Riemannsche Vermutung

Die riemannsche Vermutung oder riemannsche Hypothese ist eine Annahme über die Nullstellen der Zeta-Funktion, die besagt, dass alle Nullstellen dieser oszillierenden Funktion den Realteil $1/2$ besitzen.

Zeta-Funktion

Die Grundlage für die riemannsche Vermutung bildet die Zeta-Funktion, die als unendliche Reihe dargestellt werden kann:

\zeta (z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{z}}}\qquad (z\in \mathbb {C} \ und\ Re(z)>1)

,

wobei $Re(\cdot )$ der Realteil ist. Man beachte, dass diese Reihendarstellung nur für $Re(z)>1$ gilt. Die Zeta-Funktion besitzt jedoch eine eindeutige analytische Fortsetzung; mit Hilfe dieser Fortsetzung kann man die Zeta-Funktion für alle $z\not =1$ definieren. In Punkt $z=1$ besitzt die Funktion einen einfachen Pol. Damit ist insgesamt die Zeta-Funktion als meromorphe Funktion definiert mit dem einzigen Pol in $z=1$ .

Die Zeta-Funktion ist auch als Integral darstellbar (diese Darstellung gilt jetzt für alle $z\not =1$ ):

\zeta (z)={2^{z-1} \over {z-1}}-2^{z}\int _{0}^{\infty }{\sin \left(z\arctan(t)\right) \over {{(1+t^{2})}^{z \over 2}}(e^{\pi t}+1)}\,{\mbox{d}}t\qquad \qquad (z\in \mathbb {C} \backslash \{1\})

Riemannsche Vermutung

Die Riemannsche Vermutung ist eine Aussage über die Verteilung der Nullstellen der Zeta-Funktion. Die Funktion besitzt 'triviale' Nullstellen der Form $z=-2,z=-4,z=-6,\dots$ . Die Vermutung des Mathematikers Bernhard Riemann (aus dem Jahre 1859) besagt nun, dass alle nicht-trivialen Nullstellen der Zeta-Funktion den Realteil $1/2$ besitzen, also auf der Linie mit der Formel:

z={1 \over 2}+y\,i\qquad (y\in \mathbb {R} )

liegen. i ist hier die imaginäre Einheit.

Bedeutung

Ursprünglich ging es bei der komplexen Zeta-Funktion um die Berechnung der Verteilung von Primzahlen, bzw. wie sehr deren tatsächliche Häufigkeit von der statistischen abweicht (vgl. Primzahlsatz). Falls die Vermutung wahr ist, hätte das aber auch große Auswirkungen auf andere Bereiche der Mathematik, z.B. auf den Umgang mit elliptischen Kurven oder die Goldbachsche Vermutung.

Geschichte

1735 gelang es Leonhard Euler zu zeigen, dass $\zeta (2)$ konvergiert mit $\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ . Weiterhin berechnete er noch die Reihenwerte $\zeta (4)$ bis $\zeta (26)$ .

Die Riemannsche Vermutung wurde im Jahr 1900 von David Hilbert in seiner Liste von 23 mathematischen Problemen als Jahrhundertproblem deklariert. Da keine Lösung gefunden wurde, hat das "Clay Mathematics Institute" im Jahr 2000 dieses erneut zu den wichtigsten mathematischen Problemen erklärt und einen Preis von einer Million Dollar auf einen schlüssigen Beweis der Riemannschen Vermutung ausgesetzt, allerdings nichts für ein Gegenbeispiel.

Im Jahr 2001 wurde mit Hilfe von Grossrechnern gezeigt, dass die ersten zehn Milliarden Nullstellen der komplexen Zeta-Funktion alle die Riemannsche Vermutung erfüllen, sprich sie liegen alle auf der Geraden mit Realteil $1/2$ .

Die beiden französischen Mathematiker Gourdon und Demichel starteten mit dem Verfahren von Odlyzko und Schönhage im Jahr 2004 einen neuen Versuch und hatten im Oktober 2004 die ersten 10 Billionen Nullstellen überprüft.

Im Juni 2004 hat Louis de Branges de Bourcia zum wiederholten Male einen angeblichen Beweis veröffentlicht, der derzeit kritisch geprüft wird. Derselbe Autor hat allerdings in den letzten Jahren mehrmals Beweise publiziert, die sich als falsch herausstellten. Ob dies auch bei dem Aktuellen so ist, wird sich zeigen.

Siehe auch

Ungelöste Probleme der Mathematik

Weblinks