Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen $\sigma _{i}$ sind ein Satz von komplexen 2×2–Matrizen, die nach dem Physiker Wolfgang Pauli benannt sind. Mit ihnen kann der Spin der Elektronen beschrieben werden. Der Spin-Operator ist definiert als $S_{i}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{i}$ und ermöglicht es, Elektronen als 2-komponentige Weyl-Spinoren darzustellen.

Die Pauli-Matrizen lauten

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

Sie gehorchen der Drehimpulsalgebra

$\sigma _{i}\,\sigma _{j}=I_{2}\delta _{ij}+i\,\epsilon _{ijk}\sigma _{k}\;$,

$[\sigma _{i},\,\sigma _{j}]=2i\,\epsilon _{ijk}\;\sigma _{k}$

Mathematisch bedeutet dies, dass die Pauli-Matrizen eine komplex 2-dimensionale Darstellung der Clifford-Algebra $Cl(0,3,\mathbb {R} )$ erzeugen. Diese ist der gerade Anteil der Clifford-Algebra $Cl(1,3,\mathbb {R} ),$ die die quantenphysikalisch bedeutsame Spin(1,3)-Gruppe, die Spin-Gruppe der Lorentz-Transformationen, enthält.

Die drei Matrizen $-i\,\sigma _{k}$ und ihre reellen Vielfachen erzeugen die Quaternionen-Algebra. Dabei entspricht $-i\,\sigma _{3}$ der imaginären quaternionischen Einheit i, $-i\,\sigma _{1}$ entspricht j und $-i\,\sigma _{2}$ entspricht k, wenn die Quaternionen als ${\begin{pmatrix}z^{1}\\z^{2}\end{pmatrix}}\mapsto kz^{1}+z^{2}$ parametrisiert werden.

Siehe auch

• Gell-Mann-Matrizen