Gödelscher Unvollständigkeitssatz

Der Gödelsche Unvollständigkeitssatz besagt, dass jedes Beweissystem für die Menge der wahren arithmetischen Formeln unvollständig ist (sofern man voraussetzt, dass die Arithmetik widerspruchsfrei ist - was, wie Gödel auch zeigt, nicht mit Mitteln der Theorie alleine bewiesen werden kann (aber was wir doch alle hoffen wollen)), was heißt:

In jeder denkbaren Theorie der natürlichen Zahlen bleiben wahre arithmetische Formeln übrig, für die man weder beweisen kann, ob sie wahr sind, noch, ob sie falsch sind.

Durch diesen erstaunlichen Satz ist der Mathematik eine prinzipielle Grenze gesetzt: Nicht jeder wahre mathematische Satz kann aus den wie auch immer gewählten Axiomen eines mathematischen Teilgebietes (z.B. Arithmetik, Geometrie, Algebra etc.) abgeleitet werden.