Beschränkte Menge

Der Begriff der Beschränktheit tritt in verschiedenen Bereichen der Mathematik auf, in denen man einen Begriff der „Größe“ hat. Die grundlegende intuitive Bedeutung aller dieser Begriffe ist, dass ein beschränktes Objekt eine endliche Größe hat und kleiner als ein anderes Objekt endlicher Größe ist (anderenfalls ist es unbeschränkt).

Definitionen

Die Beschränktheit einer Menge kann sowohl auf den reellen Zahlen als auch allgemein auf halbgeordneten Mengen betrachtet werden. Die formalen Definitionen lauten wie folgt:

Ist M eine halbgeordnete Menge und S eine Teilmenge von M so gilt:

Schranke

Ein Element b ∈ M heißt obere (untere) Schranke von S, wenn gilt:

$b\geq x\ (b\leq x)\ \forall x\in S$.

(Lies: b größer gleich x (kleiner gleich x) für alle x aus S)

Beschränktheit

Nach oben (unten) beschränkt

Existiert eine obere (untere) Schranke von S, so heißt S nach oben (unten) beschränkt.

Beschränkt

S heißt beschränkt, falls S nach oben und unten beschränkt ist.

Unbeschränktheit

Nach oben (unten) unbeschränkt

Ist S nicht nach oben (unten) beschränkt, so heißt S nach oben (unten) unbeschränkt.

Unbeschränkt

S ist unbeschränkt oder nicht-beschränkt, wenn S entweder nach oben oder nach unten oder nach oben und unten unbeschränkt ist.

(Soll ausgedrückt werden, dass eine Menge sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist, so muss die Menge ausdrücklich als nach oben und unten unbeschränkt beschrieben werden.)

Analysis

Beschränktheit graphisch

In der Analysis, heißt eine Teilmenge $S$ der reellen Zahlen nach oben beschränkt, genau dann wenn es eine reelle Zahl $k$ mit $k\geq s$ für alle $s$ aus $S$ gibt. Jede solche Zahl $k$ heißt obere Schranke von $S$. Die Begriffe nach unten beschränkt und untere Schranke sind analog definiert.

Eine Menge $S$ heißt beschränkt, wenn sie nach oben beschränkt und nach unten beschränkt ist. Folglich ist eine Menge beschränkt, wenn sie in einem endlichen Intervall liegt.

Daraus ergibt sich der Zusammenhang: Eine Teilmenge $S$ der reellen Zahlen ist genau dann beschränkt, wenn es eine reelle Zahl $R$ gibt, so dass $|x|<R$ für alle $x$ aus $S$ gilt. Man sagt dann, $S$ läge in der offenen Kugel (d. h. einem offenen Intervall) um 0 mit Radius $R$.

Im Falle ihrer Existenz nennt man die kleinste obere Schranke das Supremum von $S$, die größte untere Schranke das Infimum.

Eine Funktion $f:X\to \mathbb {R}$ heißt beschränkt auf $X$, wenn ihre Bildmenge $f(X)$ eine beschränkte Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist.

Metrische Räume

Eine Menge S aus einem metrischen Raum (M, d) heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten ist, d.h. wenn ein x aus M und r > 0 existieren, so dass für alle s aus S gilt: $d(x,s)\leq r$.

Funktionalanalysis

Beschränkte Mengen in topologischen Vektorräumen

Eine Teilmenge $S$ eines topologischen Vektorraums heißt beschränkt, wenn es zu jeder Umgebung $U$ von 0 ein $k>0$ gibt, so dass $S\subseteq kU$ gilt.

Beschränkte Abbildungen

Sind $V$ und $W$ topologische Vektorräume, so heißt eine Abbildung $T\colon V\to W$ beschränkt, wenn das Bild jeder beschränkten Teilmenge beschränkt ist.

Sind $V$ und $W$ normierte Räume, so ist diese Bedingung äquivalent dazu, dass eine Konstante $c>0$ existiert, so dass

$\|Tx\|\leq c\cdot \|x\|$ für alle $x\in V$

gilt. Das Infimum (<-Sicher??) aller solcher $c$ heißt dann die Operatornorm von $T$. Man kann zeigen, daß jeder beschränkte lineare Operator zwischen normierten Räumen stetig ist und umgekehrt.

Literatur

• Bernd Aulbach: Analysis I. Augsburg 2001