Bahnformel

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Die Bahnformel ist ein mathematischer Satz aus der Gruppentheorie. Sie wird oft kurz einprägsam zusammengefasst als: „Die Länge der Bahn ist der Index des Stabilisators.“

Satz

Sei $\ (G,\cdot )$ eine Gruppe und $\circ :G\times M\rightarrow M$ eine Operation von $M$ auf $G$ . Dann ist für jedes $x\in M$ die Abbildung

G/G_{x}\rightarrow G\circ x\ ,\ g\cdot G_{x}\mapsto g\circ x

eine wohldefinierte Bijektion. Im Fall $|G\circ x|<\infty$ gilt somit die Bahnformel

(G:G_{x})=|G\circ x|

.

Für endliche Gruppen $G$ ist daher

\ |G|=|G\circ x|\cdot |G_{x}|

.

Dabei bezeichnet

$G\circ x:=\{m\in M\ |\ \exists g\in G$ mit $g\circ x=m\}\subseteq M$ die Bahn von $p$ ,
$G_{x}:=\{g\in G\ |\ g\circ x=x\}\leq G$ die Stabilisatoruntergruppe von $x$ und
$(G:G_{x}):=|G/G_{x}|:=|\{A\subseteq G\ |\ \exists g\in G$ mit Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \ A = g\cdot G_x\}|} ist die Anzahl der (Links-)Nebenklassen von $G_{x}$ in $G$ , auch Index von $G_{x}$ in $G$ genannt.

Beispiel

Jede Gruppe $G$ operiert auf $G$ vermöge der Konjugationsoperation $g\circ x:=gxg^{-1}$ . Die Bahn $G\circ x:=\{gxg^{-1}\ |\ g\in G\}$ eines Elements $x\in G$ bezeichnet man als Konjugiertenklasse von $x$ und wird mit ${}^{G}x$ bezeichnet. Der Stabilisator $G_{x}:=\{g\in G\ |\ gxg^{-1}=x\}=\{g\in G\ |\ gx=xg\}$ heißt Zentralisator von $x$ und wird mit $C_{G}(x)$ bezeichnet. Der Bahnensatz liefert somit für endliche Gruppen $G$

|{}^{G}x|={\frac {|G|}{|C_{G}(x)|}}

.

Siehe auch

Literatur

Kurt Meyberg: Algebra, Teil 1. 2. Auflage, Carl Hanser Verlag 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 67
Rainer Schulze-Pillot: Elementare Algebra und Zahlentheorie, ISBN 978-3-540-45379-6, S. 121-124

Weblinks

Eric W. Weisstein: Bahn (Orbit) und Bahnformel (engl.). In: MathWorld (englisch).