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Zufall

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Bei menschlichem Handeln spricht man von Zufall, wenn ein Ereignis nicht notwendig oder beabsichtigt auftritt, oder wenn das Auftreten des Ereignisses nicht absehbar ist. Im allgemeinen benutzt man in diesem Zusammenhang Zufall, um ein seltenes Ereignis zu benennen.

Beispielsweise treffen sich zwei alte Freunde zufällig nach Jahren wieder auf der Straße.
Hierbei kreuzen sich zwei Ereignisfolgen, wobei ein Ereignis durch einen Ortspunkt und einen Zeitpunkt bestimmt sein muss. Das Zufallsereignis tritt dann ein, wenn sowohl Ortspunkt als auch Zeitpunkt zweier Ereignisse nahe beieinander liegen.

Eine systematische Untersuchung des 'Phänomen Zufall' geschieht in der Philosophie (was ist Zufall), in der Mathematik (wie läßt sich Zufall quantitativ fassen), in der Physik (welche Prozesse sind zufällig, welche determiniert) und in der Psychologie (warum haben Menschen Erwartungen (und welche), über das, was geschehen wird).


Was ist Zufall

Eine Anmerkung zur Vorsicht: Schon die umgangssprachliche Formulierung wie "etwas zufällig Geschehenes hatte keine (bekannte) Ursache" impliziert eine deterministische Denkweise, denn man nimmt an, dass Alles eine Ursache haben müsse. Daher wird das Wesen des Zufalls am besten im Zusammenhang mit Überlegungen zur Kausalität beleuchtet.


Zufallsprozesse in der Welt

Die Naturwissenschaften versuchen herauszufinden, ob unsere Welt im innersten deterministisch oder zufällig ist. Man will wissen, ob ein Ereignis zufällig ist, weil der Beobachter nicht genügend Daten hatte, um eine exakte Vorhersage zu machen, oder ob das beobachtete System in sich zufällig ist. Beide Arten von Systemen lassen sich mathematisch modellieren.

Die erste Art von Systemen sind solche, in denen angenommen wird, dass das Ergebnis eines Experiments bei festen Bedingungen immer gleich sein muss, und dass die auftretenden Variationen des Ergebnises auftreten, weil der Beoachter das System nicht genau genug kontrolliert hat. Solche Systeme werden als deterministisch angesehen.

Es ist heute bekannt, dass (theoretisch exakt) deterministische Systeme zufälliges Verhalten zeigen können. Solche Systeme werden in der Chaostheorie untersucht.

Die Quantenphysik hat eine neue Diskussion darüber ausgelöst, ob die Welt fundamental deterministischen oder fundamental zufälligen Prinzipien gehorcht. Die akzeptierte Interpretation der Quantentheorie sagt, dass identische Experimente unterschiedliche Ergebnisse haben können. Das beste Beispiel hierfür ist der radioaktive Zerfall. Es ist keine Möglichkeit bekannt, den Zerfallszeitpunkt eines instabilen Atomkernes vorherzusagen.

Es gibt Wissenschaftler, die Alternativen (etwa Verborgene-Variablen) vorschlagen, um doch noch eine deterministische Welt zu beschreiben.
Daneben gibt es die Möglichkeit, aus mikroskopischen Theorien, die zufällig erscheinen, makroskopische Theorien aufzubauen, die (quasi)deterministisch sind.


Zufall quantitativ

In der formalen Welt der Mathematik lassen sich abstrakte Strukturen definieren, die aus der menschlichen Vorstellung bzw. Erwartung von Zufall motiviert sind. Glücksspiele motivierten die ersten mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorien, und werden auch heute noch oft zu ihrer Illustration eingesetzt.

Die folgenden Begriffe sind zentral zur formalen Beschreibung des Zufalls:

(Zufalls)experiment
Die durchgeführten und/oder beobachteten Vorgänge. (z.B. zweimaliges Werfen eines Würfels)
Ergebnis oder Elementar-Ereignis
Beobachtung (z.B. erster Wurf '3', zweiter Wurf '5').
Wahrscheinlichkeit
Jedem Elementarereignis wird ein Zahlenwert zwischen 0 (tritt nie ein) und 1 (tritt immer ein) zugeordnet (z.B. Gleichverteilung: Die Wahrscheinlichkeit für jede Zahl auf dem Würfel ist gleichgroß, nämlich 1/6). Bei einem Kontinuum möglicher Ergebnisse spricht man von einer Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Offensichtlich sind nur solche Zufallsexperimente interessant, die mehr als ein mögliches Ergebnis haben.

Die Statistik versucht, zu einem gegebenen Zufallsexperiment die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung zu ermitteln.


Beispiel eines Zufallsexperimentes

Die Stufen eines Zufallsexperiments sind

  1. Vor dem Experiment: Mindestens 2 Ergebnisse sind möglich, es ist aber noch nichts entschieden.
  2. Das Zufallsexperiment wird durchgeführt.
  3. Aus den mindestens 2 möglichen Ergebnissen wurde eines zufällig ausgewählt.

Das einfachste Zufallsexperiment hat zwei mögliche Ergebnisse, die die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen.

Man kann mit einer Münze diese Art von Zufallsexperiment durchführen und selber Zufallszahlen erzeugen. Dabei ordnet man der einen Seite der Münze die Zahl 0, der anderen die Zahl 1 zu. Durch notieren vieler Wurfergebnisse erhält man eine Folge von 0 und 1. Eine solche Folge ist das Ergebnis eines sehr einfachen Zufallsprozesses.

Die Zufallsfolgen von 0 und 1 sind leicht statistisch untersuchbar. Die Zufallsfolgen sind mit nicht zufälligen 0 und 1 Folgen mischbar. So bekommt man ein recht gutes Verständnis für den Zufall und die Mischung von Zufälligem und Nichtzufälligem, wie es ja oft in der Realität anzutreffen ist.
(...unklar ausgedrückt...)

Ein elementares Zufallsereignis beruht auf Gleichheit und Ungleichheit

  • Die zwei möglichen Varianten müssen gleich (gleichberechtigt) sein
  • Trotzdem müssen sie irgendwie ungleich, nämlich unterscheidbar sein.

(Münze: beide Seiten müssen mit derselben Wahrscheinlichkeit auftreten können, trotzdem müssen beide Seiten verschieden geprägt sein, sonst könnte man sie nicht unterscheiden.)
(...was soll gleichberechtigt heißen?...)

Einige wichtige Basisaussagen über den Zufall:
('...bitte überarbeiten, bzw. klarer formulieren...)

  • Ein elementarer Zufallsprozeß ist der Münzwurf, denn er liefert eine zufällige Entscheidung zwischen 2 Alternativen.
  • Der Zufall hat kein Gedächtnis. (Vergleiche den Begriff Unabhängigkeit in der Stochastik)
  • Je geordneter ein System ist, desto geringer ist der Anteil an Zufall .
  • Eine echte Zufallsfolge von 0 und 1 läßt sich ohne Verlust kaum komprimieren.
  • Echten Zufall kann man sehr genau testen, wenn man das zugrundeliegende Verfahren beliebig wiederholen kann.
  • Zufall heißt nicht, das alles möglich ist. Ein zufälliger Münzwurf kann nur Kopf oder Zahl ergeben.
  • Wenn die Zukunft völlig festgelegt und vorherbestimmt ist, dann gibt es keinen Zufall. (Determinismusproblem)
  • Die Mischung aus zufälligen und gesetzmäßigen Ereignissen wird der Realität am besten gerecht.
  • Bevor man ein Ereignis als zufällig ansieht, sollte man sich eingehende Gedanken darüber machen, ob es wirklich rein zufällig ist. Manchmal ist der Zufall eine allzu bequeme Erklärungsvariante.
  • Ein Maß für die Menge an Zufall, die in einer Zahlenfolge oder einem physikalischen System steckt, ist die Gesamtzufallsmenge oder Entropie

Beispiele für Zufallsgeneratoren

  • Münze
  • Würfel
  • Roulette
  • Urne
  • Reißnagel


Literatur

  • Allan Combs/Mark Holland: Die Magie des Zufalls, Hamburg 1992 ISBN 3499191776

Links

Universität Koblenz-Landau, Abt. Koblenz Fachbereich Informatik
Proseminar im WS 97/98 von Sasa Hasan
Zufallszahlen
Inhalt:
Einleitung
Methoden zur Erzeugung von Zufallszahlen
Linear kongruente Methode
Andere Methoden
Testen von Folgen von Zufallszahlen
Kolmogorov-Smirnov-Test
Anmerkungen zum Spektral-Test
Nicht-gleichverteilte Zufallszahlen
Literaturangaben
§1 Einführung: Was ist Zufall?
§2 Pseudozufallszahlen
§3 Einige mathematische Grundlagen
§4 Lineare Kongruenzgeneratoren
§5 Simulation der Gleichverteilung
§6 Simulation der Dreiecksverteilung
§7 Simulation der Gauß-Verteilung
Die Analyse des Zufalls by Timerding, Heinrich Emil
1.Kap: Der Begriff des Zufalls
2.Kap: Die statistische Methode
3.Kap: Stationäre Zahlenreihen
4.Kap: Das Gesetz der großen Zahl
5.Kap: Die Theorie der Glücksspiele
6.Kap: Die Mathematische Analyse stationärer Reihen
7.Kap: Das Urnenschema
8.Kap: Näherungsformeln
9.Kap: Die statistische Theorie des Zufalls
10.Kap: Die genetische Theorie des Zufalls
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