Maschenstromverfahren

Als Maschenstromverfahren bezeichnet man ein in der Elektrotechnik verwendetes Verfahren zur Netzwerkanalyse. Mit dieser Methode lassen sich die Zweigströme bestimmen. Denn jedes elektrische Netzwerk aus linearen Bauelementen kann auf diese Weise durch ein lineares Gleichungssystem beschrieben und berechnet werden.

Vorgehen

Wien-Brücke

Varianten der Bäume zur oberen Schaltung

In das Baum-Diagramm eingezeichnete Maschen

Baum wählen

• Das Netzwerk vereinfachen, d. h. parallel Schaltungen vereinen.
• Ideale Stromquellen als Sehne wählen, Gleichungssystem vereinfacht sich dadurch.
• Nicht Ideale Stromquellen in eine äquivalente Spannungsquelle umwandeln.

Maschen festlegen

• Jede Masche (M) läuft über nur eine Sehne, ansonsten schließt sich diese über die Äste des Baumes
• Bei jeder Masche muss der Umlaufsinn festgelegt werden. Vom Umlaufsinn hängt die Wahl der Vorzeichen ab.

Matrix aufstellen

$[R]\cdot [I_{M}]=[U_{qM}]$, mit komplexen Größen $[{\underline {Z}}]\cdot [{\underline {I}}_{M}]=[{\underline {U}}_{qM}]$

${\begin{pmatrix}r_{11}&\dots &r_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\r_{n1}&\dots &r_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}i_{M1}\\\vdots \\i_{Mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{qM1}\\\vdots \\u_{qMn}\end{pmatrix}}$

In der Hauptdiagonalen der Widerstandsmatrix trägt man die Summe aller Widerstände über die sich die jeweilige Masche schließt.

$r_{ii}=\sum R\ in\ M_{i}$

In den anderen Feldern trägt man die Summer der Widerstände auf denen sich die Maschen überschneiden. Bei gegensätzlichem Umlaufsinn bekommt die Summe ein negatives Vorzeichen.

$r_{ij}=r_{ji}=\sum [R\ in\ M_{i}\ und\ M_{j}\cdot Umlaufsinn(M_{i},M_{j})]$

In die Quellspannungsmatrix trägt man die Summe aller Spannungsquellen die in der jeweiligen Masche liegen. Das Vorzeichen ist positiv, wenn der Umlaufsinn ungleich dem Spannungspfeil ist.

$u_{qMi}=\sum [U_{q}\ in\ M_{i}\cdot Pfeil(U_{q},M_{i})]$

Ideale Stromquellen (I_q) bedürfen einer Extrabehandlung. Die zugehörige Masche wird nicht in die Matrix aufgenommen, sowohl Zeile als auch Spalte entfällt. Die Lösung des Maschenstromes ist bereits gegen, I_Mi = I_q. Der Überlappung mit den anderen Maschen wird Rechnung getragen, in dem der Spannungsabfall auf den gemeinsamen Widerständen durch die Stromquelle in die Quellspannungsmatrix mit einfließt.

$u_{qMi}=\sum [U_{q}\ in\ M_{i}\cdot -1\cdot Pfeil(U_{q},M_{i})]-I_{q}\cdot \sum [R\ in\ M_{i}\ und\ M_{Iq}\cdot Umlaufsinn(M_{i},M_{q})]$

Gleichungssystem lösen

Die aufgestellte Gleichung ist ein lineares Gleichungssystem. Durch das Gaußsches Eliminationsverfahren oder die Cramer’sche Regel lässt sich dieses durch systematisches Vorgehen lösen.

Zweigströme berechnen

Nach dem Überlagerungsprinzip berechnet sich der Strom in einem Zweig (vorzeichenrichtig) aus der Summe der Maschenströme den diesen durchlaufen.

Beispiel:

$I_{1}=I_{M1}+I_{M2}-I_{M3}$

Siehe auch

• Knotenpotentialverfahren
• Kirchhoffsche Regeln
• Netzwerkanalyse (Elektrotechnik)