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Arkussekans und Arkuskosekans sind mathematische Funktionen.
Sie sind die Umkehrfunktionen der Sekansfunktion bzw. der Kosekansfunktion und damit Arkusfunktionen .
[
0
,
π
]
{\displaystyle \lbrack 0\,,\,\pi \rbrack }
[
−
π
/
2
,
π
/
2
]
{\displaystyle \lbrack -{\pi /2},\,\pi /2\rbrack }
Schreibweise:
f
(
x
)
=
arcsec
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\operatorname {arcsec} \,(x)}
f
(
x
)
=
arccsc
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\operatorname {arccsc} \,(x)}
Definition
Umkehrfunktionen zu Sekans und Kosekans
Eigenschaften
Graph der Funktion y = arcsec(x) Graph der Funktion y = arccsc(x)
Arkussekans
Arkuskosekans
Definitionsbereich
−
∞
<
x
≤
−
1
,
1
≤
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty }
−
∞
<
x
≤
−
1
,
1
≤
x
<
+
∞
{\displaystyle -\infty <x\leq -1\,,\,1\leq x<+\infty }
Wertebereich
0
≤
f
(
x
)
≤
π
{\displaystyle 0\leq f(x)\leq \pi }
−
π
2
≤
f
(
x
)
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq f(x)\leq {\frac {\pi }{2}}}
Periodizität
keine
keine
Monotonie
In beiden Abschnitten jeweils
In beiden Abschnitten jeweils
Symmetrien
Punktsymmetrie zum Punkt
x
=
0
,
y
=
π
2
{\displaystyle x=0,y={\frac {\pi }{2}}}
Ungerade Funktion
arccsc
(
x
)
=
−
arccsc
(
−
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} \,(x)=-\operatorname {arccsc} \,(-x)}
Asymptoten
f
(
x
)
→
π
2
{\displaystyle f(x)\to {\frac {\pi }{2}}}
x
→
±
∞
{\displaystyle x\to \pm \infty }
f
(
x
)
→
±
π
2
{\displaystyle f(x)\to \pm {\frac {\pi }{2}}}
x
→
±
∞
{\displaystyle x\to \pm \infty }
Nullstellen
keine
keine
Sprungstellen
keine
keine
Polstellen
keine
keine
Extrema
keine
keine
Wendepunkte
keine
keine
Reihenentwicklung
Arkussekans:
arcsec
(
x
)
=
π
2
−
∑
k
=
0
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
x
−
(
2
k
+
1
)
(
2
k
)
!
!
∗
(
2
k
+
1
)
≈
π
2
−
x
−
1
−
1
6
x
−
3
−
3
40
x
−
5
{\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!*(2k+1)}}\approx {\frac {\pi }{2}}-x^{-1}-{\frac {1}{6}}x^{-3}-{\frac {3}{40}}x^{-5}}
Arkuskosekans:
arccsc
(
x
)
=
∑
k
=
0
∞
(
2
k
−
1
)
!
!
x
−
(
2
k
+
1
)
(
2
k
)
!
!
⋅
(
2
k
+
1
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k-1)!!x^{-(2k+1)}}{(2k)!!\cdot (2k+1)}}}
Umkehrfunktion
Arkussekans:
x
=
sec
(
y
)
{\displaystyle x=\operatorname {sec} \,(y)}
Arkuskosekans:
x
=
csc
(
y
)
{\displaystyle x=\operatorname {csc} \,(y)}
Ableitung
Arkussekans:
d
d
x
arcsec
(
a
x
+
b
)
=
a
|
a
x
+
b
|
(
a
x
+
b
)
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} \,(ax+b)={\frac {a}{|ax+b|{\sqrt {(ax+b)^{2}-1}}}}}
Arkuskosekans:
d
d
x
arccsc
(
a
x
+
b
)
=
−
d
d
x
arcsec
(
a
x
+
b
)
=
−
a
|
a
x
+
b
|
(
a
x
+
b
)
2
−
1
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arccsc} \,(ax+b)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcsec} \,(ax+b)=-{\frac {a}{|ax+b|{\sqrt {(ax+b)^{2}-1}}}}}
Integral
Arkussekans:
∫
arcsec
(
x
)
d
x
=
x
⋅
arcsec
(
x
)
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \int \operatorname {arcsec} \,(x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcsec} \,(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
Arkuskosekans:
∫
arccsc
(
x
)
d
x
=
x
⋅
arccsc
(
x
)
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
{\displaystyle \int \operatorname {arccsc} \,(x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arccsc} \,(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}
Umrechnung
arcsec
(
x
)
=
arccos
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {arcsec} \,(x)=\operatorname {arccos} \left({\frac {1}{x}}\right)}
arccsc
(
x
)
=
arcsin
(
1
x
)
{\displaystyle \operatorname {arccsc} \,(x)=\operatorname {arcsin} \left({\frac {1}{x}}\right)}
Siehe auch
