Holomorphe Funktion

Holomorphie (von gr. holos, "ganz" und morphe , "Form") ist eine Eigenschaft von bestimmten komplexwertigen Funktionen, die in der Funktionentheorie (einem Teilgebiet der Mathematik) behandelt werden. Eine Funktion $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ für offenes $U\subset \mathbb {C}$ heißt holomorph, falls sie in jedem Punkt komplex differenzierbar ist.

Auch wenn die Definition analog zur reellen Differenzierbarkeit ist, zeigt sich in der Funktionentheorie, dass die Holomorphie eine sehr starke Eingenschaft ist. Sie produziert nämlich eine Vielzahl von Phänomenen, die im Reellen kein Pendant besitzen. Beispielsweise ist eine holomorphe Funktion stets unendlich oft differenzierbar und lässt sich lokal in jedem Punkt in eine Potenzreihe entwickeln.

Definitionen

Komplexe Differenzierbarkeit und Holomorphie

Es seien $U\subset \mathbb {C}$, $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ eine komplexe Funktion und $z_{0}$ kein isolierter Punkt von $U$. Dann heißt $f$ im Punkt $z_{0}\in U$ komplex differenzierbar, falls der Grenzwert

$\lim _{{h\rightarrow 0} \atop {h+z_{0}\in U}}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}$

existiert. In diesem Fall bezeichnet man diesen Grenzwert als $\ f'(z_{0})$.

$f$ heißt im Punkt $z_{0}\in U$ holomorph, falls es ein $\varepsilon >0$ gibt, so dass

$B(z_{0},\varepsilon ):=\{z\in \mathbb {C} \ |\ |z-z_{0}|<\varepsilon \}\subset U$

gilt und $f$ in jedem Punkt $z\in B(z_{0},\varepsilon )$ komplex differenzierbar ist. $f$ heißt holomorph, falls $f$ in jedem $z\in U$ holomorph ist; insbesondere ist der Definitionsbereich einer holomorphen Funktion eine offene Menge.

Ist $f$ auf ganz $\mathbb {C}$ holomorph, so nennt man $f$ eine ganze Funktion. Eine holomorphe und injektive Funktion wird auch als schlicht bezeichnet.

Komplexe Differenzierbarkeit und reelle Differenzierbarkeit

Komplexe Zahlen $\ z=x+iy$ lassen sich in kanonischer Weise als Vektoren $\ (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ auffassen. In diesem Sinne wird jedes $U\subset \mathbb {C}$ als Teilmenge ${\tilde {U}}:=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ |\ x+iy\in U\}\subset \mathbb {R} ^{2}$ aufgefasst, und man kann eine Funktion $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ identifizieren mit der Funktion ${\tilde {f}}:{\tilde {U}}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ vermöge

${\tilde {f}}(x,y):=({\rm {Re}}\;f(x+iy),{\rm {Im}}\;f(x+iy))\ .$

Ist die Funktion $f$ in $\ z_{0}=x_{0}+iy_{0}$ komplex differenzierbar, so ist ${\tilde {f}}$ im Punkt $\ (x_{0},y_{0})$ differenzierbar. Jedoch gilt nicht die Umkehrung. Komplexe Differenzierbarkeit ist eine stärkere Eigenschaft als die Differenzierbarkeit der in den $\mathbb {R} ^{2}$ transformierten Funktion. Dieser Sachverhalt wird durch die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen präzisiert.

Holomorphie und Analytizität

Sei $U\subset \mathbb {C}$ und $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ eine komplexe Funktion. $f$ heißt (komplex) analytisch in $z_{0}\in U$, wenn es ein $\varepsilon >0$ gibt und eine Folge $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} _{0}}\in \mathbb {C} ^{\mathbb {N} _{0}}$, so dass

$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}$

für alle $z\in B(z_{0},\varepsilon )\cap U$ gilt, d.h. wenn $f$ lokal in $z_{0}$ als (konvergente) Potenzreihe dargestellt werden kann. $f$ heißt analytisch, wenn $f$ analytisch in jedem $z\in U$ ist.

Der Begriff der Analytizität ist äquivalent zur Holomorphie: Jede in $z_{0}$ holomorphe Funktion ist in $z_{0}$ analytisch. Umgekehrt lässt sich jede in $z_{0}$ analytische Funktion zu einer in $z_{0}$ holomorphen Funktion fortsetzen.

Da Potenzreihen unendlich oft komplex differenzierbar sind (und zwar durch gliedweise Differentiation), erhält man insbesondere, dass holomorphe Funktionen unendlich oft differenzierbar und alle ihre Ableitungen wiederum holomorphe Funktionen sind. Hieran erkennt man schon deutliche Unterschiede zur reellen Differentialrechnung.

Beispiele

Folgende Funktionen sind holomorph auf ganz $\mathbb {C}$:

• jede polynomielle Abbildung $z\mapsto \sum \limits _{j=0}^{n}a_{j}z^{j}$ mit Koeffizienten $a_{j}\in \mathbb {C}$

• die Exponentialfunktion $\exp$

• die trigonometrischen Funktionen $\sin$ und $\cos$

• die hyperbolischen Funktionen $\sinh$ und $\cosh$

Folgende Funktionen sind in keinem $z\in \mathbb {C}$ komplex differenzierbar, und damit auch nirgendwo holomorph:

• die Betragsfunktion $z\mapsto |z|$

• die Projektionen auf den Realteil $z\mapsto \mathrm {Re} (z)$ beziehungsweise auf den Imaginärteil $z\mapsto \mathrm {Im} (z)$

• die komplexe Konjugation $z\mapsto {\overline {z}}$

Wichtige Eigenschaften holomorpher Funktionen

Hier folgt eine Auflistung fundamentaler Eigenschaften holomorpher Funktionen, die allesamt kein Pendant in der reellen Theorie besitzen:

• Ist $U\subset \mathbb {C}$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet, $\gamma$ ein Zyklus in $G$ und $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph, so gilt der cauchysche Integralsatz

$\int _{\gamma }f(z){\rm {d}}z=0\ .$

• Sei $U\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet, $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph und $G\subset U$ ein Gebiet mit ${\overline {G}}\subset U$ und orientiertem Rand $\partial G$. Dann gilt für alle $w\in G$ und $k\in \mathbb {N} _{0}$ die cauchysche Integralformel

$f^{(k)}(w)={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\partial G}{\frac {f(z)}{(z-w)^{k+1}}}{\rm {d}}z\ .$

• Ist $U\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet, $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph, $z_{0}\in U$ und $B(z_{0},R)\subset U$, so lässt sich $f$ in $z_{0}$ als konvergente Potenzreihe darstellen, deren Konvergenzradius mindenstens $R$ beträgt.

• Jede beschränkte ganze Funktion ist konstant. (Satz von Liouville)

• Ist $U\subset \mathbb {C}$ ein beschränktes Gebiet und $f:{\overline {U}}\rightarrow \mathbb {C}$ stetig und auf $U$ holomorph. Dann gilt das Maximumprinzip

$\max _{z\in {\overline {U}}}|f(z)|=\max _{z\in \partial U}|f(z)|\ .$

• Seien $U\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet $f_{1},f_{2}:U\rightarrow \mathbb {C}$ holomorph. Falls es eine konvergente Folge $(z_{k})_{k\in \mathbb {N} }\in U^{\mathbb {N} }$ gibt mit $z_{0}:=\lim _{k\rightarrow \infty }z_{k}\in U$ und $z_{j}\neq z_{0}$ für alle $j\in \mathbb {N}$, so folgt aus $f_{1}(z_{j})=f_{2}(z_{j})$ für alle $j\in \mathbb {N}$ bereits die Gleichheit der Funktionen $f_{1}=f_{2}$. (Identitätssatz)

• Ist $U\subset \mathbb {C}$ ein Gebiet und $f:U\rightarrow \mathbb {C}$ nicht konstant. Dann ist $f(U)\subset \mathbb {R}$ wieder ein Gebiet. (Satz von der Gebietstreue)

Literatur

Standardwerke

Einführungen

• Klaus Jänich: (Die ersten beiden Auflagen unterscheiden sich deutlich von den folgenden. U. a. fehlen ab der dritten Auflage die vier „Stern“-Kapitel zu Wirtinger-Kalkül, Riemann'schen Flächen, Riemann'schen Flächen eines holomorphen Keimes und algebraischen Funktionen.)

• Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1980, ISBN 3-540-10032-6. 

• Funktionentheorie – Eine Einführung. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2004, ISBN 3-540-20392-3. 

• Wolfgang Fischer, Ingo Lieb: Funktionentheorie – Komplexe Analysis in einer Veränderlichen. 8. Auflage. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-77247-6. 

Ausführliche Darstellungen der Funktionentheorie

• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 3. Auflage. Springer, 2000, ISBN 3-540-67641-4. 

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Heidelberg 2002, ISBN 3-540-41855-5. 

Siehe auch

Komplexe Teilmengen, Konforme Abbildung