Irrationale Zahl

Eine irrationale Zahl ist eine reelle Zahl, die keine rationale Zahl ist. Der Begriff „Ratio“ ist dabei in der Bedeutung „Verhältnis“ gebraucht, nicht in der Bedeutung Vernunft. Eine irrationale Zahl ist dadurch gekennzeichnet, dass sie kein Verhältnis von ganzen Zahlen ist. Mit "irrational" aus dem alltäglichen Sprachgebrauch hat sie nichts gemein.

Definition

Eine reelle Zahl heißt irratial, wenn sie nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden kann (d.h. nicht als ${\frac {p}{q}}$ mit $p,q\in \mathbb {Z}$ und $q\neq 0$).

Im Gegensatz zu rationalen Zahlen, die als endliche oder periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können, sind irrationale Zahlen solche, deren Dezimaldarstellung nicht abbricht und nicht periodisch ist.

Es gibt zwei Typen von Irrationalzahlen:

• Algebraische Zahlen (etwa Wurzeln, z.B. ${\sqrt {2}}$, $1+{\sqrt[{3}]{5}}$) und
• Transzendente Zahlen (die Kreiszahl π = 3,14159..., die Eulersche Zahl e = 2,71828...).

Den Begriff der irrationalen Zahl führten die alten Griechen ein. Hippasos von Metapont, ein Schüler des Pythagoras, soll auf Befehl von Pythagoras ertränkt worden sein, nachdem Hippasos die Existenz irrationaler Zahlen (am Beispiel der Quadratwurzel aus 2) festgestellt hatte. Definitionen, die den heutigen Ansprüchen an Exaktheit genügen, gaben zuerst Georg Cantor und Richard Dedekind an.

Zahlen, deren Irrationalität geklärt ist

• Schon der Pythagoreer Archytas bewies die Irrationalität von ${\sqrt {\tfrac {m+1}{m}}}$ für natürliche Zahlen $m$. Der Beweis für den Fall ${\sqrt {2}}$ ist in Euklids Elementen überliefert (Euklids Beweis der Irrationalität der Wurzel aus 2). Den Satz des Archytas verallgemeinerte Euklid selbst in seiner Musiktheorie, in der er die Irrationalität beliebiger Wurzeln ${\sqrt[{n}]{(m+1):m}}$ bewies.

• 1761 bewies Johann Heinrich Lambert die Irrationalität von $\pi$
• Im Jahr 1979 bewies Apery die Irrationalität von

$\zeta (3)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}.$

• Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl $e$

• $e^{\pi }$ ist transzendent.

Zahlen, deren Irrationalität ungeklärt ist

Ob die Zahlen π + e und π - e irrational sind, ist noch unbekannt. Man kann aber leicht sehen, dass mindestens eine dieser beiden irrational sein muss; wenn nämlich beide rational wären, dann wäre auch ihre Summe 2π rational.

Es ist sogar für kein einziges Paar ganzer, von Null verschiedener Zahlen m und n bekannt, ob mπ + ne irrational ist. Bekannt ist jedoch, dass im Falle der Existenz rationaler Linearkombinationen der Wert ${\frac {m}{n}}$ einen konstanten Wert annimmt. Weiterhin ist unbekannt, ob 2^e, π^e, π^√2, π^π, e^e oder die Eulersche Konstante γ = 0,57721... irrational sind. Es erscheint jedoch sinnvoll, dies zu vermuten.

Die Überabzählbarkeit der irrationalen Zahlen

Die irrationalen Zahlen sind im Gegensatz zu den rationalen Zahlen überabzählbar. Grob gesagt heißt dies: Wenn man jeder natürlichen Zahl eine irrationale Zahl zuordnet, gibt es noch immer unendlich viele irrationale Zahlen, die keiner natürlichen Zahl zugeordnet sind. Dies ist bei den rationalen Zahlen nicht der Fall, siehe Cantors erstes Diagonalargument. Zum Beweis siehe Cantors zweites Diagonalargument.

Streng genommen wird dort die Überabzählbarkeit der Menge der reellen Zahlen $\mathbb {R}$ bewiesen. Da $\mathbb {R}$ sich nun disjunkt in die rationalen und die irrationalen Zahlen zerlegen lässt, die Menge der rationalen Zahlen aber „nur“ abzählbar unendlich ist, muss die Menge der irrationalen Zahlen überabzählbar sein.

Cantor hat weiter gezeigt, dass auch die Menge der algebraischen Zahlen, wozu alle Wurzelausdrücke gehören, noch abzählbar ist. Darüber hinaus gilt auch, dass die algebraische Hülle jeder abzählbaren Teilmenge der reellen oder komplexen Zahlen (solche Mengen können insbesondere auch aus transzendenten Zahlen bestehen) ebenfalls abzählbar ist, also sicher nicht alle reellen Zahlen enthält!