Diskussion:Komplexe Zahl

Den Grafiken auf dieser Seite täte ein anderes Format gut (*.png bietet sich da an), durch das jpg-Format wirken sie sehr verwaschen. Blubbalutsch 14:12, 25. Aug 2003 (CEST)

---

Quadranten Problem

Ist das richtig bei Quadrant 2 und 3 Winkel phi = arctan b/a +pi bzw. -pi? In meinem Matheskript steht, das der Winkel phi = arctan b/a + Pi ist. Verstehe nix mehr. Könnte das vielleicht deutlich gemacht werden. Danke. Schaut mal hier auf Seite 7: ww w.fan.re.fh-gelsenkirchen.de/menschen/brinck/brinckintern/Mathematik/Vorlesung/M_Kap10.pdf Hier ist es auf der 1. Seite unten etwas anders: ww w.gilligan-online.de/dateien/mathe/Studenten/TH_Komplexe_Zahlen.pdf Was stimmt den nun?

Wurzeln ziehen

Es fehlt noch eine verständliche Erklärung zum Thema Wurzeln ziehen. joku 22:13, 10. Okt 2004 (CET)

Kann denn hier niemand mal eine nette Graphik dazu zeichnen und die einbauen?

joku Juni 2005

Ich schau mal, was ich machen kann, aber das gehört besser nach Wurzel (Mathematik).--Gunther 10:26, 22. Jun 2005 (CEST)

Das Bild sollte unbedingt (auch) hierher! Wer es hier nicht sieht, wird kaum auf die Idee kommen, es bei den "normalen" Wurzeln zu suchen. Dort könnte ein Verweis hierher eingebaut werden. joku 01:26, 01. Okt. 2005

a + ib nach oben

Konnte es mir nicht verkneifen, den Ausdruck a + ib auf der ersten Bildschirmseite zu platzieren, damit auch der Laie dort einen Blickfang hat, den er erkennt. Die Spezialisten können sich dann weiter unten austoben ;-) (wolfgangbeyer, 12.01.04)

I.O. --SirJective 17:32, 10. Feb 2004 (CET)

---

Den Sinn der 3 neuen Unterabschnitte Addition, Subtraktion und Multiplikation, die Roxon kommentarlos eingefügt hat, verstehe ich nicht. Das wird doch schon unmittelbar darüber definiert. Außerdem wird es in einer neuen (und damit dritten!) Notation formuliert. Ich plädiere dafür, dass das wieder entfernt wird. Was meint Ihr dazu? Wolfgangbeyer 22:52, 9. Feb 2004 (CET)

Zumal die Schreibweise falsch ist. Entweder (a, b) oder a+bi.

Da die Definition über Paarbildung geführt wird, bin ich dafür, die Rechenregeln (Addition, Subtraktion, Multiplikation, eventuell Division) zusätzlich in der "a+bi"-Schreibweise hinzuschreiben. Auf diese Weise hat man beide Varianten. Es reicht dafür ein einziger (Unter-)Abschnitt "Grundrechenarten" aus. --SirJective 17:32, 10. Feb 2004 (CET)

Aber die Addition und die Multiplikation stehen ja schon in der "a+bi"-Schreibweise da und zwar unmittelbar vor den neuen Unterabschnitten. Wolfgangbeyer 22:09, 10. Feb 2004 (CET)

Hatte sie da nicht gesehen, da sie von Paarschreibweisen eingeschlossen war. Habs jetzt geaendert. Der Uebergang von (a,b) zu a+bi koennte noch sauberer sein (die neue Ueberschrift "Schreibweise a+bi" steckt praktisch mitten in einem zusammenhaengenden Text), aber ich denke, das ist besser als vorher. --SirJective 11:02, 11. Feb 2004 (CET)

Dem kann man nur zustimmen. Wolfgangbeyer 22:13, 11. Feb 2004 (CET)

Die Zeilen von Roxon könnte man als Zahlenbeispiele unter die darüber stehende Definition setzen. Wikipedia soll ja nicht etwas für Theoretiker, sondern für alle sein. joku 22:13, 10. Okt 2004 (CET)

---

Die Darstellung ict in der Relativitätstheorie wird nicht von allen Autoren verwendet. Man findet sie ausschliesslich in (einzelnen) Lehrbüchern über spezielle Relativitätstheorie. Um sie zu vermeiden, verwendet man die kovariante und kontravariante Darstellung von Vektoren (Fliessbach, Stephanie, Weinberg), nicht zuletzt deswegen, weil die allgemeine Relativitätstheorie den gleichen Formalismus verwendet, und daher eine Verallgemeinerung möglich ist.

ict findet man bei Walther Greiner, allerdings beschränkt er sich ausschliesslich auf die Spezielle Relativitätstheorie.

WoSa 16:14, 14. Apr 2004 (CEST)

Kannst du diesen Punkt im Artikel klarstellen - ich fühle mich dazu nicht in der Lage. Auch sehe ich nicht, was die Überschrift "naturphilosophische Aspekte..." mit Relativitätstheorie zu tun hat. Vielleicht sollte man die Darstellung hier extrem kürzen und nur auf entsprechende Artikel verweisen, in denen das Thema hoffentlich bereits ausführlich dargestellt wird ;-) --SirJective 16:52, 14. Apr 2004 (CEST)

Im Artikel steht ja auch gar nicht, dass x=ict üblich wäre sondern nur Substituiert man dazu die Zeit t mittels x4 = ict durch eine 4. Raumkoordinate x4, so ergibt sich .. , und weiter unten wird auch darauf hingewiesen, dass sich eine andere Schreibweise durchgesetzt hat, aber auch, dass wegen der ungelösten Probleme in Zusammenhang mit den verborgenen Dimensionen des Raumes da noch nicht das letzte Wort gesprochen ist. Ich finde dieser Abschnitt leistet eine ganz wichtige Aufgabe, nämlich nicht nur die Vermittlung von Fakten, sondern er gibt dem Leser die Möglichkeit diese Fakten in einen größeren Rahmen einzuordnen und zeigt Zusammenhänge auf. Daher bin ich eigentlich gegen kürzen erst recht gegen extremes kürzen. Ich habe als Schüler die komplexen Zahlen immer für eine Spinnerei der Mathematiker gehalten, so wie wohl sicher auch so mancher Leser, der sich hierher verirrt. Nach meinem Physikstudium habe ich ziemlichen Respekt vor ihnen. Davon würde ich gerne was weitergeben wollen. Ich wüsste auch nicht, wo man auf diese 3 Eigenschaften der komplexen Zahlen, nämlich Rolle in der QT, in der RT und in der Mathematik (Eleganz und Abgeschlossen) zusammen besser hinweisen könnte als eben genau hier. Das ganze Naturphilosophische Aspekte zu nennen, finde ich nicht so verkehrt. Aber vielleicht fällt Euch eine bessere Überschrift ein. --Wolfgangbeyer 21:51, 14. Apr 2004 (CEST)

---

Ich fasse nur mal kurz zusammen, was mir momentan dazu einfällt.

Man kann die ganze Spezielle Relativitätstheorie unter Verwendung des "ict" darstellen, erhält dabei aber Formeln, die etwas anders aussehen, als wenn man mit kontravarianten und kovarianten Vektoren im Rahmen der Differentialgeometrie arbeitet (vgl. Metrischer Tensor der speziellen Relativitätstheorie). Verwendet man den zuletzt genannten Kalkül, so vermittelt das Äquivalenzprinzip einen Übergang von der speziellen zur allgemeine Relativitätstheorie, und dort habe ich ict noch niemals gesehen.

Ich würde von Anwendungen der komplexen Zahlen im Bereich der (theoretischen) Physik sprechen. In der Quantenmechanik werden komplexe Zahlen bei der Beschreibung von Differentialgleichungen und Wellenfunktionen verwendet, die sich als Lösungen der Differentialgleichungen ergeben (Schrödingergleichung, Klein-Gordon-Gleichung). Die Dirac-Gleichung kann demgegenüber mit komplexen Zahlen nicht beschrieben werden, die verwendeten Pauli-Matrizen sind formal äquivalent zu den Quaternionen, eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen.

Wellenfunktionen werden in der formalen Quantenmechanik durch Zustandsvektoren in einem Hilbertraum ersetzt. Der Hilbertraum ist ein unendlichdimensionaler Vektorraum mit (soweit ich mich erinnere) komplexem Skalarprodukt, d.h. das Skalarprodukt bildet ab in den Bereich der komplexen Zahlen. Warum man das alles so und nicht anders formuliert, ich weiss es auch nicht so genau. Man müßte dazu die grundlegenden Axiome der Quantentheorie niederschreiben, und sich mit deren Interpretation(en) auseinandersetzen. Das geheimnisvolle i (imaginär) verliert etwas seine mystische Bedeutung, wenn man komplexe Zahlen als zweidimensionale Mathematik auffasst, mit deren Hilfe man z.B. Schwingungen in Raum und Zeit beschreiben kann (die z.B. durch Wellenfunktionen dargestellt werden können).

Zu den Körperaxiomen fällt mir noch ein, man benötigt die inverse Operation der Multiplikation (Umkehroperation), die Division, sowie das neutrale Element der Multiplikation, und man erhält auf diese Weise eine Gruppe bzgl. der Multiplikation. Entsprechend kann man eine Gruppe bzgl. der Addition bilden. Beide Strukturen werden dann durch das Distributivgesetz miteinander verbunden, das Resultat ist ein Körper.

WoSa 22:06, 14. Apr 2004 (CEST)

Nur pauschal von Anwendungen der komplexen Zahlen im Bereich der (theoretischen) Physik sprechen, lässt den Leser vielleicht etwas ratlos zurück. Man sollte schon etwas mehr von der Katze aus dem Sack lassen. Aber vielleicht ersetzen wir RT besser durch sRT. In der QT sind die komplexen Zahlen schon tiefer verankert, als nur wie bei den Rechentricks z. B. in der komplexen Wechselstromrechnug, die weiter unten im Artikel besprochen werden. Sicher kann man das alles auch mit Paaren von reellen Gleichungen hinschreiben, aber eben deutlich umständlicher. Da die in der Dirac-Gleichung verwendeten Pauli-Matrizen formal äquivalent zu den Quaternionen sind, einer Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, haben wir da ja auch letztlich den Bezug zum Thema. Und in Zusammenhang mit den anderen auffälligen Eigenschaften insbesondere eben auch in der Mathematik selbst finde ich das schon eine Erwähnung wert. Als Alternative zu Naturphilosophische Aspekte ... könnte man vielleicht Zur Rolle der komplexen Zahlen in der Physik sagen? --Wolfgangbeyer 23:53, 14. Apr 2004 (CEST)

Welche Überschriften Verwendung finden ist mir nicht so wichtig, eine philosophische Diskussion würde ich allerdings lieber über die Bedeutung oder über den Inhalt der Formeln führen, die in der Quantenmechanik Verwendung finden, weniger über die Bedeutung der komplexen Zahlen. Vielleicht würde eine solche Diskussion aufzeigen, warum die Verwendung der komplexen Zahlen wichtig ist.

Ich stimme zu, dass man RT (Relativitätstheorie) besser durch SRT (spezielle Relativitätstheorie) ersetzen sollte, wenn man "ict" als vierte Komponente, z.B. des Vierervektors verwendet x = (x,y,z,ict). Dazu könnte ich "das eine oder andere" einfügen, was ich in meinem Kommentar beschrieben habe. Letztendlich möchte ich aber nicht in fremden Artikeln rumschreiben, ohne dass wir zu einer Einigung gekommen sind. Über Funktionentheorie und komplexe Zahlen habe ich einige Bemerkungen auf der entsprechenden Diskussionsseite eingefügt.

WoSa 14:51, 15. Apr 2004 (CEST)

Eine Diskussion über Bedeutung oder über den Inhalt der Formeln, die in der Quantenmechanik Verwendung finden, mit dem Ziel aufzuzeigen, warum die Verwendung der komplexen Zahlen wichtig ist, würde wohl deutlich den Rahmen dessen sprengen, was unter dem hiesigen Artikel angemessen wäre, und sollte wohl besser unter Quantenmechanik geführt werden. Hier genügt es meiner Ansicht nach festzustellen, dass die komplexen Zahlen dort nicht mehr wegzudenken sind.

Nebenbei fällt mir auf, dass die Metrik der Raumzeit der sRT ja auch in der aRT für kleine Raumgebiete gültig ist, und um mehr als die Metrik geht es ja hier nicht. Ich denke, dass die aRT auch mit x4=ict formulierbar wäre, und man macht es aber nicht, weil es unpraktisch ist. Mich würde aber interessieren, ob das nicht auch früher gelegentlich gemacht wurde. Ich erinnere mich an die Aussage, dass x4=ict "veraltet" sei (das hörte ich schon vor 25 Jahren). Ich kann mich nicht mehr genau an die Überleitung vom Äquivalenzprinzip zur aRT erinnern, aber es würde mich wundern, wenn so eine Rechenprozedur in den einen Koordinaten möglich sein sollte und in anderen nicht.

Ich weiß nicht genau, was Du mit "das eine oder andere einfügen" meinst. Man sollte aber darauf achten, dass es nicht vom eigentlichen Thema ablenkt. Der ganze Abschnitt hat nur den Zweck, die Aussage des letzten Absatzes dort zu begründen. Der wäre mir wichtig. Dazu sollte man nicht zu sehr in mathematische Details abdriften, denen der interessierte Laie nicht mehr folgen kann. Das würde ich ein wenig befürchten, wenn ich mir Deine Ausführungen auf der Diskussionsseite von Funktionentheorie ansehe ;-) --Wolfgangbeyer 22:32, 15. Apr 2004 (CEST)

Deswegen diskutiere ich es ja auf den Diskussionsseiten, weil ich andere Meinungen hören will. Ich habe noch alte Originalliteratur von Einstein, sowie einige spätere Werke in denen auch "ict" verwendet wurde. Da werde ich mal nachgucken. Allerdings kann ich mich die nächsten drei Tage nicht darum kümmern, und danach ist mein Urlaub zu Ende, aber meistens finde ich abends oder am Wochenende Zeit mich damit zu beschäftigen. Das Äquivalenzprinzip habe ich in dem Artikel über Christoffelsymbole versteckt, da müßte ich es eigentlich wieder ausgraben.

Bis dann

WoSa 00:41, 16. Apr 2004 (CEST)

Hallo WoSa, habe Deine Ergänzung etwas umstrukturiert, damit die Themen QT und RT unter sich bleiben, und ferner etwas gestrafft ohne inhaltliche relevante Einbußen, hoffe ich. Der 2. Satz zur QT hört sich so an, als bräuchte man die komplexen Zahlen in der QT nur zur Definition von Differentialoperatoren, aber die imaginäre Einheit steht ja schon in den Gleichungen von vorneherein drin, d. h. es handelt sich schon im Ansatz um komplexe Gleichungen. Das würde ich gerne noch irgendwie umformulieren. Das Zitat eines Lehrbuches mitten im Text ist ungewöhnlich für die WP. Vielleicht kannst Du es unten unter Literatur vollständig zitieren und dann verweisen wir im Text darauf. --Wolfgangbeyer 00:09, 21. Apr 2004 (CEST)

Hallo Wolfgang, ich habe einige Literaturhinweise eingefügt und dabei herausgefunden, dass W. Greiner unterschiedliche Darstellungen in verschiedenen seiner Büchern verwendet. Insbesondere war die Aussage, dass ict in dem Buch über Spezielle Relativitätstheorie verwendet wird, leider falsch :-(. Er entwickelt aber in dem Buch über Mechanik die relativistische Mechanik mit ict. Die Darstellung der Vierervektoren mit reellen Komponenten ist nicht immer so ganz klar, da die Autoren oft nur den metrischen Tensor angeben, aber nicht sagen, wie der kontravariante und der kovariante Vierervektor (z.B. der Ortsvektor) aussehen. Damit kann x = (x,y,z,-ct) oder x = (-x,-y,-z,ct) sein, je nach Definition des metrischen Tensors und des kontravarianten Vektors. Deswegen habe ich den entsprechenden Abschnitt in z.B. eingeschlossen. Mir ging es momentan nur um die Korrektheit der Darstellung, die Art der Formulierung kann sicher noch überarbeitet werden.

Gruss WoSa 02:05, 22. Apr 2004 (CEST)

Literaturangabe für spezielle Relativitätstheorie

Ich bezweifle, dass Bücher über die SRT als Literaturangabe in einem Artikel über komplexe Zahlen angebracht sind. Wenn gewünscht, bitte an geeigneter Stelle eintragen. --SirJective 21:14, 23. Mai 2004 (CEST)

• W.Greiner: Mechanik, Verlag Harri Deutsch, 1989 (mit einem Kapitel über Spezielle Relativitätstheorie), verwendet x = (x,y,z,ict) für den Ortsvektor
• Walter Greiner, Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie, Verlag Harri Deutsch, 1989, verwendet x = (ct,x,y,z) für den Ortsvektor
• A. Einstein: Grundzüge der Relativitätstheorie, Verlag Vieweg & Sohn, 1969, verwendet x = (x,y,z,ict) für den Ortsvektor

Mir ging es im Prinzip nur darum, Literatur zur Verwendung von "ict" anzugeben (vgl. die oben geführte Diskussion), und dies gegen den allgemeinen Gebrauch in der Relativitätstheorie abzugrenzen, da man die Verwendung der komplexen Zahlen in der Speziellen Relativitätstheorie überwiegend aufgegeben hat. Vielleicht findet man durch den Vergleich der Lehrbuchliteratur Gründe, warum der Gebrauch der komplexen Zahlen günstiger wäre. In der relativistischen Quantenmechanik werden komplexe Zahlen (auch in Vierervektoren) verwendet. Man könnte ja auch versuchen, die relativistische Quantenmechanik zu verallgemeinern (unter Berücksichtigung der Gravitation), und dies unter Verwendung der komplexen Zahlen. Allerdings sind mir solche Bestrebungen nicht bekannt.

Gruss WoSa 20:57, 27. Mai 2004 (CEST)

Zur den jüngsten Änderungen

Hallo Bodo Thiesen, wenn man derart drastische Eingriffe an einem Artikel macht, dann sollte man auch etwas auf dessen Integrität achten: Oben hast Du z. B. unter Schreibweise / Trigonometrische Form nun Dinge eingeführt, die weiter unten durch älteren Text unter Polardarstellung wieder auftauchen, so als wären sie noch nie erwähnt worden. Die Gliederung des Gesamtartikels hat ziemlich gelitten. Und bevor der Leser nun so was elementare wie die gaußsche Ebene oder Rechenregeln kennenlernt und etwas Verständnis für komplexe Zahlen gewinnen darf, wird er jetzt mit den stinkelangweiligen Umrechnungen von jeder Schreibweise in jede Schreibweise gequält. Der zusammenhängende Textbereich, der in der Paarschreibweise formuliert war, wird jetzt durch Deinen in der a+ib-Form geschriebenen in 2 Teile geteilt, so dass jetzt ein bunter Wechsel stattfindet. Und FIXME?? Das finde ich auch nicht toll. Ich bin Physiker und möchte es mal den Mathematikern überlassen, das wieder zu richten, aber das ist viel Arbeit, denn man müsste als allererestes ein vernünftiges Konzept für eine Gliederung erarbeiten. Würde auch jeden voll unterstützen, der diese jüngsten Änderungen als provisorische Maßnahme einfach revertiert. --Wolfgangbeyer 22:00, 19. Nov 2004 (CET)

Hallo Wolfgang. 1.) Die Poldarstellung ist nun im Abschnitt Schreibweisen verarztet worden. Die Tatsache, daß dies nicht von vorn herein geschah lag vielleicht daran, daß die alte Version sowiso schon nicht sauber gegliedert war. Was suchen denn allgemeine Erkenntnisse über komplexe Zahlen in einem Unterabschnitt "Poldarstellungen"? 2.) Die 2-teilung der Paarschreibweise trat durch eine falsche/schlecht gewählte Überschrift auf. Ist jetzt ebenfalls korrigiert. 3.) FIXMEs heißen so, weil sie gefixt werden sollen. Ich weiß nicht, wie man diese Umrechnungen durchführt, weise so aber darauf hin, daß es prinzipiell geht. Zu guter Letzt: Wenn Du mehr weist oder glaubst, es besser zu können, dann bitte ich Dich, nicht weiter herumzumeckern, sondern einfach mal selber Verbesserungen durchzuführen. Abgesehen davon bitte ich davon Abstand zu nehmen, Fortschritte durch Revertieren zunichte zu machen. Danke. --Bodo Thiesen 23:57, 19. Nov 2004 (CET)

@Finanzer: Ich habe Dein Revert aus im Log ersichtlichen Gründen zurückgenommen. Den letzten Kritikpunkt (nicht das wegen dem Revert - das stand da ja noch nicht hier drin) gegen Wolfgang gilt somit auch für Dich. --Bodo Thiesen 23:57, 19. Nov 2004 (CET)

Ich fand den Artikel in einen ziemlich chaotischen Zustand vor, und ich finde, es ist durchaus in Ordnung, darauf hinzuweisen, auch wenn man im Moment nicht die Zeit dazu hat, selbst beizutragen. Jetzt sieht's ja schon besser aus. --Wolfgangbeyer 00:31, 20. Nov 2004 (CET)

Wurzel(-1)

$-1={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1$

Wo liegt der Fehler?

Der Fehler liegt darin, daß ${\sqrt {-1}}$ nicht als Zahl existiert. Schon das Hinschreiben ist irreführend, wenn auch, besonders bei Ingenieuren, üblich.

Das Greuel kommt mehrfach vor und läßt sich deswegen nicht so einfach korrigieren. 217.94.147.127 22:42, 4. Jan 2005 (CET)

Der Fehler liegt insbesondere darin, dass $-1={\sqrt {-1}}$ falsch ist. Richtig sind $i^{2}=-1$ und $i={\sqrt {-1}}$. Ausgehend von dieser Gleichung gelangt man nicht zu dem Widerspruch $-1=1$. --84.151.144.148 11:53, 16. Apr 2005 (CEST)

Von $-1={\sqrt {-1}}$ lese ich da oben nichts, das hast Du falsch verstanden. Aus algebraischer Sicht gibt es ${\sqrt {-1}}$, aber es ist weder $i$ noch $-i$, sondern in gewisser Weise noch nicht festgelegt: Es gibt zwei Isomorphismen $\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})\to \mathbb {C}$, von denen keiner "besser" ist als der andere. Potenzregeln gelten dafür aber auch nicht, die sind etwas ganz speziell Reelles (die (topologischen) Gruppen $(\mathbb {R} ,+)$ und $(\mathbb {R} _{>0},\cdot )$ sind isomorph).-- Gunther 12:04, 16. Apr 2005 (CEST)

Stimmt, man muss i als Schreibweise für ein Zahlentupel (0,1) aus C auffassen, für das die Rechenregeln gemäß der Definition gelten. Die Rechenregeln zur Multiplikation reeller Zahlen sind auf das Zahlentupel nicht anwendbar.

Habe ich richtig verstanden? ${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\not ={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}$ Die Umformung ist nämlich für negative Radikanten nicht gültig weil es sich ja in dem Fall nicht mehr um eine Zahl aus $\mathbb {R}$ handelt.

Also darf man ${\sqrt {-1}}$ schreiben und $i={\sqrt {-1}}$ definieren?

Die Wurzel ist doch wie folgt definiert ${\sqrt {a}}=x$ und $x^{2}=a$.

Wenn man jetzt für x einfach i in Definition setz also ${\sqrt {a}}=i$ und $i^{2}=a$ dann folgt dafür das $a=-1$ ist also ${\sqrt {a}}=i$ soviel bedeutet wie ${\sqrt {-1}}=i$. Was ist dran an dem Problem mit ${\sqrt {-1}}=i$, hat da nur einer nicht genau auf den Geltungsbereich eines Rechengesetzes geachtet oder hab ich das vielleicht grade nicht und macht diese oft verwendete Definition wirklich Probleme? --Key

Eines der Probleme besteht darin, dass es keine stetige (oder gar holomorphe) Wurzelfunktion in der ganzen komplexen Ebene gibt. Wie in Logarithmus erklärt, kann man zwar die Logarithmus- oder die Wurzelfunktion (das ist wegen der wünschenswerten Beziehung ${\sqrt {x}}=\exp {\Big (}{\frac {1}{2}}\log x{\Big )}$ in etwa dasselbe) auf $\mathbb {C} \setminus \{0\}$ ausdehnen, eine stetige Ausdehnung existiert aber nur für $\mathbb {C} \setminus (-\infty ,0]$ (oder ähnliche einfach zusammenhängende Bereiche). Aus algebraischer Sicht kann man $\mathbb {C}$ als die Erweiterung $\mathbb {R} ({\sqrt {-1}})$ definieren mit $\mathrm {i} ={\sqrt {-1}}$, das gibt keine Probleme bis darauf, dass z.B. das o.g. Wurzelgesetz nicht gilt.--Gunther 23:49, 31. Okt 2005 (CET)

Was haltet ihr von volgendem Beweis das die Definition $i={\sqrt {-1}}$ falsch ist:

algebraische Umformung der eigentlichen Definition:

$i^{2}=-1$, ${\sqrt {i^{2}}}=\pm {\sqrt {-1}}$

$i=\pm {\sqrt {-1}}$ also gilt ${\sqrt {-1}}=\pm i$ Wenn man sich an die Definition $i={\sqrt {-1}}$ hält bekommt

man also nicht alle möglichen Lösungen deshalb führt sie zu Problemen.

Das gleiche kann man mit der Formel zum berechnen der Wurzel von komplexen Zahlen zeigen wenn man -1 als komplexe Zahl betrachtet also $-1+0j$ und davon die Wurzel zieht ${\sqrt {-1+0i}}={\sqrt {1+\mathrm {e} ^{i\pi }}}={\sqrt {1}}+\mathrm {e} ^{\frac {\pi +k*2*\pi *i}{2}}$ für $k=0,1$. Als Ergebnis bekommt man $1+e^{\frac {\pi }{2}}$ und $1+e^{\frac {3*\pi }{2}}$ also $\pm i$ womit die Aussage ${\sqrt {-1}}=\pm i$ wieder bestätigt ist.

(nicht signierter Beitrag von 89.55.165.136 (Diskussion) 17:19, 12. Feb 2006)

Wenig. Es geht ja eben um das Problem, sich auf einer der beiden bekannten Möglichkeiten festzulegen. Im Reellen kann man das durch das Attribut "positiv" erledigen, im Komplexen gibt es dagegen keine vergleichbare Möglichkeit.--Gunther 17:34, 12. Feb 2006 (CET)

Vielleicht sollte sich mal jemand die Wurzelgesetze unter Wurzel (Mathematik) ansehen:

Dort steht, das diese Gesetze, also auch ${\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}$ nur für positive oder (was hier sowieso nicht gegeben ist) für ungerade negative Wurzelexponenten gelten!--217.250.250.22 16:13, 20. Feb. 2007 (CET)

Widerstandsnetzwerke

Kann mir einer unter der Diskussion Widerstandsnetzwerke meine Frage beantworten ob es noch weiter Verfahren gibt außer der Knoten und Maschenregel bei der Elektrotechnik?

Hi, für den 'niederfrequenten Bereich' reicht das wohl in der Regel. Bei besonders hohen Frequenzen, also ab GHz-Bereich, muss man noch 'hinlaufende' und 'rücklaufende' Wellen [das ist dann auch schon das 'Modell'] berücksichtigen; mit der Knoten- und Maschenregel kommt man da normalerweise nicht mehr ans Ziel. Siehe hier "Taschenbuch der Hochfrequenztechnik; Meinke, Grundlach.". Wurzel

-1=((-1)^0,5)²=i² i*i ist eine nicht erlaubte Rechnung bei den complexen Zahlen! aber es kann umgeschrieben werden in i² und ergibt somit -1! wo ist denn da ein problem? weitene fragen können an ogbender AT gmx.de gestellt werden

Ich verstehe nicht, was Du damit sagen willst.--Gunther 6. Jul 2005 14:14 (CEST)

Schlimme Einleitung

Hallo, um offen zu sein halte ich die Einleitung dieses Artikels für, milde formuliert, nicht allgemein verständlich. Ich habe gezögert, ob ich hier gleich die Vorlage \{\{Unverständlich\}\} reinsetzen soll, aber ich versuche es doch zunächst besser mit einem Feedback in der Disku.

In der Einleitung eines Artikels erwartet der Leser eine allgemeinverständliche Erklärung zum Artikel-Lemma. Falls ich damit etwas Falsches sage, korrigiert mich bitte ... In der aktuellen Einleitung wird jedoch ohne weitere Umschweife zur Lösbarkeit algebraischer Gleichungen abgebogen und quasi noch im ersten Satz eine Formel angefügt. Obwohl ich als Informatiker sicher keine Probleme habe, eine solche Formel zu lesen, halte ich so etwas im Einleitungsteil, hier gar im ersten Satz für völlig unangebracht. Die Motivation zur Erweiterung des Zahlenbereichs hätte hier sicherlich allgemeinverständlicher formuliert werden können. Auch ein paar Sätze zur Bedeutung der komplexen Zahlen für die Mathematik hätten gut getan.

Darüber hinaus wurde ja hier in der Diskussion bereits angemerkt, dass die Schreibweise ${\sqrt {-1}}$ durchaus nicht unproblematisch ist und in dieser Weise im Grunde garnicht verwendet werden darf, zumindest nicht kommentarlos. Genau dies geschieht aber bereits in der zweiten Formel, die ja praktisch noch zur Einleitung gehört!

Da ich selbst viele sehr fachbezogene und spezielle Artikel aus der Informatik editiere, ist mir bewusst, dass nicht in jedem Artikel alle Grundlagen neu erläutert werden können und man gelegentlich ein gewisses Grundwissen voraussetzen muss, so dass Artikel für fachfremde Leser vermutlich unverständlich erscheinen. In diesem Fall handelt es sich jedoch um einen recht allgemeinen Begriff, der eine ausführliche und verständliche verbale Erläuterung und Einordnung in die Mathematik verdient, bevor man sich an die Mathematiker wendet und spezieller wird. Ich wollte den bisherigen Autoren hier nicht reinfuhrwerken und hoffe, dass sich einer der Mathematiker dieser Probleme annehmen kann. Grüße --Mkleine 02:52, 5. Feb 2005 (CET)

Hallo, da sich niemand auf meinen Einwurf gemeldet hat, habe ich mir die Einleitung selbst mal zur Brust genommen. Viele Grüße --Mkleine 23:37, 7. Feb 2005 (CET)

Hallo Mkleine, ich habe dein kursives i wieder in ein nicht-kursives i gerade gebogen (in der 'Einleitung'). Du verstehst mich bestimmt, und siehst das die Formelzeichen so insgesamt 'kompatibler' werden und zu weniger Verwechslungen führen. Andere Leute (als ich) hatten diese Idee schon vor langer Zeit, und sie haben Recht damit, siehe unten. Wurzel

Ok, ich hatte sie nur im Rahmen dieses Artikels hervorheben wollen, da es eben um die zentrale Zahl dieses Artikels geht. Aber mit der jetzigen Lösung bin ich ebenso zufrieden. Grüße --Mkleine 20:40, 9. Feb 2005 (CET)

Ein Problem ist auch, dass in den relevanten Artikeln (Logarithmus, evtl. auch Wurzel) der Logarithmus als unstetige Funktion auf $\mathbb {C} ^{\times }$ ausgedehnt wird, so dass tatsächlich ${\sqrt {-1}}=\mathrm {i}$ gilt (und ${\sqrt[{3}]{-1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}$); das hat auch schon in Kubische Gleichung zu Verwirrung geführt. Man sollte die negative reelle Achse einfach herausnehmen. Die Potenzgesetze gelten dann natürlich immer noch nicht.-- Gunther 12:30, 16. Apr 2005 (CEST)

Die nicht-kursive Schreibweise der imaginären Einheit

bringt insgesamt die wenigsten Probleme mit sich - sei es die Verwendung von i (in Mathematik,Physik) oder j (meist in Elektrotechnik). Seit vielen Jahren beobachte ich die grosse Verwechslungsgefahr von i bzw. j mit den Größen/Variablen i, j aus Physik/Elektrotechnik/Mathematik etc., Variablen der Art i, j werden in der Regel für z.B. Wechselstrom, Stromdichte, als Zähler in Summen usw. eingesetzt. Im Gegensatz zu diesen Variablen hat aber i (und j) eher den Charakter einer 'Einheit', und werden deswegen auch gern als 'imaginäre Einheit' bezeichnet. Um dies zu verdeutlichen, sollten sie auch anders dargestellt werden als Variablen. Dieses Problem löst sich leicht, in dem man 'Variablen' bzw. (bestenfalls noch physikalische/mathematische Konstanten) in kursiver Schreibweise darstellt, und für die 'imaginäre Einheit' die 'nicht-kursive' Schreibweise nutzt. Daraus ergibt sich für den aufmerksamen Leser eine deutlich verringerte Verwechslungsgefahr (nämlich eigentlich gar keine) mit Variablen z.B. i,j. In handschriftlicher Form ist hierbei ledeglich auf deutliche Unterscheidung (evtl. durch eine kleine Legende, die ohnehin normalerweise zu allen verwendeten Formelzeichen gehört) zwischen i und i , bzw. j und j zu achten. Lehrbücher und Tafelwerke mit hohem wissenschaftlichen Gehalt und hoher allgemeiner Akzeptanz verfolgen auch diesen Weg. Es gehören dazu (oberer Teil der Tabelle):

Verwendete imaginäre Einheiten in verschiedenen wiss. Werken

Referenzen	imag. Einheit	Kommentar
Bronstein; Taschenbuch der Mathematik	i	neurere Ausgabe, blauer Einband
Freitag-Busam; Funktionentheorie	i
Kleine Enzyklopädie Physik, 1.Aufl.(1986); Reimann,Schmiedel,Weißmantel	i
Haken, Wolf; Molekül- und Quantenphysik, 1.-8. Aufl.	i
Haken, Wolf; Atom- und Quantenchemie, 1.-8. Aufl.	i
Meinke, Grundlach; Taschenbuch der Hochfrequenztechnik	j
Taschenbuch der Physik, 5.Aufl.	j	auf i wird hingewiesen, S.476
Grimsehl; Lehrbuch der Physik - Elektrizitätslehre, Bd.2, 19. Aufl.(1980)	j
Schwabl; Quantenmechanik, 1.-4. Aufl.	i
Slichter; Principles of Magnetic Resonance 1.-3. Aufl.	i
Gerthsen/Physik; H.Vogel, 18., 19. Aufl.	i	seit 18. Aufl.
Referenzen (mit tendenziell problemat. Schreibweise)	imag. Einheit	Kommentar
Bronstein; Taschenbuch der Mathematik, (6. Aufl., 1969)	i	alte Ausgabe, gelb/ockerfarb. Einband
Neukirch, Algebraische Zahlentheorie	i	als imag. Einheit und Index im selben Absatz
Taschenbuch der Regelungstechnik, 3.,5. Aufl.	j,j (taucht beides auf)	j wird spärlich auch als Zählindex verwendet
www.wikipedia.fr : 'Nombre complexe', am 9.3.2005 14:45 MEZ	${\vec {i}}$	Hmm, auch eine interessante Alternative
Gerthsen/Physik; H.Vogel, bis 17.Aufl.	i	ab 18. Aufl geändert, s.o.
Griffiths-Harris: Principles of Algebraic Geometry	${\sqrt {-1}}$	macht die Formeln ziemlich umständlich

[Ich vervollständige die Liste, sobald mir weitere Daten vorliegen.]

Falls jemand andere/bessere Vorschläge hat, dann diese bitte gern hier anbringen.

P.S.: Ich persönlich bevorzuge i als imag. Einheit. Für j als imag. Einheit bin ich gern aufgeschlossen, denn es gilt - ohne in Probleme zu laufen - : i = j = imag. Einheit.

Viel Spass beim Rechnen mit komplexen Zahlen !

gutes Beispiel bei "Trigonometrische Form"+"algebraischen Darstellung"+"Exponentialform"

erbitte um 1-2 Beispiele für diese Darstellungen. Diese allgemeinen Formen sind schön und gut, aber nicht immer verständlich --Raymond83 22:16, 9. Feb 2005 (CET)

Hallo Raymond83, ein gutes 'praktisches' Beispiel aus der Elektrotechnik für die 'algebraische Darstellung' ist zu finden bei Smith-Diagramm. Der dortige Text war zumindest am 10.2.2005 10:53 Uhr MEZ ganz in Ordnung. Wurzel

---

Wer hat denn den Unfug "Komplexe Zahlen sind echte 2-dim. Vektoren" eingebracht? (Wie ist denn die Division zweier Vektoren definiert?)

Die Menge der komplexen Zahlen ist ein 2-dimensionaler reeller Vektorraum. Dabei ist "2-dim. reeller Vektorraum" ein wesentlich allgemeinerer Begriff als nur der $\mathbb {R} ^{2}$, siehe Vektorraum. Genügt das?--Gunther 00:09, 18. Mai 2005 (CEST)

Bleibt die Frage: Wie ist denn die Division zweier Vektoren definiert?

Eben gar nicht. Die Division von komplexen Zahlen ist definiert, und die komplexen Zahlen bilden einen 2-dim. Vektorraum. Das bedeutet nicht, dass man in jedem 2-dim. Vektorraum dividieren kann.--Gunther 00:18, 18. Mai 2005 (CEST)

Nach meinem Wissen gibt es in Vektorräumen (allg.) verschiedene Arten der Multiplikation (Skalar-, Kreuz-, Vektor-Produkt). Bei Komplexen Zahlen gibt es nur ein Produkt ( die im Artikel erwähnte Drehstreckung), die durch keine der o.a. Produkte realisiert wird. Ist also eine Komplexe Zahl tatsächlich ein hundsgewöhnlicher 2-dim. Vektor???

Das Kreuzprodukt ist nur im $\mathbb {R} ^{3}$ definiert.--Ralf Scholze 10. Nov 2006

Eine einzelne komplexe Zahl formal ja. Aber "die komplexen Zahlen" bestehen eben aus 1. den einzelnen komplexen Zahlen, 2. der Addition, 3. der Multiplikation und vielleicht noch 4. der Identifizierung von reellen Zahlen mit gewissen komplexen Zahlen.--Gunther 00:34, 18. Mai 2005 (CEST)

Tja, in dem Fall muß ich wohl aufgeben. Damit ist für mich persönlich Wikipedia als zuverlässige Informationsquelle erledigt. Schade um die gute Idee! Tschüß!

Willst Du damit sagen, dass Du mir nicht glaubst?--Gunther 00:48, 18. Mai 2005 (CEST)

Physik und unendlich oft diffbar

Hat die Anmerkung, dass eine Funktion die diffbar ist auch unendlich oft diffbar ist wirklich etwas im Abschnitt Physik zu suchen? Es wirkt da doch etwas aus dem Kontext gerissen. --Saraedum 01:39, 17. Jun 2005 (CEST)

Früher hatte dieser Absatz die Überschrift "Naturphilosophische Aspekte der komplexen Zahlen", die ich gar nicht so schlecht fand. Da passte es besser. Die jetzige leidet auch etwas unter dem Problem, dass zu komplexen Zahlen inder Physik allgemein noch viel mehr zu sagen wäre, z. T. auch das, was im nächsten Abschnitt steht. Vielleicht sollten wir die alte Überschrift wieder herstellen oder eine andere besser passende finden. Es geht in diesem Abschnit ja um die eher übergeordenete Rolle der komplexen Zahlen in der Grundlagenphysik und Mathematik. --Wolfgangbeyer 21:17, 17. Jun 2005 (CEST)

Kommentare 10. Juli 2005

1. Einleitungssatz: Ob man Wurzeln aus negativen Zahlen zulässt, ist je nach Autor unterschiedlich
2. Bei der gaussschen Zahlenebene sollte auch ein Bild davon sein, nicht eines der Zahlengeraden
3. "Die Multiplikation ist in der gaußschen Ebene eine Drehstreckung." ist in dieser Kürze komplett unverständlich
4. "konjugiert komplexe Zahl" spricht über die Polardarstellung, bevor diese erwähnt wird
5. Betrag sollte prominenter definiert werden
6. Eulersche Identität sollte nicht unter "Schreibweisen..." erscheinen
7. Der Abschnitt zu ict klingt etwas esoterisch
8. wie bereits oben erwähnt fehlt die Bedeutung für die reine Math. bzw. steht im Physik-Abschnitt
9. Funktionentheorie viel zu kurz erwähnt
10. unklarer Bezug am Anfang von "Geschichtliches"
11. In der Einleitung wird Bombelli als Urheber genannt, taucht aber im Geschichtsabschnitt nicht mehr auf

Die Probleme mit Potenzen, Wurzeln und Logarithmus könnten prominenter und gemeinsam erwähnt werden.--Gunther 10:43, 10. Jul 2005 (CEST)

Zielpublikum

Hallo Leute, ich muss euch doch mal ermahnen, darüber nachzudenken für wen wir schreiben: Für den interessierten Laien und nicht für Mathematiker. Die Definition zu beginnen mit " Im 2-dimensionalen reellen Vektorraum $\mathbb {R} ^{2}$ der geordneten reellen Zahlepaare $z=(a,b)$ wird neben der Addition ..." statt wie zuvor " Die folgende Definition nimmt zunächst keinen Bezug auf die imaginäre Einheit $\mathrm {i}$, sondern erfolgt in der Paarschreibweise..." ist einfach Gewichse – sorry. Das ist leider eine weitverbreitete Unsitte bei den hiesigen Mathematikern. Selbst die Paarschreibweise ist eigentlich unnötig. Ich würde vorschlagen, das Grundsätzliche erst mal mit a+ib zu beschreiben und später erst mit Paarschreibweise und Vektorräumen herumzuschmeissen. Habe leider nicht die Zeit, das selbst zu erledigen. --Wolfgangbeyer 18:57, 14. Aug 2005 (CEST)

Leicht im Ton vergriffen! Aber zur Sache: Der interessierte Laie, der sich keinen mathematischen Background aufbaut, kommt auf typischen Seiten aus der Mathematik (wie auch Physik, E-Technik etc.) noch gerade mit der Bildschirmseite 1 klar. Die Intention ist, dass da alles für den echten Laien steht (das ist auf dieser Seite vielleicht noch zu Geschichte-lastig und könnte sicher noch verbessert werden). Wer etwas über die komplexen Zahlen erfahren will, kommt nicht am Begriff eines Vektorraums und eines Körpers vorbei. Wenn ich etwas über die spezielle Relativitätstheorie, Quantenchromodynamik oder das menschliche Immunsystem lese, geht es nach der Intro für alle auch relativ schnell zur Sache, und das ist in der Natur des Stoffes bedingt. Gerade die Definition der komplexen Zahlen muss mit der Paarschreibweise beginnen, da erst Eigenschaften auf der Definition aufbauend bewiesen sein müssen, damit man weiß, dass die a+bi-Schreibweise überhaupt eine mögliche und sinnvolle Schreibweise ist. Ich bin ja auch der Meinung, dass diese Seite zu ${\mathbb {C}}$ noch nicht optimal ist, aber mit destruktiver Kritik wirst Du nicht weit kommen. Und in der Mathematik gilt ein Grundsatz noch vor dem Grundsatz der Lesbarkeit: Es muss richtig sein. Nebenbei: Wenn Du nicht die Zeit hast, mitzumachen, dann sei nicht ganz so oberlehrerhaft.--JFKCom 20:00, 14. Aug 2005 (CEST)

Ok, sorry (das schrieb ich oben schon) für den Ton. Wenn es anderswo ebenso schnell zur Sache geht, dann ist das eben auch bedauerlich (Spezielle Relativitätstheorie trifft dieser Vorwurf aber eigentlich nicht). In einem normalen Lexikon findest du so was jedenfalls nicht. Da ich meine Kritik mit einem konkreten Vorschlag versehen habe, kannst du sie auch kaum als destruktiv bezeichnen. Und auch jemand, der keine Zeit für die Mitarbeit hat, darf Kritik üben – sogar jemand, der es gar nicht besser kann. Habe man den Definitionsanfang durch etwas Prosa entschärft, werde mich aber nicht weiter einmischen. --Wolfgangbeyer 23:52, 14. Aug 2005 (CEST)

Jetzt verstehe ich auch erst das Ziel deines Vorschlags, und da bin ich mit dir einer Meinung: Die Definition kann zur leichten Verständlichkeit erst in der gewohnten a+bi-Schreibweise erfolgen, und der streng mathematische Paarschreibweisenzugang plus die Erläuterungen, warum beide Schreibweisen zusammenpassen, kann in den Bemerkungsnoten darunter stehen (die man ja als nicht tief einsteigender Leser bei passender Überschriftswahl gezielt überlesen darf). Das ist aber doch ein Stück Arbeit, das dauert noch ein bisschen.--JFKCom 20:13, 15. Aug 2005 (CEST)

Die Paarkonstruktion ist eigentlich auch nur eine von vielen, deren genaue Details ziemlich uninteressant sind.--Gunther 13:34, 20. Aug 2005 (CEST)

soo?

"Dies gelingt durch Einführung einer neuen Zahl i als Lösung der Gleichung " *** Diese hat aber zwei verschiedene Lösungen.--192.53.103.105 10:40, 26. Aug 2005 (CEST)

(Bitte mit --~~~~ (zwei Minusse, vier Tilden) unterschreiben. Nachgetragen von Gunther 10:45, 26. Aug 2005 (CEST))

Ja, und? Das ist eine informelle Beschreibung, keine Definition. Abgesehen davon könnte man daraus problemlos eine Definition machen ($\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$).--Gunther 10:45, 26. Aug 2005 (CEST)

Langsam, dies ist wirklich die Stelle bei der Konstruktion von ${\mathbb {C}}$, wo ich auch früher drüber gestolpert bin. Der Witz ist: Man nimmt eine der beiden Lösungen als i, und die zweite wird dann -i. Das komische ist, dass man dran denken muss: Was wäre gewesen, wenn ich die andere "-i" genannte Lösung als i genommen hätte? Die Antwort: Man hätte eine andere Kopie von ${\mathbb {C}}$ erhalten, sozusagen die komplex konjugierte der originalen Zahlenebene. Sie ist deswegen nicht vom Original unterscheidbar, weil die komplexe Konjugation ein Körperautomorphismus ist. Man hätte sozusagen die komplexe Zahlenebene spiegelbildlich gemalt und es wäre einem gar nicht aufgefallen, dass man das originale "-i" als i auf die Achse gemalt hat. Oder noch anders formuliert: Man könnte auch sagen, dass man ein Paar von Zahlen +i, -i als Lösungen von x^2+1 gleichzeitig adjungiert, wobei es echt egal ist, welche man +i nennt. Irgendwie könnten wir ja mal dieses (Schein-)Paradox in den Artikel reintexten.--JFKCom 22:58, 9. Sep 2005 (CEST)

Man muss sich klarmachen, dass die Gleichung in $\mathbb {R}$ keine Lösung hat, und man, solange die komplexen Zahlen nicht konstruiert sind, auch nicht mehr weiß. Die Konstruktion über eine Lösung der Gleichung fängt also fast automatisch mit einer Lösung an, und erst später stellt man fest, dass es noch eine andere gibt. (Es gibt auch Konstruktionen der komplexen Zahlen, die nicht gleich eine Lösung von $x^{2}=-1$ mitliefern, z.B. Matrizen der Form ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$ mit den gleichberechtigten Lösungen ${\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}$.)

Deutlicher wird das Problem vielleicht bei einer nicht normalen Erweiterung. Erweitert man die rationalen Zahlen um eine Lösung der Gleichung $x^{3}=2$, so entsteht ein eindeutiger Körper $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$. In diesem hat die Gleichung nur eine Lösung. Dass die Gleichung $x^{2}=-1$ in den komplexen Zahlen zwei Lösungen hat, ist also so eine Art glücklicher Zufall.

Betrachtet man aber $x^{3}=2$ über den komplexen Zahlen, findet man drei Lösungen, die jeweils einen zu $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ isomorphen Unterkörper erzeugen. Das entspricht der nachträglichen Mehrdeutigkeit der Lösung von $x^{2}=-1$.

Es geht also um den Unterschied zwischen einer Erweiterung "ins Vakuum hinein" und Teilerweiterungen einer bereits bekannten Erweiterung. Bei ersterem kann man nicht "eine andere Lösung wählen".--Gunther 01:31, 10. Sep 2005 (CEST)

Du hast recht. Allerdings ist vielleicht ${\mathbb {Q}}({\sqrt[{3}]{2}})$ ein etwas verwirrendes Beispiel, da man hier auch den Standpunkt einnehmen kann, dass man mit ${\sqrt[{3}]{2}}$ die einzige reelle Wurzel "anspricht". Dem Erweiterungskörper selbst ist es natürlich "egal", welche Wurzel man ihm gönnt, alle 3 Varianten sind als Körper isomorph zueinander. Nur ist einer davon ein Teilkörper von $\mathbb {R}$, und die beiden anderen sind es nicht.

(Endlich habe ich gerafft, wie man seinen Beitrag in einzelne Absätze gliedern kann ;-) ) Trotzdem steht der "Einsteiger" vor dem Problem, das die anschauliche Gaußsche Zahlenebene in diesem Zusammenhang aufwirft, denn man "gönnt" ja genau einem der beiden Kandidaten $\pm \,\mathrm {i}$ den Status, dass man ihm den Winkel $\pi /2$ zuordnet, und der andere wird mit $3\pi /2$ abgespeist. Die scheinbare Willkür dieser Wahl hat mich früher auch verblüfft.--JFKCom 11:53, 10. Sep 2005 (CEST)

Wenn man die Kandidaten i und −i nennt, hat man die Wahl ja schon getroffen. Man nennt aber immer die gewählte Zahl i, also kann man gar nicht −i wählen ;-) --Gunther 12:05, 10. Sep 2005 (CEST)

Ja, genau!--JFKCom 12:18, 10. Sep 2005 (CEST)

Vorsicht beim Wurzelziehen

Hallo Gunther, Du hast meine Änderung zum Rechnen mit den Wurzeln rückgängig gemacht. Weshalb? Vielleicht war das von mir im Artikel noch nicht klar genug geschildert, aber strenggenommen ist MMN das Symbol ${\sqrt {z}}$ unzulänglich. In diesem Sinne ist jeder der Schritte in der Rechnung falsch. Der Schritt, wo im Moment das Ungleichheitszeichen steht, ist aber nicht "falscher" als die anderen, meine ich. Gruß, Jakob

Es gibt die Möglichkeit, einfach entlang der negativen reellen Achse aufzuschneiden, dann hat man zwar immer noch keine Wurzeln aus negativen Zahlen, aber immerhin eine wohldefinierte holomorphe Wurzelfunktion. In einigen Artikeln hier in der WP wird auch unstetig aufgeschnitten, d.h. mithilfe der Argumentfunktion mit Werten in $(-\pi ,\pi ]$, damit ist dann ${\sqrt {-1}}=\mathrm {i}$. Eine dieser Varianten (je nach Autor) wird üblicherweise als "Hauptzweig" der Wurzelfunktion bezeichnet (entsprechend für den Logarithmus). Es gibt also eine (bis auf Kleinigkeiten) kanonische einwertige Wurzelfunktion.

Was ich mit der Beispielrechnung zeigen will, ist dass die erweiterte Fassung mit Wurzeln aus negativen Zahlen genausowenig wie die andere Möglichkeit, bei der man ${\sqrt {-1}}=-\mathrm {i}$ festlegt, konsistent mit den üblichen Rechenregeln ist.

Zu Deinen Änderungen an der Beispielrechnung: "-1 als Wurzel von -1" sieht für mich nach einem Tippfehler aus, allerdings ist ${\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=-1$ unabhängig von der Wahl des Wertes von ${\sqrt {-1}}$ (solange man nicht gleichzeitig zwei verschiedene Werte verwendet). Ich denke auch, dass man unmissverständlich klarstellen sollte, welches der Gleichheitszeichen falsch ist.

Empfehlungen wie "sollte man nicht verwenden" fallen unter WP:NPOV (denn sie werden verwendet). Genügt das als Begründung?--Gunther 00:00, 15. Sep 2005 (CEST)

Ja, Du hast Recht. Habe nur noch einen Link auf die Wurzelseite gesetzt, wo das ganze ja erläutert wird. Gruß, Jakob

Meiner Ansicht nach kann man sehr gut das Symbol ${\sqrt {-1}}$ als äquivalent zu i definieren und benutzen, und sich auch davon überzeugen, daß positive x als x² unter diese Wurzel gezogen werden können und auch aus der Wurzel herausgezogen werden können. Allerdings darf die Regel ${\sqrt {z}}\cdot {\sqrt {w}}={\sqrt {z\cdot w}}$ nicht benutzt werden; es ist die Benutzung dieser Regel, welche den obigen Fehler verursacht.

(vgl auch (-1) = (-1)^(2/2) = ((-1)^2)^(1/2), was natürlich ebenso falsch ist).MFH 15:19, 18. Okt 2005 (CEST)

Klar, wenn man keine Anforderungen an die Gültigkeit irgendwelcher Rechenregeln stellt, kann man nahezu beliebige Symbole verwenden. Es gibt beispielsweise Bücher, die konsequent ${\sqrt {-1}}$ statt i verwenden, aber keine Wurzeln aus anderen negativen Zahlen benutzen.--Gunther 15:24, 18. Okt 2005 (CEST)

Addition und multiplikation korrespondiert automatisch mit Paarschreibweise

Meiner Meinung nach ist der Satz

"Man muss sich nun noch vergewissern, dass diese Darstellung auch nach Addition
und Multiplikation von komplexen Zahlen wieder mit der Paarschreibweise korrespondiert."

nicht korrekt : dies ergibt sich aus den Körperaxiomen, die bereits vorher vorausgesetzt werden. MFH 15:19, 18. Okt 2005 (CEST)

Naja, es ergibt sich eben erst durch explizites Nachrechnen unter Verwendung der Körperaxiome, oder unter Verwendung abstrakt-algebraischer Homomorphiesätze; bei letzterem würde man hier aber mit "Kanonen auf Spatzen" schießen.--JFKCom 00:00, 25. Nov 2005 (CET)

Fehler im Abschnitt "Weitere Eigenschaften"

Dort steht: Als R-Vektorraum besitzt C die Basis {1,i}. C ist aber ein 2-dim VR über R, also müsste die Basis korrekterweise {(1,0);(0,i)} sein. Takeshi 24.11.2005

Das ist kein Fehler, sondern die Verwendung der kanonischen Isomorphie, die die Identifikation von $\mathbb {R} ^{2}$ mit ${\mathbb {C}}$ herstellt. Vermöge dieser Isomorphie gilt gerade $(1,0)=1$ und $i=(0,i)$.--JFKCom 23:55, 24. Nov 2005 (CET)

Entweder {(1,0),(0,1)} oder {1,i}, aber nicht (0,i).--80.136.162.240 12:04, 25. Nov 2005 (CET)

Klar, sorry für den Fehler.--JFKCom 19:38, 25. Nov 2005 (CET)

Imaginäre Einheit und Wurzel -1

Die derzeitige Aufteilung überzeugt mich nicht. Die imaginäre Einheit ist kaum von den komplexen Zahlen trennbar, während das Wurzel-minus-1-Problem durchaus davon zu trennen ist (Wurzelfunktion, Adjunktion).--80.136.164.246 14:50, 1. Dez 2005 (CET)

Habe aus imaginäre Einheit einen Redirect hierher gemacht.--Gunther 13:30, 15. Dez 2005 (CET)

Konstruktion(en)

Vorschlag: Die Konstruktion nach unten verschieben, andere Konstruktionsmöglichkeiten erwähnen ($\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$, ${\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}}$).--Gunther 00:46, 13. Feb 2006 (CET)

Kann man eigentlich schreiben: $\mathbb {C} :=\{x+y\mathrm {i} \mid x,y\in \mathbb {R} \wedge \mathrm {i} ^{2}=-1\}$, und hat damit die komplexen Zahlen eindeutig definiert? Lässt sich die Paarschreibweise mit in diesen "Einformler" bringen? Krstfrs 15:40, 1. Mär 2006 (CET)

Nein, das ist keine Definition: Woher weiß man, dass man $(x+\mathrm {i} y)(u+\mathrm {i} v)$ ausmultiplizieren darf? Usw. Die Definition, die dem Grundgedanken am nächsten kommt, ist $\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$: Man darf beliebige Polynomausdrücke in i bilden, und alle, die durch die Ersetzung $\mathrm {i} ^{2}=-1$ ineinander übergehen, werden als gleich angesehen.--Gunther 15:47, 1. Mär 2006 (CET)

Hallo Gunter, zu deinem Vorschlag: Das ganze Konstruktionskapitel kann m. E. unbedenklich weit nach hinten geschoben werden, wenn im Kapitel Definition ein Hinweis erfolgt, inwieweit die erstgenannte Definition "mathematisch schlampig" ist und dass diese Schlampigkeit durch eine der Konstruktionsvarianten weiter unten repariert wird.Das enstpricht in etwa dem jetzt am Anfang des Konstruktionskapitels stehenden Text "Damit die obige axiomatische Definition einen Sinn hat, muss nachgewiesen werden, dass es überhaupt einen Körper $\mathbb {C}$ mit den benötigten Eigenschaften gibt. Dies leistet die folgende Konstruktion."--JFKCom 17:44, 6. Mai 2006 (CEST)

Fehler in "Multiplikation und Division in der Polarform"?

Wenn ich mich nicht stark täusche, ist folgende Aussage falsch (erster Teilsatz): "Bei der Division wird der Betrag des Divisors durch den Betrag des Dividenden geteilt, und die Phase des Divisors von der Phase des Dividenden subtrahiert:" Die anschliessende Formel stimmt dann wieder. /andreas b.

Ja, danke, hab's korrigiert.--Gunther 15:45, 6. Mai 2006 (CEST)

Aus dem Artikel: "Lückenhaft"

Es fehlt die Erklärung, warum man einfach "eine neue Zahl dazuerfinden kann". Es fehlt die Konstruktion als Tupel und der erst danach anschließende Beweis, daß es sich um einen Körper handelt. i ist keine "Einheit". C ist kein "Zahlenbereich".(nicht signierter Beitrag von 84.143.140.16 (Diskussion) 15:06, 28. Jun 2006)

Die Konstruktion steht unter "Paare reeller Zahlen". Einheit (Mathematik). Zahlenbereich.--Gunther 15:10, 28. Jun 2006 (CEST)

Belege für unterstrichene komplexe Zahlen: [1] [2]--Gunther 15:20, 28. Jun 2006 (CEST)

geschickte Umformungen

Mir fällt's schwer einen Platz für folgende Umformung auszumachen.

$\left(1+\mathrm {i} \right)^{2}=1+2\mathrm {i} -1\$

${\sqrt {\mathrm {i} }}={1 \over 2}\left(1+\mathrm {i} \right)$

Zweites ist falsch. Folgt schon nur aus der Betrachtung der Beträge: die Wurzel einer Zahl mit Betrag eins muss zwingend auch Betrag eins haben, ${1 \over 2}\left(1+\mathrm {i} \right)$ ist "zu kurz". --Camul 17:23, 15. Nov. 2006 (CET)

Vielleicht kennen ja die Mathematiker unter euch noch 'n paar so gewiefte Umformungen, dann wär 'n eigenes Kapitel dafür sinnvoll

Gruß --Mik81 20:02, 11. Jul 2006 (CEST)

Rechentricks sind langweilig, selbst wenn man sich nicht dabei verrechnet. Geometrisch sieht man das viel einfacher. Evtl. in Einheitswurzel erwähnen.--80.136.142.187 20:24, 11. Jul 2006 (CEST)

Also ersteres folgt schlicht aus der 1. Binomischen Formel und birgt nichts neues. Und für ${\sqrt {\mathrm {i} }}$ erhalte ich irgendwie ${\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot \mathrm {i} \neq {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {i}$. :-/ --RokerHRO 14:35, 1. Aug 2006 (CEST)

Dann hast wohl auch Du Dich verrechnet.--Gunther 14:37, 1. Aug 2006 (CEST)

Das ist auch falsch. Gleiches Argument wie oben; hier ist ${\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot \mathrm {i}$ aber "zu lang". --Camul 17:23, 15. Nov. 2006 (CET)

${\sqrt {\mathrm {i} }}$ berechnet man am einfachsten in der Exponentialform: ${\sqrt {\mathrm {i} }}=(\mathrm {i} )^{1/2}=(e^{\mathrm {i} \pi /2})^{1/2}=e^{\mathrm {i} \pi /4}={1 \over {\sqrt {2}}}\cdot (1+\mathrm {i} )$. Ich denke, das ist mehr als ein Rechentrick, das ist der grundlegende Weg, die Wurzel komplexer Zahlen zu berechnen. Dazu setze ich diesen Inhalt mal unter Komplexe_Zahl#Wurzeln rein. Bin so frei, Gruss aus der Schweiz. PS: ich bin "ein Physiker unter uns" – nur so wegen oben ;) --Camul 17:23, 15. Nov. 2006 (CET)

Dafür gibt's Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen.--Gunther 17:26, 15. Nov. 2006 (CET)

Sollte man das hier nicht wenigstens antönen? Ansonsten wirkt der Absatz "Wurzeln" so, als könnte man nur Wurzeln aus positiven reellen Zahlen ziehen. Ich würde das ${\sqrt {\mathrm {i} }}$ -Beispiel belassen und für weitere Ausführungen auf Wurzel (Mathematik)#Wurzeln aus komplexen Zahlen verweisen. --Camul 17:33, 15. Nov. 2006 (CET)

Jemand hatte da ohnehin Unsinn in diesen Abschnitt geschrieben, ich habe ihn jetzt auf meine Version zurückgesetzt und den Verweis prominenter gemacht. So o.k.?--Gunther 17:41, 15. Nov. 2006 (CET)

Zweifellos schon viel besser. Kann man jetzt so belassen, ich würde mich dennoch für das ${\sqrt {\mathrm {i} }}$ -Beispiel zur Ergänzung einsetzen, da es i) eine hohe "Informationsdichte" hat (bei nur zwei Zeilen) und ii) eine typische Frage (das behaupte ich als Tutor für frühsemestrige Vorlesungen und gelegentlicher Dozenten-Stv) ist, die dem interessierten Laien oder angehenden Fachmann häufig und schnell über die Lippen kommt. --Camul 17:54, 15. Nov. 2006 (CET)

Wäre noch die inhaltliche Frage: Unter welchen Umständen verwendet man eher die Polarform? Bei Quadratwurzeln kann man Real- und Imaginärteil ja ganz explizit hinschreiben, und wenn man nicht zufälligerweise einen Winkel erwischt, zu dem Sinus und Kosinus bekannt sind, geht es ja auch kaum anders.--Gunther 18:00, 15. Nov. 2006 (CET)

Da wiederum müsste vielleicht tatsächlich ein Mathematiker antworten. Meinerseits benutze ich fast ausschliesslich die Polarform (In der Quantentheorie werden Phasen häufig als "unphysikalisch" unter den Teppich gewischt). Ich würde wohl generell und hemmungslos (mit $\rho e^{\mathrm {i} \phi }$ als Polarform von $z$ geschrieben) ${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho }}\cdot e^{\mathrm {i} \phi /n}$ als Lösung einreichen — mit Ausnahme instruktiver (didaktischer) Beispiele. --Camul 18:19, 15. Nov. 2006 (CET)

TeX??

Zwar bevorzuege ich auch TeX, aber mehr noch bevorzuege ich richtige Formeln. Jetzt ist wieder rerevert zu TeX, aber auch zum Unsinn!Nijdam 23:28, 19. Jul 2006 (CEST)

Tut mir leid, hatte ich übersehen, ich hatte eher erwartet, dass in einer der Version Minuszeichen stehen... Allerdings hätte man das auch einfach korrigieren statt reverten können...--Gunther 23:31, 19. Jul 2006 (CEST)

Polarform und Exponentialform

Hallo!

Es "fehlt" die Erwähnung der Schreibweise $z=e^{a+\mathrm {i} \varphi }$ für $z=r\cdot e^{\mathrm {i} \varphi }$.

Es wäre dabei nett auch die entsprechende Umrechnungsformel anzugeben.

Ich bin mir dabei nicht sicher genug um es selbst zu tun, da ich es gerade lernen muss ;-)

--212.202.42.44 19:42, 27. Jul 2006 (CEST)

Hmja. Funktioniert nicht für $z=0$ und hat eigentlich auch nicht viel mit komplexen Zahlen zu tun, das ist doch einfach $r=\mathrm {e} ^{a}$. Wer sieht das denn als wichtige, eigenständige Form an?--Gunther 19:46, 27. Jul 2006 (CEST)

Mein Mathedozent =) (siehe: Mafi 2, Klaus Kriegel, 28.18.2005 ab Minute 8 ) --212.202.42.44 10:38, 28. Jul 2006 (CEST)

Überzeugt mich nicht. Dass er bei dem Satz, den er an die Tafel schreibt ("Jede komplexe Zahl..."), die Null vergisst, zeigt ja vielleicht auch, dass das i.w. eine ad-hoc-Schreibweise für die nachfolgende Motivation für das Produkt ist.--Gunther 10:56, 28. Jul 2006 (CEST)

Komplexe Zahlen in der Physik

Im Artikel steht:

In der Relativitätstheorie werden Raum und Zeit zu einer vierdimensionalen Raum-Zeit verknüpft. Substituiert man dazu die Zeit t mittels x₄ = ict durch eine 4. Raumkoordinate x₄, so ergibt sich eine Form der Naturgesetze, in denen diese vier Koordinaten strukturell völlig gleichberechtigt auftreten. So erhält man insbesondere für die Metrik M dieser Raum-Zeit

$M=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}\;,$

die die gleiche fundamentale Rolle für die Raum-Zeit spielt wie der räumliche Abstand für den gewöhnlichen Raum. Diese Substitution wird von einigen Autoren in Lehrbüchern verwendet, die die spezielle Relativitätstheorie behandeln oder Abschnitte hierüber beinhalten. Der Ausdruck x = (x,y,z,ict) wird auch als Vierervektor bezeichnet. In der Praxis hat sich allerdings eine Formulierung mit reellen Vierervektoren durchgesetzt, eingebettet in einen Formalismus, der direkt zur allgemeinen Relativitätstheorie führt. Dabei werden je nach Definition der zugrundeliegenden Metrik verschiedene Formen verwendet, z. B. x = (ct,x,y,z) oder y = (x,y,z,ct). Man vermutet jedoch die Existenz zusätzlicher verborgener Dimensionen der Raum-Zeit, über deren Anzahl und Struktur noch spekuliert wird, so dass der Stellenwert der Substitution x₄ = ict letztlich noch offen ist.

Es soll um komplexe Zahlen gehen, und wir sehen hilflose Mutmaßungen darüber, was eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit mit komplexen Zahlen zu tun hat. Dann wird themenfremd erwähnt, dass die Mannigfaltigkeit womöglich mehr als vier Dimensionen haben kann.

Darüber hinaus ist die Mathematik der komplexen Zahlen derjenigen der reellen Zahlen hinsichtlich Eleganz und Abgeschlossenheit deutlich überlegen. So ist, um nur ein Beispiel zu nennen, jede komplex differenzierbare Funktion automatisch unendlich oft differenzierbar, anders als in der Mathematik der reellen Zahlen.

Der erste Teil ist POV, der zweite Teil gehört, wenn überhaupt, zur Funktionentheorie. Im Artikel ist er verfehlt (und ich fürchte mich vor Diskussionen, ob die Quaternionen nicht eleganter und abgeschlossener seien.

Diese Abschnitte sollten ersatzlos gestrichen werden. -- ZZ 17:56, 11. Sep 2006 (CEST)

Der Nutzen der ict-Substitution ist mir bislang verborgen geblieben, positiv definit wird die Form dadurch jedenfalls nicht. Das mag ein Physiker beantworten.

Das Blabla hat im Physik-Abschnitt natürlich nichts verloren, aber es ist schon ganz generell richtig, dass die reelle Analysis flexibler ist und infolgedessen auch mehr Pathologien zulässt. Und die Quaternionen mögen vieles sein, aber nicht elegant und abgeschlossen. Sie illustrieren alleine durch ihre Existenz noch einmal die Unvollkommenheit von R. Über C gibt es so etwas nicht.--Gunther 18:06, 11. Sep 2006 (CEST)

Ich stimme zu, dass der Abschnitt zur Relativitätstheorie einfach gelöscht werden sollte. Im zweiten Abschnitt würde ich nicht sagen, dass das POV ist: auch eine Wertung kann neutral sein. Kann IMHO so stehenbleiben. --P. Birken 11:43, 12. Sep 2006 (CEST)

Ich sehe die objektiven Kriterien nicht, nach denen das beurteilt werden soll. Ich persönlich halte die komplexen Zahlen bzw. deren Mathematik nicht für abgeschlossener und schon gar nicht für eleganter als die reellen Zahlen. -- ZZ 15:04, 12. Sep 2006 (CEST)

Abgeschlossenheit: Es gibt keine nichttrivialen algebraischen Erweiterungen, keine zentraleinfachen Algebren, keine Banachalgebren, die Körper sind. Eleganz ist natürlich schwerer zu messen, ein Anhaltspunkt könnte die Zahl der verschiedenen Möglichkeiten, um holomorphe Funktionen in einem Gebiet zu beschreiben, sein. Auch meromorphe Funktionen sind etwas, das "eigentlich funktionieren sollte", im Reellen aber scheitert.--Gunther 15:26, 12. Sep 2006 (CEST)

Sorry, aber irgendwie scheint ganz oben der Autor die Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie nicht verstanden zu haben. Grundannahme von Einstein: Die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist in jedem Intertialsystem die gleiche, d.h. für Koordinatentranformationen muss gelten:

$0=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-(ct)^{2}\;,$

Die Koordinatentranformationen, die obige Kegelstruktur invariant lassen, sind die Transformationen der Lorentzgruppe :$SO(3,1)\;,$ --Ralf Scholze 20:47 08. Sep. 2006 (CEST)

Komplexe Zahlen in der Physik II

Im Artikel steht:

Komplexe Zahlen spielen in der Grundlagenphysik eine zentrale Rolle. So passt insbesondere die mathematische Struktur der Quantentheorie exakt zur Struktur der komplexen Zahlenmathematik, die dort nicht wegzudenken ist. Sie findet dort Verwendung bei der Definition von Differentialoperatoren in der Schrödinger-Gleichung und der Klein-Gordon-Gleichung. Für die Dirac-Gleichung benötigt man eine Zahlbereichserweiterung der komplexen Zahlen, die Quaternionen. Alternativ ist eine Formulierung mit Pauli-Matrizen möglich, die aber die gleiche algebraische Struktur wie die Quaternionen aufweisen.

Der Abschnitt ist widersprüchlich. Zuerst wird behauptet, dass die mathematische Struktur exakt passt, und dann wird gesagt, wo und wieso das nicht stimmt.

Deswegen ist auch das folgende falsch, was als Wiederholung eh nicht in den Text gehört:

Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Natur und auch in der Mathematik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte. Die grundlegende Frage scheint fast weniger zu sein, warum die Quantentheorie so gut zu den komplexen Zahlen passt, sondern warum wir bei der physikalischen Beschreibung unserer Alltagswelt eigentlich so gut mit den reellen Zahlen auskommen.

Dass komplexe Zahlen entdeckt wurden, ist noch so ein Punkt.

Wenn Beispiele für die Verwendung von komplexen Zahlen, noch dazu im Alltag, gesucht werden, hilft die Elekrotechnik. Die Abschnitte oben scheinen die die Quantentheorie (und an anderer Stelle die Relativitätstheorie anzurufen), weil sie so bedeutungsschwanger sind.

Vorschlag: Löschung des Abschnittes in der bisherigen Form und Ersatz, wenn überhaupt, durch Bezug auf etwa Elektrotechnik. -- ZZ 18:04, 11. Sep 2006 (CEST)

Im oberen Abschnitt würde ich eigentlich nur den zweiten Satz löschen und den Rest grammatikalisch angepasst so stehen lassen. Der zweite Abschnitt ist eher Geschwafel, ja :-) --P. Birken 11:45, 12. Sep 2006 (CEST)

Der obere Abschnitt leitet nach Löschung des zweiten Satzes im wesentlichen auf die Quaternionen über. Das gehört nicht in diesen Artikel. -- ZZ 15:07, 12. Sep 2006 (CEST)

Die Quaternionen als solches nicht, eine Beschreibung der Grenzen der komplexen Zahlen und der Aushilfsmöglichkeiten schon. --P. Birken 16:45, 12. Sep 2006 (CEST)

Komplexe Zahlen in der Physik zum dritten

Ich schmeiße aus den oben genannten Gründen den ganzen Abschnitt raus. Der Abschnitt begann mal als Bezug auf „Naturphilosophie“ - wobei wohl die private Philosophie des Verfassers gemeint war - und mutierte irgendwann zu Physik.

Ich weiß (und akzeptiere) dabei, dass in der Diskussion einzelne Aussagen des Abschnitts verteidigt wurden. Sie rechtfertigen aber nicht die Existenz des Abschnitts (Beispiel: „größere“ Vollständigkeit) und lassen sich eher an anderen Stellen des Artikels anbringen. Hierbei sollte freilich berücksichtigt werden, dass der Artikel in seinem Endteil weiter überarbeitungs- und vor allem straffungsbedürftig ist. -- ZZ 18:51, 25. Sep 2006 (CEST)

Ich habe den Abschnitt entsprechend der obigen Diskussion überarbeitet. Dass Du den Abschnitt einfach gelöscht hast, finde ich unangebracht. --P. Birken 19:46, 25. Sep 2006 (CEST)

Ich habe ihn nicht „einfach“ gelöscht. Ich habe von Anfang an klar gemacht, dass es um die komplette Löschung ging (siehe oben).

Die Gründe waren Entstehungsgeschichte (Umwidmung von Naturphilosophie zur Physik), Widersprüche, Fehlaussagen und Wertungen. Die Kommentare, die hier fielen, waren nebenbei noch „Blabla“ und „Geschwafel“.

Du hast jetzt einen neuartigen Passus zu dem Thema Physik geschrieben. Berücksichtige dabei aber bitte, dass es wie beschrieben zu Überlappungen mit dem Rest der Artikels kommt (Stichwort: „angewandte“ Mathematik). Ich schlage abermals vor, diese Abschnitte zusammen zu fassen und zu straffen. -- ZZ 20:02, 25. Sep 2006 (CEST)

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik

So fügt man dazu beispielsweise in der komplexen Wechselstromrechnung willkürliche aber passende Imaginärteile in die reellen Ausgangsgleichungen ein, die man bei der Auswertung der Rechenergebnisse dann wieder ignoriert. Es handelt sich dabei lediglich um einen Rechentrick ohne philosophischen Hintergrund. Das stimmt so nicht. Die Differentialgleichungen für den Wechselstromkreis werden im Fourieraum komplex gelöst und die Ergebnisse dann verwendet. Man sieht es ja daran, dass komplexe Widerstände Frequenzabhängig sind. Meine Frage dazu ist, spielt das überhaupt eine Rolle? Ich finde aber, dass es so sehr "zufällig" und unfundiert klingt. Ich kenne keinen Grund, also gibt es auch keinen... -- daMatthis 18:55 02.10.2006 (CEST)

Willkürlich aber passend hat ein Komma zu wenig und riecht nach Widerspruch. Auch der Rest des Abschnittes klingt eigenwillig. Der Hinweis auf Überarbeitung ist leider entschwunden. Ich setze ihn abermals. -- ZZ 20:18, 4. Okt 2006 (CEST)

Umrechnung von der algebraischen Form in die Polarform

Wenn man zusätzlich eine Einheitssprungfunktion verwendet, die an der Stelle 0 den Wert 1 besitzt, also

$\Theta _{1}(x)={\begin{cases}0:&x<0\\1:&x\geq 0\end{cases}}$

so kann man auf eine explizite Fallunterscheidung verzichten:

$\varphi =\arg(z)=(2\Theta _{1}(b)-1)\cdot \arccos {\frac {a}{r}}$

--194.97.125.136 18:50, 16. Nov. 2006 (CET)

Wenn man schon mit den hässlichen Basteleien anfängt, dann sehe ich auch keinen großen Unterschied mehr zwischen $2\Theta _{1}(x)-1$ und $\mathrm {sgn} \,x+1-\mathrm {sgn} (x^{2})$ oder auch $\left\lfloor {\frac {2}{1+e^{-x}}}\right\rfloor$.--Gunther 17:44, 16. Nov. 2006 (CET)

Das Ergebnis mag das gleiche sein, aber es ist ein großer Unterschied im Rechenaufwand. Wenn man bei der Signumfunktion bleiben will, würde man besser $\mathrm {sgn} \,x+1-(\mathrm {sgn} \,x)^{2}$ verwenden, also

$\varphi =\arg(z)=(\mathrm {sgn} \,b+1-(\mathrm {sgn} \,b)^{2})\cdot \arccos {\frac {a}{r}}$

Es ist klar, dass die Fallunterscheidung letzten Endes nur verlagert wird, aber bei der Logarithmus-Formel wird die ganze arg(z)-Berechnung verlagert. --194.97.125.136 18:50, 16. Nov. 2006 (CET)

Wenn es Dir um den Rechenaufwand geht, dann ist eine Fallunterscheidung die beste Lösung. Alles andere ist Spielerei.--Gunther 18:54, 16. Nov. 2006 (CET)

Wenn irgendjemand diese Gleichung tatsächlich brauchen würde, dann stünde sie auch in gängigen Formelsammlungen und wäre damit belegbar.--Gunther 01:05, 17. Nov. 2006 (CET)

Gängige Formelsammlungen sind kein absoluter Maßstab dafür, ob eine Formel tatsächlich gebraucht wird. Beispielsweise stehen die Formeln mit dem Arkuskosinus noch nicht einmal in älteren Auflagen des Bronstein, und der ist unzweifelhaft eine sehr gängige und umfangreiche Formelsammlung. Trotzdem sind sie praktisch sehr nützlich. Ein anderes Beispiel ist die Formel mit dem Logarithmus. Sie steht im Artikel, nicht aber im Bronstein und ist praktisch auch nicht sehr nützlich. Für mathematische Formeln, die sich aus einfachen Umformungen auf Basis gesicherter Theorie ergeben und leicht überprüfen lassen, braucht man keine Quellenangabe als Beleg. Die wesentlichen Grundsätze in WP:TF sind 1) Theoriedarstellung, nicht Theoriefindung; 2) Grundsätzlich beruhen Artikel in der Wikipedia auf der Überprüfbarkeit der getroffenen Aussagen. Beide sind hier zweifellos erfüllt. --194.97.127.248 11:14, 17. Nov. 2006 (CET)

"die sich […] leicht überprüfen lassen" steht im Widerspruch dazu, dass Du selbst nach meinem Hinweis nicht dazu in der Lage warst, Deinen Fehler zu finden.--Gunther 14:51, 20. Nov. 2006 (CET)

Andererseits zeigt es, dass die Formel erwähnenswert und nicht ganz trivial ist, wenn selbst ich dabei einen Fehler gemacht habe. Außerdem hast Du zunächst nur gesagt, dass die erste Version der Formel falsch war, aber verschwiegen, warum. Man könnte übrigens statt dem Quadrat auch den Betrag nehmen, also

$\varphi =\arg(z)=(\mathrm {sgn} \,b+1-|\mathrm {sgn} \,b|)\cdot \arccos {\frac {a}{r}}$

Der Beweis sei dem Leser zur Übung überlassen ... --194.97.126.198 09:38, 21. Nov. 2006 (CET)

Eben diese Beliebigkeit ist ja das Problem. Wir können nicht selbst entscheiden, welche Formeln wichtig sind, welche Form die beste ist. Dafür brauchen wir externe Quellen, und wenn es keine gibt, dann ist die Formeln eben zu unwichtig, um hier erwähnt zu werden. Dein persönlicher Geschmack tut nichts zur Sache, genausowenig wie meiner.--Gunther 09:43, 21. Nov. 2006 (CET)

Ich betrachte die Formel als mathematische Formulierung eines Sachverhalts, und daher halte ich es weder für erforderlich noch für sinnvoll, für jede Formulierung eine Quelle anzugeben. Dann könnte man letztlich ja nur noch wörtlich abschreiben. M.E. sollte die WP-Gemeinschaft nach und nach gemeinsam selbst entscheiden, welche Formulierungen wichtig, nützlich oder verständlich sind. Die Formel mit dem Logarithmus halte ich in der von Dir überarbeiteten aktuellen Form $\log z=\log |z|+\mathrm {i} \cdot \arg z$ beispielsweise für gar nicht mehr wichtig, nützlich oder verständlich in einem Abschnitt mit Umrechnungsformeln von der algebraischen Form in die Polarform. --194.97.126.198 10:42, 21. Nov. 2006 (CET)

Sorry, aber mit Dir zu diskutieren, ist offenbar reine Zeitverschwendung.--Gunther 10:53, 21. Nov. 2006 (CET)

Vielen Dank fürs Gespräch. --194.97.126.198 11:01, 21. Nov. 2006 (CET)

cis-Funktion

Stammen die älteren Schreibweisen wie $cis$ nicht aus der Zeit, wo man mathematische Text noch mit der Schreibmaschine zu erstellte? Sollte man nicht einfach auf den Hinweis aus antiquierte Schreibweisen wie

$z=r\cdot \operatorname {cis} \,\varphi =r\cdot \operatorname {E} \,(\varphi )=r\,\angle (\varphi )\,,$

verzichten? Dürfte müßige Diskussionen ersparen. Kenne kein modeneres Lehrbuch, das diese Schreibweisen noch verwendet. --Ralf Scholze

Der Hinweis kann aber fürs Verständnis nützlich sein, wenn jemand eine solche Schreibweise beispielsweise in einem älteren Buch sieht. Außerdem kann die Schreibweise für handschriftliche Rechnungen als Abkürzung zweckmäßig sein. --194.97.126.198 10:48, 21. Nov. 2006 (CET)

Letzteres glaube ich kaum, denn $e^{i\varphi }$ schriebe ich blind (handschriftlich). --Ralf Scholze

Frage zu "vermöge"

Hallo, es gibt da eine Sache, die mich brennend interessieren würde, nämlich diese "Vermöge-Konstruktion" im Deutschen. Z.bsp. hier: "Vermöge der Eulerschen Identität sind Exponentialform und trigonometrische Form bedeutungsgleich und stellen alternative Schreibweisen für die Polarform dar." oder auch "Die rückgekoppelten Inhalte bestimmen das neue Folgenelement ki+m vermöge der XOR-Verknüpfung (Addition modulo 2), und dieses neue Folgenelement wird dann in die “hinterste“ Stelle des Schieberegisters eingespeist." Welche "Bedeutung", wobei mir natürlich schon klar ist, was damit ausgedrückt werden soll, hat "vermöge" in diesem Zusammenhang genau? MfG ein Unwissender...

Das DWDS sagt dazu: »vermöge /Präp. mit Gen./ veraltend auf Grund, wegen, durch: v. seiner Jugend konnte er die Strapazen besser überstehen; er machte einen Vorschlag, v. dessen wir unsere Arbeit besser einrichten können« --194.97.124.168 17:45, 25. Nov. 2006 (CET)

Ich wäre für's Ersetzen durch gängige Begriffe. Für ein Mathescript, das ohne Vorlesung nicht verstanden werden soll, ist das okay, aber hier find ich's 'n bißchen abgehoben. --Whispermane 16:23, 18. Mär. 2007 (CET)

Komplexe Zahlen in der angewandten Mathematik/ Die komplexen Zahlen in der Physi

Der Abschnitt klingt mit Worten wie wilkürlich eingefügt oder bei der Außwertung ignorieren nicht nur falsch, sondern ist es auch. Wenn man mit einfachen Worten, rechnen mit Wechselstrom in C erklären möchte, sollte man den Zusammenhang über sin herstellen. Wechselstrom ist als sin funktion darstellbar und sin als Komplexe Zahl. Außerdem gibt es kein Grund diese Beispiel zu nicht 'komplexen Zahlen in der Physik' hinzu zufügen, da Wechselstrom auch ein Teilbereich der Physik ist, selbst wenn E-Techniker es nicht so sehen. Das Gleiche gilt für die Fluiddynamik. 21:15, 05. Sep. 2007 (CET)

Auch "Rechenhilfe" ist irgendwie ein blöd gewähltes Wort. Ebenso könnte man sagen, natürliche Zahlen seien als Rechenhilfe beim Zählen von Obst hilfreich, um die komplizierten Zusammenhänge zwischen fünf Äpfeln und zehn Äpfeln besser darzustellen. Nur weil viele Menschen (mich inklusive) keinen intuitiven Zugang zu komplexen Zahlen haben, heißt das nicht, dass sie weniger die echte Welt repräsentieren als die reellen Zahlen. --Mudd1 14:09, 21. Okt. 2007 (CEST)

Arkustangens oder besser Arkuskosinus

Hallo! Ich habe Probleme beim Verständis des Abschnittes zur Umrechnung von der trigonometrischen Form zur Polarform. Dort ist ja als erstes Beispiel der Arkustangens angegeben, bei dem es viele Fallunterscheidungen gibt und der nur für ein begrenztes Intervall gültig ist. Ist es nicht sinnvoller direkt mit dem Arkuskosinus zu rechnen? (Dieser Eindruck wird bei mir durch den Abschnitt geweckt, es steht aber nicht explizit aufgeschrieben.) Oder braucht man den Arkustangens aus einem bestimmten Grund? --78.94.64.128 19:30, 28. Sep. 2007 (CEST) Korrektur: Ich meine natürlich von der algebraischen Form in die Polarform. (arg, dabei hab ich doch die Vorschau benutzt >.<) --78.94.64.128 19:35, 28. Sep. 2007 (CEST)

Rechenbeispiel Division

Beim Rechenbeispiel Division ist (glaube ich zumindest) in Fehler. Dort steht Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle (2+5i)/(3+7i)*(3-7i)/(3-7i)=(6+35)+(15i-14i)/(9+49)+(9i-49i)} ,müßte es nicht heißen $(2+5i)/(3+7i)*(3-7i)/(3-7i)=(6+35)+(15i-14i)/(9+49)+(21i-21i)$ ? Gruß Arne

Richtig! Hab's geändert. --Reseka 10:40, 22. Nov. 2007 (CET)