Satz des Thales

Thaleskreis

Der Satz des Thales ist ein Satz der Geometrie. Er wird oft so wiedergegeben:

Jeder Winkel im Halbkreis ist ein rechter.

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Der Satz war in empirischer Form schon den Ägyptern und Babyloniern bekannt. Der erste Beweis wird dem griechischen Mathematiker und Philosophen Thales von Milet zugeschrieben.

In mathematischer Sprache lautet der Satz:

Sind A,B,C Punkte auf einem Kreis und bildet die Strecke AC einen Kreisdurchmesser, so ist der Winkel ABC rechtwinklig.

Die Umkehrung gilt ebenso:

Ist ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypothenuse AC und schlägt man einen Kreis um AC, so dass AC ein Kreisdurchmesser ist, so liegt der Punkt B auch auf dem Kreisbogen.

Beweis

Zum Beweis werden zwei ebenfalls von Thales bewiesene Sätze benötigt:

1. Die beiden Winkel an der Grundseite eines gleichschenkligen Dreiecks sind gleich.
2. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180^o.

Diagramm zum Beweis

Sei ABC ein Dreieck in einem Kreis mit AC als Kreisdurchmesser. Dann ist der Mittelpunkt M der Strecke AC auch Kreismittelpunkt. Die Strecken AM, BM und CM sind also gleich dem Radius r.

Damit sind die Dreiecke AMB und CMB jeweils gleichschenklig. Die Winkel an der Grundseite sind daher jeweils gleich ($\alpha$ und $\beta$ in der Abbildung).

Die Summe der beiden Winkel an M ist 180^o:

$\gamma +\delta =180^{o}$

Die Winkelsumme in den Dreiecken AMB und CMB ist - wie in jedem Dreieck - 180^o:

$\gamma +2\alpha =180^{o}$

$\delta +2\beta =180^{o}$

Addiert man diese Gleichungen und zieht die erste Gleichung ab, so erhält man:

$\gamma +2\alpha +\delta +2\beta -(\gamma +\delta )=180^{o}$

$2\alpha +2\beta =180^{o}$

und damit

$\alpha +\beta =90^{o}$

Dies ist aber genau der gesuchte Winkel im Punkt B.

Verallgemeinerung

Verallgemeinerter Satz des Thales

Außerdem gilt für beliebige Dreiecke:

Sind A,B,C Punkte auf einem Kreis mit dem Mittelpunkt M, so ist der Winkel AMC doppelt so groß wie der Winkel ABC.