Pol und Polare

Pol und Polare sind ein Begriffspaar in der ebenen Geometrie der Kegelschnitte: Jedem Punkt der Ebene wird eine Gerade umkehrbar eindeutig zugeordnet. Vermittelndes Element ist ein Kegelschnitt. Die Gerade heißt Polare des Punktes, der Punkt Pol der Geraden.

Aussen liegender Pol

Pol aussen

Zu einem Punkt P, der im Äußeren eines Kegelschnittes (im Bild: eines Kreises) liegt, gibt es stets zwei Tangenten t₁ und t₂, die durch P gehen. Berühren diese den Kegelschnitt in den Punkten T₁ und T₂, so heißt die Gerade p = T₁T₂ „die Polare zu P (bezüglich des gegebenen Kegelschnitts)“.

Umgekehrt kann man sagen:

Schneidet eine Gerade p (die Polare) einen Kegelschnitt in zwei Punkten T₁ und T₂, heißt der Schnittpunkt der beiden Tangenten in T₁ und T₂ der Pol zu p (bezüglich des Kegelschnittes).

Harmonische Teilung und endgültige Definition

Zeichnet man durch den Pol P eine Sekante, die den Kegelschnitt in A und B und die Polare in S schneidet, so teilen die Punkte S und P die Strecke [AB] harmonisch. Dies erlaubt es, die Polare auch folgendermaßen zu definieren:

Zeichnet man durch einen Punkt P (den Pol) die Sekanten zu einem nicht entarteten Kegelschnitt, so liegen die vierten harmonischen Punkte, die (zusammen mit P) die ausgeschnittenen Sehnen harmonisch teilen, auf einer Geraden. Diese Gerade heißt die Polare zu P (bezüglich des Kegelschnitts).

Bei dieser Definition wird nicht mehr vorausgesetzt, dass P im Äußeren des Kegelschnitts liegt. Auch zu Punkten im Innern gibt es danach eine wohl definierte Polare.

Innen liegender Pol

Ist die Polare Passante des Kegelschnitts, so schneiden sich die Polaren aller auf ihr liegenden Punkte im Pol der Geraden.

Sonderfälle

Ist die Polare Tangente an den Kegelschnitt, so ist ihr Pol der Berührpunkt.