Diskussion:Regel von de L’Hospital

Ein gut erklärter mathematischer Beweis, warum die Regel gilt, wäre noch ganz nett! ImperatoM, 26.10.04

Ich hab mal einen Beweis eingefügt, so wie ich ihn kenne. Leider ist der für Grenzwerte mit ${\frac {\infty }{\infty }}$ nicht erschöpfend. Vielleicht kann hier jemand noch etwas ergänzen. Auf jedenfall ist das ganze für ${\frac {0}{0}}$-Grenzwerte nu recht plausibel. -- MLang 21:26, 15. Mär 2006 (CET)

Der Beweis wirkt nicht plausibel für nicht stetig differenzierbare Funktionen. Denn $lim_{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {f'(x_{0})}{g'(x_{0})}}$ gilt nur für stetig differenzierbare Funktionen. Daher herrscht im letzten Schritt ein Argumentationsloch. Für differenzierbare Funktionen, deren Ableitungsfunktion nicht stetig ist, folgt aus dem Beweis, der momentan angeführt ist, nur dass der Grenzwert gegen ${\frac {f(x_{0})}{g(x_{0})}}$ geht (falls existent). Ich bin mir unsicher, ob man die Behauptung des Lexikonbeitrags für diese Funktionen überhaupt gilt. Ich persönlich würde behaupten, dass nicht. Man sollte nachforschen, ob nicht die historische Regel auch so formuliert war.

Hier eine Frage aus Unkenntnis: Was bedeutet ${\overline {\mathbb {C}}}$? Kompaktifizierte Komplexe Zahlen? Ich kenne die Regel nur über Funktionen von reellen Zahlen in reelle Zahlen. Man sollte vielleicht die Funktionen mit Definitions- und Zielbereich klar definieren. MHuber 21.März 2006

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Schreibweise

Sollte man es nicht besser nach Regel von L'Hôpital verschieben? Stern !? 22:31, 2. Feb 2005 (CET)

Die selbe Frage habe ich hier (Diskussion:Guillaume François Antoine, Marquis de L'Hôpital) auch schon gefragt. Ebenso wie auf der Benutzerseite desjenigen, der den Artikel verschoben hat. Allerdings ohne Reaktion. --ElRaki ?! 22:44, 2. Feb 2005 (CET)

Nein, die Schreibweise ist so korrekt. Zu Lebzeiten des Herrn wurde das os noch nicht durch ô ersetzt. -- MLang 21:27, 15. Mär 2006 (CET)

Vollständigkeit

Es wir im Artikel erwähnt dass die Regel von de L'Hospital angewandt werden kann, wenn bei Grenzwerte gegen 0 gehen oder der Nenner gegen Unendlich.

Ich bin mir nicht ganz sicher aber, gilt sie nicht auch dann wenn beide Grenzwerte gegen Unendlich bzw. - Undendlich gehen?

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Sie kann in diesem Falle gelten, (z.B. bei lim exp(x)/x), möglicherweise aber auch überhaupt nicht weiterhelfen: lim exp(x)/exp(2x). --mat lechner 8. Jul 2005 14:19 (CEST)

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Die Darstellung erscheint im Vergleich zum entsprechenden Abschnitt im „Bronstein“ unvollständig. Da wird die Bernoulli-l'Hospitalsche Regel für Ausdrücke der Form ${\frac {0}{0}}$, ${\frac {\infty }{\infty }}$, $0\cdot \infty$, $\infty -\infty$, $0^{0}$, $\infty ^{0}$ und $1^{\infty }$ angewendet.

Zirkelschluss

Ich denke nicht, dass man $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$ mit dieser Regel berechnen kann, wie das im Moment im 2. Beispiel dargelegt wird, denn es ist

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x-\sin 0}{x-0}}=\sin '0$

Um die Regel von L'Hospital zu verwenden, muss man hier die Ableitungsfunktion des Sinus kennen, doch einen Wert gerade dieser berechnet man hier. Für mich ist das ein Zirkelschluss. --Ben g 14:13, 14. Sep 2006 (CEST)

Ich bin mir da nicht so sicher ob das wirklich so ist. Der Beweis der gezeigt wird geht über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, soweit ich das sehen kann bezieht sich dein Einwand auf einen der Beweisschritte, aber nicht auf den letzten. Ob das wirklich ein Zirkelschluss ist hängt wohl von der Art ab in der der Mittelwertsatz gültig ist, aber das muss ich mir wohl nochmal angucken. Die Regel von L'Hospital besagt eigentlich nur, dass $\lim _{x\to y}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to y}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ für den Fall dass g(y) = 0 und f(y) = 0 oder beide Funktionen einen unendlichen Wert annehmen. -- MLang 09:13, 19. Sep 2006 (CEST)

Ich sehe da kein Problem mit der Gültigkeit des Satzes in diesem Fall (gültig ist er ja), sondern ein Problem mit der Anwendbarkeit. Um den Satz anwenden zu können, muss man den Grenzwert, den man berechnet, schon kennen. --Ben g 12:38, 24. Sep 2006 (CEST)

Warum? den Grenzwert von $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$ kenn ich nicht, da sin 0 -> 0 und 0 -> 0 ;). Wendet man nun den Satz an erhält man, dass der Grenzwert auch beschrieben wird durch $\lim _{x\to 0}{\frac {\cos x}{1}}$ und das ist gleich 1. -- MLang 20:48, 24. Sep 2006 (CEST)

Dass es funktioniert, bestreite ich ja nicht. Der Punkt ist nur folgender: $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$ ist die Definition von $\sin '(0)=\cos(0)$. Aber gerade $\sin '(0)$ musst du kennen, denn sonst kennst du den Wert des Zählers nach der Anwendung L'Hospital nicht. D.h. um den Grenzwert mit L'Hospital bestimmen zu können, musst du ihn schon kennen. --Ben g 21:07, 24. Sep 2006 (CEST)

Ok, dann ist L'Hoptial im Endeffekt einfach nur unnötig, aber nicht falsch. Es gibt ja sicherlich einen Beweis für diese Ableitung. -- MLang 23:38, 24. Sep 2006 (CEST)

Den gibt es, zum Beispiel über die Taylor-Entwicklungen von Sinus und Kosinus. Ich meine aber, unterstellen zu können, dass man die Ableitung aber nicht kennt, wenn man diesen Grenzwert bestimmen muss, nur dann landen wir in einer erkenntnistheoretischen Diskussion, die uns hier nicht weiterbringt.

Können wir uns darauf einigen, dass dieser Grenzwert zumindest kein besonders gutes Beispiel für die Anwendung von L'Hospital abgibt, weil er sehr viel direkter bestimmt werden kann? --Ben g 01:09, 25. Sep 2006 (CEST)

Bedingungen für $f(x)\to {\infty },g(x)\to {\infty }$

Wenn ich den Forster und auch den Holdgrün richtig verstehe, dann muss nicht notwendig gefordert werden, dass der Funktionenquotient im zweiten Fall die Form ${\frac {\infty }{\infty }}$ hat, es muss ledeglich der Nenner ungleich Null sein, damit die Regel von de L'Hospital gilt. Die Grenzwerte müssen nur für den Fall ${\frac {0}{0}}$ gleich sein.

schwer verständlich für Schüler

meine Absicht war es, kurz die Regel von L'Hôpital zu rekapitulieren - allerdings finde ich die Form der Darstellung hier sehr schwer verständlich für Schüler. Deutlich besser geschieht es auf der englischen Wiki, wo die Einleitung eigentlich alles Wesentliche enthält... Vielleicht sollte man ähnlich auch hier vorgehen.

Im Artikel L'Hospital über die Person selbst ist eine ganz kurze und verständliche Erklärung enthalten, was die Regel eigentlich ist. Imho könnte man die durchaus auch in diesen Artikel übernehmen. Es ist aber mit fast allen mathematischen Artikeln in der (deutschen) Wikipedia so, als Schüler blickt man da sehr selten durch. Jussty 02:46, 31. Mai 2007 (CEST)

Ich hab jetzt mal versucht, den Artikel in diesem Sinne zu ändern. Hats was genutzt? -- Peter Steinberg 00:58, 4. Jun. 2007 (CEST)

Beschränkung aufs Wesentliche

Ich denke eine Darstellung ohne die einseitigen Grenzwerte wäre übersichtlicher:

$lim_{x->a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=lim_{x->a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

Wenn a und b Null- oder Polstellen von f bzw g sind.

Diese Darstellung wäre auch mathematisch sicher nicht weniger korrekt (im Zweifelsfall wären die Vorraussetzungen schäfer)

Entdecker

Vielleicht könnte jemand das einbauen: (en:L'Hôpital's rule)
The rule is believed to be the work of Johann Bernoulli since l'Hôpital, a nobleman, paid Bernoulli a retainer of 300₣ per year to keep him updated on developments in calculus and to solve problems he had. (Moreover, the two signed a contract allowing l'Hôpital to use Bernoulli's discoveries in any way he wished.)
Danke und Gruss, Saippuakauppias ⇄ 00:08, 14. Nov. 2007 (CET)

Wann existiert ein Grenzwert?

Sofern ich in Schule, Studium und Referendariat richtig aufgepasst habe, ist ein Grenzwert eine Zahl $x\in \mathbb {R}$. Wie kann man dann behaupten, dass für $\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty$ der Grenzwert „offensichtlich“ existiert? Wenn überhaupt kann man hier von einem uneigentlichen Grenzwert $\infty$ sprechen, welcher aber bei L'Hospital nicht gefragt ist! Gruß Axpde 13:58, 23. Nov. 2007 (CET)

Tja, dafür müsste man den Artikel schon lesen. Zitat unter "Präzise Formulierung": "oder beide bestimmt divergieren". Außerdem hast du durch deinen Edit das zweite Beispiel zerstört, welches eine Anwendung von L'Hospital war. Deswegen werde auch ich diesen Edit revertieren. --Tolentino 09:39, 26. Nov. 2007 (CET)

So, wie Du es jetzt formuliert hast, ist es auf jeden Fall besser, als es vor meinem edit war. Zu lesen, dass bei einer (egal ob bestimmt oder unbestimmt) divergenten Funktion der Grenzwert unendlich "existiert", ließ jedenfalls sich meine Fußnägel aufrollen. Selbst wenn man unter Heranziehung einer geeigneten Topologie plus und minus unendlich zur Menge der Reellen Zahlen "hinzufügt", so sollte man generell lieber von (bestimmter oder unbestimmter) Divergenz sprechen! Soweit d'accord?

Danke aber dafür, dass Du nicht stupide alles revertiert hast und zumind. meine Simplifizierungen beibehalten hast, vorher war die Argumentation nämlich in jedem Fall etwas wackelig! Gruß Axpde 16:52, 26. Nov. 2007 (CET)