wie die Theorie der natuerlichen Zahlen (Peano-Arithmetik) ist, bleiben wahre arithmetische Formeln übrig, die weder beweisbar noch widerlegbar sind. Damit eine Theorie (in der Praedikatenlogik erster Stufe, PL1) die Vorraussetzungen fuer die Unvollstaendigkeit erfuellt, muss gelten (da laut dem Satz von Loewenheim-Skolem jede Theorie in PL1 ein Modell in der Maechtigkeit der Signatur hat, also in der Regel abzaehlbar ist, betrachte man natuerliche Zahlen als Interpretation):

Zu jeder durch einen Ausdruck G(x) beschriebenen Menge ist das Komplement beschreibbar
Zu jeder durch einen Ausdruck G(x) beschriebenen Menge M ist die Menge M*={n|d(x)∈M} beschreibbar; Dabei ist d(x) die Diagonalisierung von x.
Die Menge der beweisbaren Ausdruecke der Theorie ist durch einen Ausdruck der Form G(x) beschreibbar.

Durch diesen erstaunlichen Satz ist der Mathematik eine prinzipielle Grenze gesetzt: Nicht jeder wahre mathematische Satz kann aus den wie auch immer gewählten Axiomen eines mathematischen Teilgebietes (z.B. Arithmetik, Geometrie, Algebra etc.) abgeleitet werden.