Vektorraum

Ein Vektorraum (auch linearer Raum) ist eine mathematische Struktur (insbesondere auch algebraische Struktur), die in fast allen Zweigen der Mathematik verwendet wird. Eingehend betrachtet werden Vektorräume in der Linearen Algebra.

Die einzelnen Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren. Addiert man Vektoren oder multipliziert sie mit einer skalaren Zahl (allgemeiner mit einem Element des zu dem Vektorraum gehörigen Körpers), dann ist das Ergebnis wieder ein Vektor desselben Vektorraums. Vektoren können nicht nur die aus der Geometrie bekannten Gebilde sein, sondern auch abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen.

Da die skalaren Zahlen, mit denen man einen Vektor multiplizieren kann, einem Körper entstammen, ist ein Vektorraum immer ein Vektorraum „über“ einem bestimmten Körper. Man spricht beispielsweise von einem Vektorraum über den reellen Zahlen. In den meisten Anwendungen legt man diese oder die komplexen Zahlen zugrunde.

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die es erlaubt, jeden Vektor durch eindeutige Koordinaten zu beschreiben, nämlich als eindeutige Linearkombination von endlich vielen Basisvektoren. Dadurch wird das Rechnen in Vektorräumen erleichtert. Die Anzahl der Basisvektoren wird Dimension des Vektorraums genannt. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis und kann auch unendlich sein.

Formale Definition

Ein Vektorraum über einem Körper $K$ oder kurz K-Vektorraum ist eine additive abelsche Gruppe $(V,+)$ auf der zusätzlich eine Multiplikation mit einem Skalar aus $K$ erklärt ist.

$*:K\times V\to V$

Die Skalarmultiplikation muss dabei für alle $u,v\in V$ und $\alpha ,\beta \in K$ die folgenden Bedingungen erfüllen:

Assoziativität:

$\alpha *(\beta *v)=(\alpha *\beta )*v$

Distributivgesetze:

$\alpha *(u+v)=\alpha *u+\alpha *v$

$(\alpha +\beta )*v=\alpha *v+\beta *v$

Neutralität der 1 des Körpers $K$:

$1*v=v$

Anders ausgedrückt ist ein $K$-Vektorraum ein $K$-Linksmodul, dessen Grundring $K$ ein (kommutativer) Körper ist.

Anmerkungen

• Die Addition der abelschen Gruppe $(V,+)$ heißt Vektoraddition, ihr neutrales Element Nullvektor.
• Die Distributivgesetze garantieren die Verträglichkeit von Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
• In diesem Artikel wird die Skalarmultiplikation zur besseren Unterscheidung mit „$*$“ bezeichnet. Obwohl die Multiplikation im Körper $K$ und die Skalarmultiplikation nicht verwechselt werden dürfen, werden sie in der Praxis jedoch zumeist beide mit demselben Zeichen „$\cdot$“ bezeichnet. Oft lässt man das Multiplikationszeichen sogar ganz weg.

Erste Eigenschaften

Für alle $\alpha \in K$ und $v\in V$ gilt:

• $(-\alpha )*v=-(\alpha *v)=\alpha *(-v)$.
• $\alpha *v=0\quad \Leftrightarrow \quad \alpha =0\lor v=0$.

Die Gleichung $v+x=w$ ist für alle $v,w\in V$ eindeutig lösbar; die Lösung ist $x=w+(-v)$.

Beispiele

Euklidische Ebene

Ein anschaulicher Vektorraum ist die 2-dimensionale Euklidische Ebene $\mathbb {R} ^{2}$ (in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten) mit den Pfeilklassen (Verschiebungen oder Translationen) als Vektoren und den reellen Zahlen als Skalaren.

${\vec {v}}=(2,3)$ ist die Verschiebung um 2 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben,

${\vec {w}}=(3,-5)$ die Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten.

Die Summe zweier Verschiebungen ist wieder eine Verschiebung:

${\vec {v}}+{\vec {w}}=(5,-2)$, d.h. 5 Einheiten nach rechts und 2 Einheiten nach unten.

Der Nullvektor ${\vec {0}}=(0,0)$ entspricht keiner Verschiebung, d. h. der identischen Abbildung.

Durch die Streckung der Verschiebung ${\vec {v}}$ mit einem Skalar $a=3$ aus der Menge der reellen Zahlen erhalten wir das Dreifache der Verschiebung:

$a*{\vec {v}}=3*(2,3)=(6,9)$.

Alles zu diesem Beispiel Gesagte gilt schon in der reellen affinen Ebene. Längen und Winkel kamen ja gar nicht vor, und das Koordinatensystem konnte ebensogut schiefwinklig sein.

Raum der affinen Funktionen

Ein anderer Vektorraum ist der Raum der affinen Funktionen auf den reellen Zahlen. Dies sind die Funktionen der Form

$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;x\mapsto a\cdot x+b$

mit reellen Zahlen $a$ und $b$. Anschaulich gesprochen sind dies alle Funktionen, deren Graph eine Gerade ist. In dieser Anschauung erzeugt unser Raum alle Geraden bis auf die genau senkrecht stehenden. Wählen wir beispielhaft zwei affine Funktionen

$f(x)=2x+3$ , $g(x)=3x-5$,

so sehen wir, wie deren Summe wieder eine affine Funktion ergibt:

$f(x)+g(x)=2x+3+3x-5=(2+3)x+(3-5)=5x-2$

Der Nullvektor ist die konstante Funktion

$0=0x+0$, die alle Punkte auf die Null abbildet.

Mit einem Skalar $a=3$ aus der Menge der reellen Zahlen ergibt die Skalarmultiplikation

$a*f(x)=3\cdot (2x+3)=(3\cdot 2)x+(3\cdot 3)=6x+9$.

Vektorraum der Polynome

Die Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper bilden, mit der üblichen Addition und der Multiplikation mit einem Element des Körpers, einen unendlich-dimensionalen Vektorraum. Für die Polynome, deren Grad durch ein $N\in \mathbb {N}$ nach oben beschränkt ist, hat der resultierende Vektorraum die Dimension $N+1$. Beispielsweise ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4

$a+b\cdot x+c\cdot x^{2}+d\cdot x^{3}+e\cdot x^{4}$

ein Vektorraum der Dimension 5. Eine Basis bilden die Monome $\{1,\ x,\ x^{2},\ x^{3},\ x^{4}\}$.

Spezielle Vektorräume

Euklidischer Vektorraum

Ein euklidischer Vektorraum ist ein reeller Vektorraum mit positiv definitem Skalarprodukt. Er ist ein Spezialfall eines Prähilbertraums und auch Spezialfall eines Hilbertraums.

Funktionenraum

Ein Funktionenraum ist ein Vektorraum, dessen Elemente Funktionen sind. Funktionenräume sind Betrachtungsgegenstand der Funktionalanalysis und meist unendlichdimensional.

Normierter Raum

Ein normierter Raum ist ein Vektorraum, in dem Vektoren eine Länge (Norm) besitzen. Diese ist eine nichtnegative reelle Zahl und erfüllt die Dreiecksungleichung.

Prähilbertraum

Ein Prähilbertraum ist ein reeller oder komplexer Vektorraum, auf dem ein inneres Produkt (Skalarprodukt oder hermitesche Form) definiert ist. In einem solchen Raum kann man Begriffe wie Länge und Winkel definieren.

Topologischer Vektorraum

Ein topologischer Vektorraum über einem topologischen Körper $K$ ist ein topologischer Raum $V$ mit einer kompatiblen $K$-Vektorraumstruktur, d. h. die Vektorraumoperationen ${+}\colon V\times V\to V$ und ${*}\colon K\times V\to V$ sind stetig.

Unitärer Vektorraum

Ein unitärer Vektorraum ist ein Vektorraum mit positiv definiter hermitescher Form. Er ist ein Spezialfall des Prähilbertraums.

In einem metrischen Raum ist das analytische Konzept der Konvergenz anwendbar; ein metrischer Raum, in dem jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt vollständig. Ein vollständiger normierter Vektorraum heißt Banach-Raum, ein vollständiger Prähilbertraum heißt Hilbert-Raum.

Ein Tangentialraum enthält die lokale Vektorraumstruktur einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

Aus einem Vektorraum und einem Untervektorraum kann man durch Bildung von Äquivalenzklassen einen weiteren Vektorraum, den Quotientenraum oder Faktorraum, bilden.

Untervektorraum

Ein Untervektorraum (auch linearer Unterraum) ist eine Teilmenge eines Vektorraums, die selbst wieder ein Vektorraum über demselben Körper ist. Dabei werden die Vektorraumoperationen auf den Untervektorraum vererbt.

Jeder Vektorraum enthält zwei triviale Untervektorräume, nämlich zum einen sich selbst, zum anderen den kleinsten Untervektorraum $\{0\}$, der nur aus dem Nullvektor besteht.

Beispiel

Es sei $V=\mathbb {R} ^{2}$ der Vektorraum der Paare reeller Zahlen. Ein Untervektorraum ist z. B. $M=\mathbb {R} \times \left\{0\right\}$, da die drei obigen Voraussetzungen erfüllt sind. Anschaulich ist $V$ eine Ebene, und $M$ ist die mit der x-Achse zusammenfallende Gerade. Jede andere durch den Ursprung verlaufende Gerade ist ebenfalls ein Unterraum.

Kriterium für die Unterraumeigenschaft

Ist $V$ ein $K$-Vektorraum, so bildet eine Teilmenge $U\subseteq V$ genau dann einen Untervektorraum, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

• $0\in U$
• für alle $x,y\in U$ gilt $x+y\in U$

  ($U$ ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition)

• für alle $x\in U$ und $a\in K$ gilt $a*x\in U$

  ($U$ ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation)

Beweis der Gültigkeit des Unterraumkriteriums

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und $U\subseteq V$ eine Teilmenge.

Ist $U$ mit den vererbten Operationen ebenfalls ein $K$-Vektorraum, so gelten auch die drei Teilkriterien: Die ersten beiden ergeben sich, weil $(U,+)$ eine Untergruppe von $(V,+)$ sein muss, das letzte, weil die Einschränkung von $*$ die Skalarmultiplikation für $U$ ist.

Sind umgekehrt die drei Teilkriterien erfüllt, so ist für jedes $u\in U$ wegen des dritten Kriteriums stets auch das additive Inverse $-u=(-1)*u\in U$, so dass zusammen mit den ersten beiden folgt, dass $(U,+)$ eine Untergruppe von $(V,+)$, insb. also eine abelsche Gruppe ist. Da obendrein $*$ als Abbildung $*\colon K\times U\to U$ aufgefasst werden kann und sich Assoziativität, Distributivgesetze und die Neutralität der 1 direkt von $V$ übertragen, folgt dass $U$ mit diesen Verknüpfungen ein $K$-Vektorraum ist.

Verallgemeinerungen

• Wenn man an Stelle eines Körpers $K$ einen kommutativen Ring zugrunde legt, erhält man einen Modul. Moduln sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der Begriffe abelsche Gruppe (für den Ring der ganzen Zahlen) und Vektorraum (für Körper).

• Einige Autoren verzichten in der Definition von Körpern auf das Kommutativgesetz der Multiplikation und nennen Moduln über Schiefkörpern ebenfalls Vektorräume. Folgt man dieser Vorgehensweise, so müssen K-Linksvektorräume und K-Rechtsvektorräume unterschieden werden, wenn der Schiefkörper nicht kommutativ ist. Die oben gegebene Definition des Vektorraums ergibt dabei einen K-Linksvektorraum, da die Skalare im Produkt auf der linken Seite stehen. K-Rechtsvektorräume werden analog mit der spiegelbildlich erklärten Skalarmultiplikation definiert.

• Wenn man an Stelle eines Körpers $K$ einen Halbkörper zugrunde legt, erhält man einen Halbvektorraum.

• Eine andere Verallgemeinerung von Vektorräumen sind Vektorbündel; sie bestehen aus je einem Vektorraum für jeden Punkt eines Basisraumes.