Diskussion:Differentialrechnung

Die Summen- und Differenzregel sind doch eigentlich das gleiche! [moino]

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In gewissem Sinne finde ich, das Auf diesen Seiten (Analysis, Differentialrechnung, ... ) die Mathematik getötet wird. Sie wird, wie im Bronstein und Bartsch kategorisiert und Schubladen gestellt. Man kann die Formeln bestaunen, aber keiner ist Da, der das tut. Reines Papier.

Wie eine Programmiersprache, die irgendein hochgebildeter Mensch durchanalysiert und in ihre Bestandteile zerpflückt hat.

Nur wenn man das Ganze sieht, und ausprobiert hat, kann man es wirklich schätzen. Kopfschüttel!

arbol01 viel zu spät, 5. März 2004

Wenn du Vorschläge hast, wie diese Artikel verbessert werden können, dann schreib sie auf. Falls sie sich sehr weit vom bisherigen Aufbau der Artikel unterscheiden, tue das lieber erst auf der zugehörigen Diskussionsseite, aber hilf mit, die Artikel zu verbessern, wenn du kannst. --SirJective 12:05, 5. Mär 2004 (CET)

Zumindest kann ich jetzt schon sagen, daß es zwei Seiten gibt, nämlich Differentialrechnung und Ableitungsregeln, die nicht redundant sind. Ansonsten werde ich mal versuchen, was ich kann. --arbol01 12:19, 5.März 2004

Warum gilt d/dx ax^n = anx^(n-1) nur für n ≠ 0? Nach meiner Rechnung ist x^0=1 => ax^n=a => d/dx ax^n = an[x^(n-1)] = a · 0 · x^-1 = 0, was mit der ersten Regel übereinstimmt! -- Jan G 04:17, 22. Mai 2004 (CEST)

Exzellenter Artikel

Wenn das ein exzellententer Artikel werden soll, müsste man bei den Ableitungsregeln aber alles in TeX schreiben, sonst sieht das aus wie Kraut und Rüben. --Philipendula 17:26, 30. Aug 2004 (CEST)

Ich bin absolut dafuer, dass das ein exzellenter Artikel wird. Und das wird schon :-) --DaTroll 17:28, 30. Aug 2004 (CEST)

Wikipedia:Kandidaten für exzellente Artikel (19.-31.) August

• pro Ich bin auf diesen Artikel gestoßen und habe mich sehr gefreut. Das (für mich jedenfalls sehr) schwierige Thema ist anschauchlich dargestellt und gut erklärt. Dafür möchte ich den Autoren danken! --Larus1 18:13, 19. Aug 2004 (CEST)

• pro Ich find ihn gut. Trotzdem hab ich noch ein paar kleinere Mängel: die Grafiken find ich ein wenig pixelig und ein paar praktische Anwednungsfälle aus dem täglichen Leben wären ganz nett, so daß das Thema nicht ganz so esoterisch ist. --Huebi 08:53, 20. Aug 2004 (CEST)
• contra: der mathematische Teil gefällt mir eigentlich schon sehr gut, aber ein paar Dinge hängen noch in der Luft.
  Mathematik: der Zusammenhang mit der Integralrechung ist nicht mal erwähnt!
  Geschichte: Wann wurde das Konzept entwickelt? Wie kann es sein, dass es einen lange und erbittert geführten Streit um die Urheberschaft gibt? Ist die Differentialrechung aus dem Nichts entstande, das heißt hat niemand vor Newton/Leibniz sich mit diesem Problem beschäftigt?
  Anwendung: Warum hat die D. so eine große Bedeutung, auch außerhalb der Mathematik? Der kurze Satz zur "Ableitungen nach der Zeit" ist da entschieden zu wenig - der ganze physikalische Formalismus hätte sich ohne dieses Konzept nicht entwickeln können! Auch Optimierungsaufgaben sind eine weitverbreitete Anwendung, die m.E. auf alle Fälle rein muss.
  Literatur: es gibt also nicht ein einziges Buch, in dem man das Konzept detaillierter nachlesen kann ;-) -- srb 13:14, 20. Aug 2004 (CEST)
• contra. zusätzlich zu den von srb genannten punkten noch folgende:
  • die jahrhundertelange verwirrung um die "unendlich kleinen" dx und dy wird nicht erwähnt (nicht mal Infinitesimalrechnung war verlinkt, habe das nachgeholt - dort steht allerdings auch kaum was dazu)

ah, habe noch entdeckt, dass das bei Infinitesimalzahl behandelt wird - also wenigstens darauf verlinken. Hoch auf einem Baum 18:25, 20. Aug 2004 (CEST)

• • der haupttext fängt einfach so an mit Die Funktion f heißt differenzierbar..., ohne zu erklären, was eine funktion f hier genau ist (der in der einleitung verlinkte artikel Funktion (Mathematik) ist allgemein gehalten und leistet das nicht) - das ist sowohl für den absoluten laien wichtig als auch andererseits für die mathematische genauigkeit (wie muss der definitions- und wertebereich sein, etc)
  • anwendungen, anwendungen (nicht nur die geschwindigkeit in der physik. ich habe zb mal gelesen (im lehrbuch von heuser, weiß nicht, ob es korrekt ist), dass das problem der konstruktion von optischen linsen ein wesentliches motiv für leibniz war - um das brechungsgesetz auf linsenoberflächen anzuwenden, muss man tangenten berechnen können)
  • der abschnitt Differenzialquotient erweckt den eindruck, als hätte newton mit grenzwerten gearbeitet, das ist so schlicht falsch
  • und schließlich: die rubrik heißt "exzellente artikel" und dieser artikel behandelt eines der enzyklopädisch wichtigsten gebiete der mathematik überhaupt. ohne die leistung der autoren schmälern zu wollen (der mathematische teil ist sehr solide): für "exzellenz" bräuchte es hier schon wesentlich mehr inhalt und einen gewissen "wow"-faktor, der im moment einfach fehlt. grüße, Hoch auf einem Baum 16:42, 20. Aug 2004 (CEST)
• pro, umfassend und anschaulich, bebildert und mit Literatur. So muss es sein. Stern !? 11:30, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Geschichte und Anwendungen faktisch nciht vorhanden, mathematischer Teil weitgehend unkommentiert aus einer Aneinanderreihung von Formeln und (zugegeben exzellenten) Grafiken bestehend. Die Artikel Satz des Pythagoras, Goldener Schnitt und Kreiszahl sollten m.E. der Maßstab sein, an dem sich dieser Artikel messen lassen muß. -- Necrophorus 11:54, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Es wird sehr gut erklärt, was die Ableitung ist. Die Bedeutung und die Geschichte werden aber nicht klar. --DaTroll 20:57, 22. Aug 2004 (CEST)
• contra: Ich zweifle nicht daran, dass der Artikel fachlich für einen angehenden Mathematiker sehr brauchbar sein mag und die zahlreichen Illustrationen mögen auch die Formeln illustrieren; für mich ist der Artikel aber unverständlich und unbrauchbar. Nach ein paar recht abstrakten einleitenden Worten kommt gleich eine wuchtige Formel, die nicht so erklärt wird, dass ich sie verstehen würde, vom "Oma-Test" und dem Rest des Artikel mal ganz zu schweigen. Ketzerisch gesagt: Mich interessiert der ganze Formalkram nicht die Bohne, ich will nur wissen -- in einfachen Worten ausgedrück --, was das Wesen der Differenzialrechnung ist und wie und wo sie benutzt wird. Differenzialgleichungen sind ein Schlüsselbegriff der Technik und Naturwissenschaft seit dem 19. Jahrhundert, und da wüsste ich gerne warum. Auch die Geschichte fehlt, also wer wann was mit Differenzialen gemacht hat, welche (Allerwelts-) Probleme damit gelöst wurden und nochmal: warum die Dinger so wichtig sind. --asb 16:32, 31. Aug 2004 (CEST)

Sorry, da muss ich vehement widersprechen. Der Artikel bewegt sich auf dem Niveau der gymnasialen Oberstufe. Dein Kapitel ist das ueber "Motivation". Das ist naemlich gleich ein ganzes Kapitel (so zwei Bildschirmseiten...) zur Erklaerung der Definition. Bei allem anderen muss ich Dir Recht geben. Viele Gruesse --DaTroll 16:49, 31. Aug 2004 (CEST)

• contra: auch nachdem ich erhebliche Arbeit in den Artikel gesteckt habe, sehe ich uns noch ein gutes Stück von Exzellenz entfernt. Da sich bisher keineswegs eine Mehrheit pro abzeichnet, erlaube ich mir, die Kandidatur zu beenden (habe keine Regel gefunden, wie das normalerweise läuft). Nach weiterer Verbesserung können wirs dann gerne nochmal probieren. -- Weialawaga 23:44, 31. Aug 2004 (CEST)

stetig differenzierbar

Ich denke das der Begriff stetig differenzierbar und vorallem das Beispiel für eine nicht stetig differenzierbare Funktion zu speziell für eine Einführung in Differenzialrechnung sind und deshalb in einen eigenen Artikel (stetig differenzierbar) augelagert werden sollten. Beziehungsweise könnte man das auch in den Artikel differenzierbar verschieben. MFG Stefanwege 22:44, 30. Aug 2004 (CEST)

Ja, so langsam wird der Artikel voll. Man könnte schon was in "stetig differenzierbar" auslagern. Noch würde ich aber lieber den hier erweitern. Das Beispiel ist sehr klassisch und kann auch verständlich erklärt werden. Prinzipiell haben die Bearbeiter von "differenzierbar" übrigens gepennt: das hätte ein Redirect auf den Artikel hier werden müssen. Im Moment ist die Struktur einfach so, daß alles (bis auf Partielle Ableitung hier erklärt werden soll. Viele Gruesse --DaTroll 23:18, 30. Aug 2004 (CEST)

Logarithmische Differentiation

Fehlt bei den Ableitungsregeln nicht noch die Logarithmische Ableitung für solche Scheußlichkeiten wie

$f(x)=(1-x)^{1+x^{2}}$ ?

--Philipendula 09:55, 1. Sep 2004 (CEST)

Die logarithmische Ableitung ist vielleicht erwähnenswert; man kann Dein Beispiel, umgeformt in exp( ln(1-x) * (1+x^2) ) aber auch Schritt für Schritt mit bisher schon genannten Techniken lösen: Ableitung elementarer Funktionen (exp, ln) nachschlagen, Kettenregel und für die innere Ableitung Produktregel. Was aber definitiv fehlt, ist, dass im Text ein solches Beispiel (vielleicht kein ganz so gemeines Beispiel) explizit vorgerechnet wird. -- Weialawaga 10:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Also eines muss man Dir lassen: Delegieren kannst Du. Wie wäre es beispielsweise mit:

Funktionen der Art $y=f(x)^{g(x)}$ können mit herkömmlichen Ableitungsregeln nicht unmittelbar gelöst werden. Das folgende Beispiel zeigt eine mögliche Vorgehensweise:

Es soll die Funktion $y=x^{x}$ abgeleitet werden. Es gilt zunächst $x^{x}=\exp {(lnx^{x})}=\exp {(xlnx)}$. Man ermittelt die Ableitungsfunktion nun wie folgt:

${\frac {d\exp {(xlnx)}}{dx}}=\exp {(x\ln {x})}(1\cdot \ln x+x\cdot {\frac {1}{x}})=\exp {(x\ln x)}(\ln x+1)=(\ln x+1)x^{x}$,

wobei zunächst bei der Exponentialfunktion die Kettenregel exp'(g(x))= exp(g(x))*f'(x) angewandt wurde und f'(x) mit der Produktregel ermittelt wurde.

Lies es mal bitte kritisch quer, weil ich es mal eben so ausgedacht hatte. Die Demonstration könnte vielleicht noch etwas umständlicher sein.

Viele Grüße --Philipendula 14:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Mir scheint, dass speziell hier die volle Regel leichter nachzuvollziehen ist als ein Beispiel mit dem atypischen Fall g=h=x. Als Beispiel für die Anwendung von Ableitungsregeln schwebt mir eher etwas harmloses wie exp(-x^2) vor. Aber das soll definitiv kein Arbeitsauftrag an Dich sein ;-) -- Gruß, Weialawaga 15:45, 1. Sep 2004 (CEST)

Das exp(-x^2) hat aber eigentlich nix mit der logarithmischen Ableitung zu tun und kann ja normal mit der Kettenregel gelöst werden. Eklig sind immer die "x hoch x"-Fälle. Möchtest Du einfach beliebige Beispiele? --Philipendula 18:03, 1. Sep 2004 (CEST)

Ich hoffte, x^x sei durch g^h adäquat versorgt. -- Weialawaga 18:38, 1. Sep 2004 (CEST)

Um daran zu erinnern, dass es hier an weit mehr als an hübsch durchgerechneten Beispielen fehlt, hier ein paar Ideen: Zerlegung der Ableitungs- und Stammfunktionentabelle in zwei Tabellen und Einarbeitung in die Artikel Differential- und Integralrechnung; Verallgemeinerungen auf >1 Dimensionen (Verknüpfung mit Vektoranalysis usw.); Verknüpfung mit Differentialgleichungen; weitgehende Überarbeitung von Integralrechnung; Renovation von Infinitesimalrechnung; ... Weialawaga 18:38, 1. Sep 2004 (CEST)

Das mit den Beispielen war Deine Idee! ;-) Um was handelt es sich bei "Zerlegung der Ableitungs- und Stammfunktionentabelle in zwei Tabellen"? --Philipendula 18:48, 1. Sep 2004 (CEST)

Ableitung als Artikelname

Meiner Meinung nach ist Ableitung der Zentrale Begriff dieses Artikels und sollte deswegen auch der Name des Artikels werden. Genauer: "Ableitung (Mathematik)" . Differentialrechnung kommt bis auf die einleitenden Sätze überhaupt nicht im Artikel vor. Stefanwege 18:33, 1. Sep 2004 (CEST) Ich werde gleich auch noch einen Löschantrag für den Artikel Ableitung (Mathematik) stellen (ist derzeit ein Verweis auf Differentialrechnung) damit der Artikel sammt seiner Diskussionseite verschoben werden kann. Stefanwege 18:36, 1. Sep 2004 (CEST)

Spontane Reaktion: lass uns bittschön versuchen, die Verweisstruktur rund um Ableitung und Diff.rechnung auf der Diff.rechnungs-Disk.seite zu klären und nicht per Löschantrag. Löschantrag zieht jede Menge Leute an, die Streit um des Streits willen suchen. Falls wir uns auf Verlagerung des Textes einigen, kopieren wir ihn an Stelle des bisherigen Redirects; das geht ohne vorherige Löschung. Deshalb die eindringliche Bitte: verzichte auf den Löschantrag, oder baue ihn zurück, falls Du ihn schon gestellt hast. Danke, Weialawaga 18:42, 1. Sep 2004 (CEST)

Ok ich hab den Löschantrag erstmal wieder herrausgenommen. Aber nur den Text zu kopieren finde ich nicht ok da dann die Versionsgeschichte verloren geht (Verstoß gegen GNU-Lizenz) und die Diskussionsseite nicht mitverschoben wird. Vielleicht sollte man mal einen Admin direckt ansprechen. --Stefanwege 19:00, 1. Sep 2004 (CEST)

Disk.seite kann man von Hand verschieben. Einwand betr. Versionsgeschichte scheint mir dagegen sehr bedenkenswert. Aber erstmal abwarten, ob wir überhaupt verschieben wollen. -- Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Auf der Versionsgeschichte vonn Differtialrechnung verliert man langsam den Überblick. Es wäre übersichtlicher wenn du demnächst mehrere kleine Änderungen zu einer großen zusammenfaßt. Stefanwege 18:53, 1. Sep 2004 (CEST)

Sorry: "Vorschau" klappt bei mir nicht; und mein Arbeitsstil ist nun einmal eher sprunghaft (andernfalls täte ich jetzt etwas ganz anderes und gar nix mehr für die WP). Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Nun eine inhaltliche Stellungnahme: ich verstehe das Argument pro höchstfrequentes Schlagwort. Ein anderer Gesichtspunkt aber scheint mir ausschlaggebend: Differentialrechnung ist der übergeordnete Begriff. Alles was wir zur Ableitung zu sagen haben, passt auch unter die Überschrift "Diff.rechnung"; die Umkehrung aber gilt nicht. Z.B. erwarte ich unter Ableitung nicht unbedingt Beispiele für Funktionen, die *nicht* differenzierbar sind. Deine Anregung, das Schlagwort Ableitung schon im Vorspann zu nennen und kurz zu erklären, befürworte ich hingegen, und Deine Erklärung gefällt mir sehr gut. Weialawaga 19:15, 1. Sep 2004 (CEST)

Das Argument, das Wort "Differentialrechnung" komme im Text so gut wie nicht vor, versuche ich durch eine Analogie zu entkräften: wenn ich versuche, zu erklären, was Mechanik ist, rede ich alle Nase lang von "Kräften", aber nicht von "Mechanik". - Um zu erklären, was Differentialrechnung ist, ist "Differentialrechnung" das denkbar unbrauchbarste Wort. -- Weialawaga 19:40, 1. Sep 2004 (CEST)

Für mich ist Ableitung der grundlegendere Begriff. Differentialrechnung kann (und sollte) man erklären als das Teilgebiet der Mathematik das sich mit Ableitungen beschäftigt. Man kann also den Begriff Differentialrechnung auf den Begriff Ableitung zurückführen. Umgekehrt braucht man aber um Ableitung zu erklären den Begriff Differentialrechnung nicht zu verwenden. Aus diesem Grund bin ich immer noch der Meinung das der Artikel Ableitung heißen sollte.

PS: Eine Funktion die nicht differnzierbar ist, ist eine Funktion die keine Ableitung besitzt. Es mach meiner Meinung nach also durchaus Sinn in einem Artikel über Ableitungen etwas über nicht differezierbare Funktionen zu schreiben. --Stefanwege 12:00, 2. Sep 2004 (CEST)

Also ob Ableitung oder Differentialrechnung der grundlegendere Begriff ist, halte ich fuer eine muessige Diskussion. Letztendlich unterscheiden sich die Sachen nicht. Mir persoenlich gefaellt der aktuelle Artikelname besser, das betont irgendwie die tatsaechliche Anwendung. Die Alternative Ableitung (Mathematik) gefaellt mir vor allem wegen des Klammerzusatzes im Namen nicht. Differentialrechnung ist ferner mittlerweile als die Adresse bekannt, wo man die Ableitung findet, wie ein Blick auf die Links auf diese Seite zeigt. Viele Gruesse --DaTroll 13:14, 2. Sep 2004 (CEST)

Ungenauigkeiten und daher evtl. Verständnisschwierigkeiten

Hallo zusammen!

Hab eben mal den Beitrag zur Differentialrechnung angesehen und dabei ist mir folgendes aufgefallen:

1. Bei Differentiation wird grundsätzlich vergessen, daß die Funktion zumindestens in einer offenen Umgebung der untersuchten Stelle x_0 definiert sein sollte. Ausdehnung des Differentiationsbegriffs auf den Rand kann dann auch noch erwähnt werden. Zumindest muß die Funktion aber NICHT, wie bei "Ableitungen von mehrdimensionalen Funktionen" behauptet (unten) eine Funktion von ganz R^n sein (das wäre außerordentlich schlimm), und kann aber andererseits auch nicht nur in dem einen zu untersuchenden Punkt definiert sein (so klingt es bei euch oben) (Stichwort: Häufungspunkt).

2. Es könnten die Funktionenklassen C^k(R^n,R^N) erwähnt werden. Denn oft wird z.B. geschrieben: Sei f \in C(R^n), anstatt: Sei f:R^n -> R eine stetig diff-bare Funktion. Diese Klassen werden also vielen begegnen.

3. Glattheit bedeutet nicht immer unendlichoft diff-barkeit, sondern kommt auf den Kontext an. Oft werden Funktionen einfach als "hinreichend glatt" angenommen bzw vorrausgesetzt.

4. Eine Ungenauigkeit, die gerade Anfängern oft erhebliche Probleme bereitet, ist: Die von Euch gegebenen Definitionen von Diffbarkeit im ein- und mehrdimensionalen stimmen scheinbar nicht ganz genau überein. Mal muß es einen Limes in R geben, also eine reelle Zahl, gegen die der Differenzenquotient konvergiert und mal eine Lineare Abbildung. Das liegt natürlich daran, daß die R-Algebren Hom(V,W) und Mat(n x m) isomorph sind, ein Isomorphismus läßt sich bei Wahl von Basen leicht angeben. Jede lineare Funktion läßt sich nach Wahl von Basen durch Mult mit einer Matrix darstellen und im eindimensionalen dann eben mit Multiplikation mit einer reellen Zahl. Und umgekehrt. Darauf sollte zumindest hingewiesen werden, denn man kommt schnell in Verwirrung, wenn man als Anfänger hört:

- Die Ableitung ist immer linear. (Gemeint ist NICHT die Ableitungsfunktion, sondern die Ableitung an einer Stelle, und zwar in der Definition, wie ihr sie bei "Totale Differenzierbarkeit" mit L bezeichnet habt.)

oder

- stetig diff-bar bedeutet, daß die Ableitungsfunktion diff-bar ist. (Dies ist natürlich auch für von euch unten genannte Definition von "Totale Differenzierbarkeit" gültig: Dann ist die Ableitungsfunktion eben eine Funktion, die jedem Element aus R^n eine lineare Abbildung von den gleichen Räumen wie die Funktion selbst zuordnet, also etwa f: R^n -> R^N, dann f': R^n -> Hom(R^n,R^N), und Hom(R^n,R^N) versehen mit Operator-Norm (sonst gibt's keine Stetigkeit).)

5. Der Fall von Funktionen von R -> R^n ist vielleicht als Sonderfall in einem Satz erwähnbar, da dann die Differenzialquotienten-Definition vom eindimensionalen Fall genau übernommen werden kann.

6. Der Fall von Funktionen von R^n -> R ist vielleicht auch als Sonderfall erwähnbar, da hier auch "Funktionsdiskussion" mit Extremstellen, Sattelpunkten etc., Taylor-Entwicklung. Die Ableitungen sind hier gerade die Elemente des Dualraums und die Gradienten daher dann die Riesz-Vektoren, etc.

7. Auch der Begriff Jacobi-Matrix gehört doch eigentlich kurz erwähnt, wenn man schon totale Diff-barkeit erwähnt. Das ist es doch schließlich, womit die meisten Anwender von Differentialrechnung (z.B. Wirtschaftswissenschaftler, etc.) eigentlich rechen.

Ich könnte mir vorstellen, daß man mit wirklich WENIGEN Zeilen mehr in dem Artikel die von mir genannten Punkte berücksichtigen könnte und deshalb vielleicht auch sollte. - Bis auf den Punkt 6 eventuell: Der könnte etwas mehr Platz in Anspruch nehmen, falls man das überhaupt möchte.

Vielleicht gibt mein Kommentar ja ein paar Anregungen oder Ideen. Jedenfalls viel Spaß noch und weiter so! ;-) Gruß!