Moment (Stochastik)

In der Statistik sind Momente Kenngrößen einer Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen. Sie entsprechen den Parametern der deskriptiven Statistik. Die Begriffe Erwartungswert, Varianz, Schiefe und Wölbung zur Beschreibung einer Funktion ergeben sich aus den sogenannten zentralen Momenten. Eine Verteilungsfunktion ist durch Angabe aller ihrer Momente bestimmt, falls diese existieren. Es gibt auch Verteilungen, deren Momente nicht existieren, wie z. B. die Lévy-Verteilung. Man unterscheidet gewöhnliche Momente, absolute, zentrale und das Moment um c.

Beispiel: Eine Normalverteilung ist beispielsweise durch ihren Erwartungswert und ihr zweites Moment festgelegt, da alle ungeradzahligen Momente verschwinden und die höheren geradzahligen Momente im direkten Zusammenhang zum zweiten Moment stehen.

Gewöhnliche Momente

Es seien $X$ Zufallsgröße, $k$ eine natürliche und $r$ eine reelle Zahl. Dann bezeichnet man als gewöhnliches Moment der Ordnung $k$ bezüglich $r$ (oder einfach als $k$-tes gewöhnliches Moment) den Erwartungswert der $k$-ten Potenz der auf $r$ "zentrierten" abgeleiteten Zufallsgröße:

$m_{k}(r)=\operatorname {E} \left(\left(X-r\right)^{k}\right)$

In theoretischen Untersuchungen werden mitunter auch Momente nichtganzzahliger Ordnung betrachtet.

Stetige Zufallsvariable

Bei einer stetigen reellen Zufallsgröße mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{X}$ ergibt sich damit:

$m_{k}(r):=\int _{-\infty }^{\infty }\left(x-r\right)^{k}f_{X}(x)\;\mathrm {d} x$

Diskrete Zufallsvariable

Bei einer diskreten reellen Zufallsvariable mit den Wahrscheinlichkeiten $p_{i}$ ergibt sich damit:

$m_{k}(r)=\sum _{i=1}^{\infty }(x_{i}-r)^{k}p_{i}$

Gewöhnliche Momente (k-ter Ordnung)

$m_{1}=\operatorname {E} (X)$

$m_{2}=\operatorname {E} (X^{2})=\operatorname {Var} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2}$

Hierbei bezeichnet $\operatorname {Var} (X)$ die Varianz von $X$.

Absolute Momente

$M_{k}(r)=\operatorname {E} (|(X-r)|^{k})$

bezeichnet man als k-tes absolutes Moment von $x$ in Bezug auf $r$.

Zentrale Momente

Die zentralen Momente setzen für $r$ den Erwartungswert $\operatorname {E} (X)$ selbst ein.

$\mu _{k}:=\operatorname {E} ((X-m_{1})^{k})$

Das zentrale Moment erster Ordnung ist gleich 0.

$\mu _{1}=0$

Das zentrale Moment zweiter Ordnung entspricht der Varianz.

$\mu _{2}(\mu )=\operatorname {E} ((X-m_{1})^{2})$

Das zentrale Moment dritter Ordnung entspricht nach Normierung (geteilt durch die dritte Potenz der Standardabweichung $\sigma ^{3}$) der Schiefe.

Das zentrale Moment vierter Ordnung entspricht nach Normierung der Wölbung oder Kurtosis. Schiefe und Wölbung werden oft als Maß der Abweichung von der Normalverteilung benutzt.

Moment und die charakteristische Funktion

Durch mehrfaches Ableiten der Formel für die charakteristische Funktion erhält man eine Darstellung der gewöhnlichen Momente durch die charakteristische Funktion als:

$\operatorname {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{i^{k}}}\quad (k=1,2,\dots )$

Moment um eine Konstante $c$

• das Moment um $c$ ($c$ : Konstante, $k$-ter Ordnung): $\operatorname {E} (x-c)^{k}$

Momente um Null

Wird $r=0$ angenommen, so spricht man von Momenten um Null, oder bezeichnet

$m_{k}=m_{k}(0)=\operatorname {E} ((X-0)^{k})=\operatorname {E} (X^{k})$

schlichtweg als das $k$-te Moment. Das $k$-te Moment kann mit der momenterzeugenden Funktion ermittelt werden.

Verbundmomente

Der Momentenbegriff lässt sich auch auf mehrere Zufallsvariablen erweitern. Im Falle z. B. zweier Zufallsvariablen $X$ und $Y$ sind die zentralen gemeinsamen Momente (engl. joint moments) von $X-\eta _{X}$ und $Y-\eta _{Y}$

$\mu _{kr}=\operatorname {E} \left((X-\eta _{X})^{k}(Y-\eta _{Y})^{r}\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }(x-\eta _{X})^{k}(y-\eta _{Y})^{r}f_{xy}(x,y)\,\operatorname {d} x\operatorname {d} y$

mit $\eta _{X}=\operatorname {E} X$ und $\eta _{Y}=\operatorname {E} Y$.

Es wäre dann $\mu _{11}$ gerade die Kovarianz von $X$ und $Y$.

Literatur

• Athanasios Papoulis, S. Unnikrishna Pillai: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Publishing Co.; 4Rev Ed edition (2002), ISBN 0-07-366011-6.