Logische Verknüpfung
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Logische Verknüpfungen sind Operationen der Booleschen Algebra. Mit Hilfe der logischen Verknüpfungen lassen sich in der Aussagenlogik und Schaltalgebra aus einfacheren Aussagen kompliziertere Aussagen zusammensetzen. Dabei muss der Wahrheitswert der zusammengesetzten Aussage durch die Wahrheitswerte der enthaltenen einfacheren Aussagen eindeutig bestimmt sein, beispielsweise durch eine Wahrheitstabelle (Wahrheitstafel). Eine Wahrheitstabelle ist die Definition einer logischen Verknüpfung. Mehrere Eingangssignale (1, 2, 3 oder mehr) werden mittels logischer Verknüpfung zu einem Ausgangssignal (auch 2 oder mehr Ausgangssignale sind möglich) zusammengesetzt. Die logische Verknüpfung definiert die Gesetzmäßigkeiten und logische Zusammenhänge zwischen Eingangssignal und Ausgangssignal.
Logische Verknüpfungen werden auch Satzoperatoren genannt. Die Operatoren der logischen Verknüpfung werden Boolesche Operatoren genannt. Wichtige zweistellige logische Verknüpfungen sind Konjunktion, Disjunktion, Implikation und Äquivalenz. In der Digitaltechnik sind AND, OR, NOT, NOR und NAND die gängigsten logischen Grundschaltungen.
In Analogie zum mathematischen Verknüpfungsbegriff spricht man von einstelligen (Bild 1 und 2) und zweistelligen (Bild 5) Verknüpfungen - je nachdem, wie viele Aussagen zusammengesetzt werden. Höherstellige Verknüpfungen (beispielsweise dreistellige Verknüpfung - Bild 3 und 4) sind hier von untergeordneter Bedeutung, weil sie sich durch ein- und zweistellige Verknüpfungen ausdrücken lassen. Die Symbole, mit denen die logischen Verknüpfungen ausgedrückt werden, nennt man Junktoren.
Unter den einstelligen logischen Verknüpfungen gibt es nur eine nicht-triviale, nämlich die Negation.
Praktische Anwendung finden die logischen Verknüpfungen unter anderem als Suchoperatoren bei Datenbanken, Anfragen an Suchmaschinen und in der Digitaltechnik. Die praktische Realisierung von logischen Verknüpfungen in der Digitaltechnik erfolgt durch logische Schaltungen. Logische Verknüpfungen sind die Grundelemente der Digitaltechnik - unter anderem beim Schaltungsentwurf oder in der digitalen Steuerungstechnik.
Eine weitere praktische Anwendung der logischen Verknüpfungen besteht bei höheren Programmiersprachen, die meistens nur die Verknüpfungen AND, OR und NOT kennen, so dass die anderen logischen Verknüpfungen aus diesen drei Bausteinen konstruiert werden müssen. Programmiersprachen arbeiten nur mit zweistelligen logischen Ausdrücken. Mehrstellige logische Ausdrücke müssen ebenfalls durch Kombination mehrerer zweistelliger logischer Ausdrücke gebildet werden.
Die Wertemenge der logischen Verknüpfung ist W={w, f}, wobei ‚w‘ für wahr steht und ‚f‘ für falsch. Andere Schreibweisen sind:
- W={1, 0},
- W={WAHR, FALSCH},
- W={TRUE, FALSE}.
Zweistellige logische Verknüpfung
Wenn man zwei logische Variablen miteinander kombiniert, dann sind insgesamt 16 verschiedene Ergebnisse möglich. Eine Funktionstabelle mit zweistelligen logischen (Bild 1) Verknüpfungen (2 Eingänge) hat insgesamt vier Zeilen, also vier verschiedene Kombinationsmöglichkeiten der Eingangssignale. Folglich sind 16 verschiedene Ergebnisse möglich (24 = 16) - Bild 1 und 2. Jede der 16 möglichen zweiwertigen Verknüpfungen hat einen Namen. Es gibt 16 mögliche zweistellige Operatoren.
Die Spalten 1 bis 8 (Bild 1) stellen symmetrisch die Negationen der Spalten 9 bis 18 (Bild 2) dar.
(Bild 1) Spalte Nr. 1:
FALSE (unabhängig von der Eingabe ist das Ergebnis immer Null) - Kontradiktion
(Bild 1) Spalte Nr. 2:
AND (Konjunktion) - Der Ausgang ist 1, wenn alle Eingänge 1 sind.
(Bild 1) Spalte Nr. 3:
Inhibition (von A auf B) - A und NOT B - Sperrgatter - eine Schaltung aus einem UND- und einem NICHT-Glied, siehe: Inhibition (Digitaltechnik)
(Bild 1) Spalte Nr. 4:
Identität (von A)
(Bild 1) Spalte Nr. 5:
Inhibition (von B auf A) - B und NOT A - Sperrgatter - eine Schaltung aus einem UND- und einem NICHT-Glied, siehe: Inhibition (Digitaltechnik)
(Bild 1) Spalte Nr. 6:
Identität (von B)
(Bild 1) Spalte Nr. 7:
XOR (Antivalenz, exklusives ODER) - Der Ausgang ist 1, wenn die Eingänge unterschiedlich sind. - Wenn beide Eingänge unterschiedliche Logikzustände haben, dann wird am Ausgang 1 ausgegeben. - Nur wenn genau ein Eingang 1 ist, ist der Ausgang 1.
(Bild 1) Spalte Nr. 8:
OR (Disjunktion) - Der Ausgang ist 1, wenn ein oder zwei Eingänge 1 sind - Es muss mindestens 1 Teilausdruck wahr sein, damit der ganze Ausdruck wahr ist.
(Bild 2) Spalte Nr. 9:
NOR (Peirce-Funktion) - Kombination aus hintereinandergeschaltetem OR und NOT - Am Ausgang liegt 0 an, wenn an mindestens einem der Eingänge 1 anliegt. - NOR verhält sich umgekehrt zu OR.
(Bild 2) Spalte Nr. 10:
XNOR (Äquivalenz) - XNOR ist das Gegenteil von XOR, also eine Kombination aus hintereinandergeschaltetem XOR und NOT. - Wenn beide Eingänge identische Logikzustände haben, dann wird am Ausgang 1 ausgegeben.
(Bild 2) Spalte Nr. 11:
Negation von B.
(Bild 2) Spalte Nr. 12:
Implikation (von B auf A !!!) - Subjunktion - Wenn B falsch (0) ist oder A wahr (1) ist, dann ist das Ergebnis wahr.
(Bild 2) Spalte Nr. 13:
Negation von A.
(Bild 2) Spalte Nr. 14:
Implikation (von A auf B) - Subjunktion - Wenn A falsch (0) ist oder B wahr (1) ist, dann ist das Ergebnis wahr.
(Bild 2) Spalte Nr. 15:
NAND
(Bild 2) Spalte Nr. 16:
TRUE (unabhängig von der Eingabe ist das Ergebnis immer "Eins") - Tautologie - eine Tautologie wird in jedem Fall wahr. Es gibt unendlich viel Tautologien - beispielsweise: A OR NOT A.
Logische Verknüpfung in Computersprachen
Höhere Computersprachen, insbesondere C, C++, C#, Java, PHP, kennen die abgekürzte Auswertung (Shortcut-Evaluation oder Lazy Evaluation) der logischen Operatoren für AND bzw. OR. Die abgekürzte Auswertung wird zur Optimierung der Laufzeit benutzen. Der Operator "&&" (AND) bezeichnet die abgekürzte Auswertung der Konjunktion. Wenn bereits die erste Einganvariable (A) FALSCH, dann muss B nicht mehr näher betrachtet werden, da das Ergebnis berits bekannt iwt - es muss FALSCH sein. soll auf die abgekürzte Auswertung verzichtet werden, dann wird der Operator "&" verwendet. Analog wird für die Disjunktion der Operator "||" (OR) für die abgekürzte Auswertung und der Operator "|" für die nicht abgekürzte auswertung der ODER-Funktion verwendet. Bei der ODER-Funktion steht das Endergebnis WAHR bereits fest, wenn die erste Eingansvariable (A) WAHR ist. Die weitere Auswertung der logischen Verknüpfung kann dann abgebrochen werden.
Weitere logische Verknüpfung in Computersprachen, allerdings ohne abgekürzte Auswertung, sind:
- exklusives ODER "^^",
- bitweises UND,
- bitweises ODER.
Dreistellige logische Verknüpfung
Bei drei Eingangsvariablen (A, B, C) gibt es 16 mögliche Kombinationen (die Tabelle hat 16 Zeilen). Eine 16stellige Binärzahl kann den 256 verschiedene Werte annehmen (216 = 256). Folglich hat ein dreiwertige logische Verknüpfung 256 mögliche verschiedene Ergebnisse. Die wenigsten von ihnen haben einen allgemeinverbindlichen Namen. Bild 3 und 4 zeigt den Anfangsteil und den Endteil der 256 möglichen Kombinantionen.
Obige Aussagen treffen nur für die binäre Logik zu, in der also eine Aussage nur den Wert 0 oder 1 annehmen kann, nicht jedoch für dreiwertige oder ähnliche mehrwertige Logiksysteme.
Beispiel für eine dreistellige logische Verknüpfung:
| A | B | C | A*B*C |
|---|---|---|---|
| w | w | w | f |
| w | w | f | w |
| w | f | w | w |
| w | f | f | f |
| f | w | w | f |
| f | w | f | f |
| f | f | w | w |
| f | f | f | f |
Der Operator für diese dreistellige logische Verknüpfung lautet:
(A AND B AND NOT-C) OR (A AND NOT-B AND C) OR (NOT-A AND NOT-B AND C)
Einstellige logische Verknüpfung
Bild 5 zeigt alle vier Möglichkeiten einer einstelligen logischen Verknüpfung.
Mehrere logische Ausgänge
Weitere Variationsmöglichkeiten entstehen, wenn es statt eines Ergebnisses (bei logischen Digitalschaltungen: ein Ausgang) mehrere Ergebnisse (bei logischen Digitalschaltungen: mehrer Ausgänge) gibt - beispielsweise bem 1-aus-n-Decoder (2 Eingänge, 4 Ausgänge) oder [Volladdierer]] (3 Eingänge, 2 Ausgänge).
Fuzzy-Logik
In der Fuzzy-Logik werden die logischen Operationen der Booleschen Algebra durch Fuzzy-Operationen ersetzt.
Literatur
- Klaus Beuth: Digitaltechnik - Elektronik 4, 12. Auflage, 2003, Vogel Fachbuchverlag. ISBN 3-802-31958-3