Sattelpunkt

Rot = Markierung des Sattelpunkts

In der Mathematik bezeichnet man mit Sattelpunkt einen kritischen Punkt einer Funktion, genauer eines Skalarfeldes, der kein Extremwert ist.

eindimensional

Für Funktionen einer Veränderlichen $f:U\to \mathbb {R}$ mit $U\subseteq \mathbb {R}$ ist das Verschwinden der ersten Ableitung an der Stelle $x_{0}$

f'(x_{0})=0

eine Bedingung dafür, dass ein kritischer Punkt vorliegt. Ist die 2. Ableitung an dieser Stelle nicht gleich 0 so liegt ein Extrempunkt und damit kein Sattelpunkt vor. Für einen Sattelpunkt muß also ebenfalls die 2.Ableitung 0 sein. Dies ist allerdings nur eine notwendige Bedingung wie man an der Funktion $f(x)=x^{4}$ sieht. Ist die 3.Ableitung ungleich 0 so liegt ein Sattelpunkt vor. Genauer muß für gerades $n\in \mathbb {N}$ gelten:

f'(x_{0})=f''(x_{0})=...=f^{(n)}(x_{0})=0\wedge f^{(n+1)}(x_{0})\neq 0

Es sind also die ersten n Ableitungen gleich 0 und die (n+1)-te Ableitung ungleich 0.

mehrdimensional

Für Funktionen mehrerer Veränderlichen $F:U\to \mathbb {R}$ mit $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ ist das Verschwinden des Gradienten an der Stelle $x_{0}$