Tetraeder

Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem Tetraeder als geometrischer Körper. Für andere Bedeutungen siehe Tetraeder (Begriffsklärung)

Ein Tetraeder (nach griech. Vierflächner) ist ein Körper mit vier Seitenflächen. Das Wort wird jedoch nur selten in dieser allgemeinen Bedeutung gebraucht. Meist ist mit Tetraeder der regelmäßige (oder gleichseitige) Tetraeder gemeint, während der allgemeine Tetraeder als dreiseitige Pyramide oder dreidimensionaler Simplex bezeichnet wird.

Tetraeder

Das (oft auch: der) (regelmäßige oder reguläre) Tetraeder ist einer der fünf platonischen Körper, genauer: ein (dreidimensionales) Polyeder (ein Vielflächner) mit

• vier (kongruenten) gleichseitigen Dreiecken als Flächen
• sechs (gleichlangen) Kanten und
• vier Ecken, in denen jeweils drei Flächen zusammentreffen

Das Tetraeder ist auch eine gleichseitige dreiseitige Pyramide (mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche).

Symmetrie

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Tetraeder ein reguläres Polytop. Es hat:

• vier dreizählige Drehachsen (durch die Ecken und die Mitten der gegenüberliegenden Seitenflächen)
• drei zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
• sechs Symmetrieebenen (jeweils durch eine Kante und normal auf die gegenüberliegende Kante)

und ist

• zentralsymmetrisch

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Tetraeders – die Tetraedergruppe – 24 Elemente. Sie ist die symmetrische Gruppe S₄ und bewirkt alle 4! = 24 Permutationen der Ecken bzw. der Seitenflächen. Sie ist Untergruppe der Würfelgruppe.

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Das Tetraeder ist zu sich selbst dual – genauer: zu einem punktsymmetrisch gelegenen Tetraeder.
Mit Hilfe dieser beiden Tetraeder können Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Tetraedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

• das abgestumpfte Tetraeder mit 4 Sechsecken und 4 Dreiecken (siehe archimedische Körper)
• das Oktaeder mit 4+4 = 8 Dreiecken und 6 Ecken (mit höherer Symmetrie)

als Durchschnitte zweier Tetraeder und

• einen Sternkörper (ein Oktaeder mit 8 aufgesetzten Tetraedern) mit höherer Symmetrie

als Vereinigung zweier Tetraeder, sowie

• den Würfel mit 4+4 = 8 Ecken (und mit höherer Symmetrie)

als konvexe Hülle dieses Sternkörpers.

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Animation eines Tetraeders in einem Kubus

Der Tetraeder kann daher in einen Würfel so eingeschrieben werden, daß seine Ecken Ecken des Würfels und seine sechs Kanten Diagonalen der Würfelseiten sind. (Die acht Ecken des Würfels bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Ecken, die den beiden möglichen Lagen für den Tetraeder entsprechen.) Das Volumen dieses Würfels ist das Dreifache des Tetraedervolumens.
Dual dazu kann der Tetraeder einem Oktaeder so umschrieben werden, daß vier der Seiten des Oktaeders in den Seiten des Tetraeders liegen und die sechs Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der sechs Kanten des Tetraeders sind. (Die acht Seiten des Oktaeders bilden zwei disjunkte Mengen von je vier Seiten, die den beiden Lagen für den dem Oktaeder umschriebenen Tetraeder entsprechen.)

Der regelmäßige Tetraeder kann so in zwei Teile geschnitten werden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ist.

Analogien in höheren Dimensionen

Die Analoga des Tetraeders in beliebiger Dimension n werden als (n-dimensionale) gleichseitige Simplices bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der n-dimensionale Simplex hat $n+1$ Ecken und wird von $n+1$ (n-1)-dimensionalen Simplices (als Facetten) begrenzt. Der vierdimensionale Simplex hat 5 Ecken, 10 gleichlange Kanten, 10 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 5 dreidimensionale Tetraeder als Facetten. (Der eindimensionale Simplex ist eine Strecke, der zweidimensionale Simplex ist das gleichseitige Dreieck.)

Anwendungen

Obwohl der Tetraeder nicht Stein einer Parkettierung des Raumes ist, tritt er (siehe oben) im kubischen Kristallsystem auf.

In der Chemie spielt der Tetraeder bei der räumlichen Anordnung von Atomen in Verbindungen eine große Rolle. So sind beispielsweise die Kohlenstoffatome im Diamantgitter tetraedisch angeordnet, jedes Atom ist von vier weiteren Atomen umgeben. Auch das Methan bildet, aufgrund der sp³-Hybridisierung des Kohlenstoff-Atoms, einen Tetraeder.

Formeln

Datei:Tetraeder 1 2.jpg

Tetraeder mit 3-zähliger Symmetrie- und mit 4-zähliger Drehspiegel-Achse

Im Folgenden bezeichnet $a$ die Seitenlänge:

• Volumen: $V={\frac {a^{3}\cdot {\sqrt {2}}}{12}}$

• Oberfläche: $A_{O}=a^{2}\cdot {\sqrt {3}}$

• Umkugelradius: $r_{u}={\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{4}}$

• Inkugelradius: $r_{i}={\frac {a\cdot {\sqrt {6}}}{12}}$

• Höhe: $h=r_{i}+r_{u}=a\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}}$

Eine einfache Möglichkeit, einen regelmäßigen Tetraeder zu erhalten, besteht darin, vier geeignete Ecken eines Würfels auszuwählen. Auf diese Weise erhält man in einem räumlichen kartesischen Koordinatensystem zum Beispiel die Punkte A(1,1,1), B(1,-1,-1), C(-1,1,-1) und D(-1,-1,1). Die Ecken werden jeweils miteinander verbunden; AB, AC, AD, BC, BD und CD. Als Begrenzungsflächen ergeben sich die Dreiecke ABC, ABD, BCD und ACD.

Der dreidimensionale Simplex

Ein Tetraeder im allgemeinen Sinn, also ein Körper mit vier Seitenflächen, ist immer eine dreiseitige Pyramide, also mit einem Dreieck als Grundfläche und drei Dreiecken als Seitenflächen, und hat daher auch vier Ecken sowie sechs Kanten. Da er die für einen Körper im Raum kleinste mögliche Zahl von Ecken und Seiten hat, wird er in der Fachsprache (dreidimensionaler) Simplex genannt. (Die zweidimensionalen Simplices sind die Dreiecke.)

• Jeder Simplex besitzt eine Umkugel und eine Inkugel.
• Der Schwerpunkt ist der Schnittpunkt der Verbindungsstrecken zwischen den Ecken und den Schwerpunkten der gegenüberliegenden Dreiecke und teilt diese im Verhältnis 3:1.
• Jeder Simplex ist die konvexe Hülle seiner vier Ecken.