Pythagoreisches Tripel
Ein pythagoreisches Tripel (auch: pythagoräisches Tripel) ist eine Gruppe von drei ganzen Zahlen, für die die Gleichung des Pythagoras gilt:
Das einfachste pythagoreische Zahlentripel ist (3,4,5), aber auch alle Vielfachen davon (6,8,10), (9,12,15), ... sind pythagoreische Tripel. Es gibt aber noch viel mehr. Wie man leicht nachrechnet, gilt die Gleichung: . Variiert man nun u und v, so erhält man noch andere Tripel als die eben durch (3,4,5) beschriebenen.
Mit pythagoreischen Tripeln befasst sich die Zahlentheorie. Schon der griechische Mathematiker Diophant hat sie untersucht.
Primitive pythagoreische Tripel
Ein primitives pythagoreisches Tripel ist ein pythagoreisches Tripel, bei dem die drei Zahlen teilerfremd sind. Primitive pythagoreische Tripel enthalten immer zwei ungerade Zahlen und eine gerade. Mit den drei binomischen Formeln lässt sich leicht zeigen, dass man beliebig viele primitive pythagoreische Tripel erzeugen kann, wenn man irgendein Paar von teilerfremden Zahlen m und n wählt und daraus a = m² - n², b = 2·m·n und c = m² + n² bestimmt:
Beispiele:
| m=2; n=1 | => | a=3 | b=4 | c=5 | |
| m=3; n=1 | => | a=8 | b=6 | c=10 | Vielfaches von oben |
| m=3; n=2 | => | a=5 | b=12 | c=13 | |
| m=4; n=1 | => | a=15 | b=8 | c=17 | |
| m=4; n=3 | => | a=7 | b=24 | c=25 | |
| m=5; n=2 | => | a=21 | b=20 | c=29 | |
| m=6; n=1 | => | a=35 | b=12 | c=37 |
Sind m und n beide ungerade, kann sich kein primitives pythagoreisches Tripel ergeben, da dann a, b und c gerade sind.
Fermat'sche Tripel
Die pythagoreischen Tripel sind eine Besonderheit der Quadratzahlen: Der Große fermatsche Satz besagt, dass es keinen anderen ganzzahligen Exponenten n gibt, für den mit den ganzen Zahlen a, b und c gilt:
Solche Zahlen nennt man auch Fermat'sche Tripel. Nach dem Theorem existieren also für ganzzahlige n>2 keine solchen Tripel.
Weblinks
- Unter http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/pythtripel.html findet sich Vertiefendes und auch einige Beweise.
- Pythagoreische Tripel