Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus

Der Tangens Hyperbolicus ist eine mathematische Funktion. Man nennt ihn auch den Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens. Er ist für alle reellen Zahlen $x$ definiert als der Quotient aus Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus:

$\tanh(x):={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}$.

Eigenschaften

Der Anfang der Taylorreihe des Tangens Hyperbolicus lautet:

$\tanh(x)=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+\cdots$

Umkehrfunktion

Die Umkehrfunktion des Tangens Hyperbolicus nennt man Areatangens Hyperbolicus. Er lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

${\rm {artanh}}(x)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)$.

Komplexe Fortsetzung

Die Funktion $\tanh$ lässt sich zu einer in der ganzen komplexen Zahlenebene holomorphen, also ganzen Funktion fortsetzen.

Weiteres

Ein ebenso gebräuchliches Formelzeichen für den Tangens Hyperbolicus ist ${\rm {{th}(x)}}$

Siehe auch

• Sinus Hyperbolicus
• Cosinus Hyperbolicus
• Cotangens Hyperbolicus
• Kreis- und Hyperbelfunktionen