Evolute
Die Evolute einer ebenen Kurve ist die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn der Berührpunkt auf der Kurve entlang wandert. Oder auch: Die Evolute einer Kurve ist die Hüllkurve oder Enveloppe ihrer Normalen.
Zur nebenstehenden Figur: K, K1, K2,... sind die Krümmungskreise zu der Normalparabel in den Punkten S, P1, P2... Ihre Mittelpunkte M, M1, M2,... bilden die Evolute zu der Normalparabel. Der rechte Ast der Evolute entsteht, wenn die Parabelpunkte P nach links wandern.
Für eine ebene Kurve mit der Parameterdarstellung
ist die Parameterdarstellung der Evoluten gegeben durch die Koordinaten des Krümmungsmittelpunkts
- Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle u_1 = x_1 - \frac{x_2'(t)(x_1'(t)^2+x_2'(t)^2)}{x_1'(t) x_2''(t) - x_1''(t)x_2'(t)}} und
- .
Die Ausgangskurve, aus der eine Evolute entsteht, heißt (mit Hinblick auf die Evolute) deren Involute oder deren Evolvente.
Evoluten bekannter Kurven
- Zu einer Astroide: wiederum eine Astroide (doppelt so groß)
- Zu einer Ellipse: eine schiefe Astroide
- Zu einer Kardioide: wiederum eine Kardioide (ein Drittel so groß)
- Zu einem Kreis: ein Punkt, nämlich dessen Mittelpunkt
- Zu einer Deltoide: wiederum eine Deltoide (dreimal so groß)
- Zu einer Zykloide: eine kongruente Zykloide
- Zu einer Epizykloide: eine vergrößerte Epizykloide
- Zu einer Hypozykloide: eine ähnliche Hypozykloide
- Zu einer Logarithmischen Spirale: Die gleiche Logarithmische Spirale
- Zu einer Nephroide: wiederum eine Nephroide (halb so groß)
- Zu einer Parabel: eine Neilsche Parabel
- Zu einer Traktrix: eine Katenoide (Kettenlinie)