Gleichmäßige Konvergenz

In der Analysis beschreibt gleichmäßige Konvergenz die Eigenschaft einer Funktionenfolge f_n(x), mit einer vom Funktionsargument unabhängigen Geschwindigkeit gegen eine Grenzfunktion f(x) zu konvergieren. Im Gegensatz zu punktweiser Konvergenz erlaubt der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz, wichtige Eigenschaften der Funktionen f_n(x), wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Riemann-Integrierbarkeit, auf die Grenzfunktion f(x) zu übertragen.

Definition

Gegeben sei eine Funktionenfolge f_n, die jeder natürlichen Zahl n eine reellwertige Funktion zuordnet, und eine Funktion f(x). Alle f_n(x) sowie f(x) sind für dieselbe Definitionsmenge D_f definiert. Die Folge f_n(x) konvergiert gleichmäßig gegen f(x) genau dann, wenn

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\,\sup\{\,\left|f_n(x)-f(x)\right| \ \mid x\in\mathbb{D}_f\,\}=0.}

Man betrachtet hier die absolute Differenz von f_n(x) und der Grenzfunktion f(x) für alle x aus dem Definitionsbereich. Die Menge dieser Differenzen hat offensichtlich eine obere Schranke, ein Supremum. Damit f_n gleichmäßig gegen f konvergiert, muss dieses Supremum gegen Null gehen, wenn n gegen Unendlich strebt.

Man kann diesen Sachverhalt auch anders definieren: Alle Bezeichnungen seien wie oben. Dann konvergiert f_n(x) gleichmäßig gegen f(x) genau dann, wenn

$\forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall x\in \mathbb {D} _{f}\ \forall n\geq N:\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,$

d.h., wenn es für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl N gibt, so dass für alle x aus D_f und alle n ≥ N gilt: $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$.

Hierbei wird deutlich, dass die Wahl von N bei gleichmäßiger Konvergenz nur von ε abhängt. Im Gegensatz dazu hängt bei punktweiser Konvergenz N sowohl von ε als auch von x ab, für diese schwächere Form von Konvergenz gilt:

$\forall x\in \mathbb {D} _{f}\ \forall \varepsilon >0\ \exists N\in \mathbb {N} \ \forall n\geq N:\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon ,$

d.h. für punktweise Konvergenz muss es für jedes x für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl N geben, so dass für alle n ≥ N gilt: $\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon$.

Offenbar folgt aus gleichmäßiger die punktweise Konvergenz, aber nicht umgekehrt.

Folgerungen

Wie schon erwähnt, ermöglicht der Begriff der gleichmäßigen Konvergenz ausgehend von Eigenschaften der Folge Aussagen über die Grenzfunktion, was bei punktweiser Konvergenz nicht möglich ist. Im Folgenden seien die Bezeichnungen wie bei der Definition oben, I sei ein reelles Intervall. Es ergeben sich folgende Sätze:

Stetigkeit

Es sei f_n eine Folge stetiger Funktionen. Wenn f_n gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist f stetig.

Differenzierbarkeit

Für die Differenzierbarkeit der Grenzfunktion ergibt sich kein derart starkes Resultat wie für die Stetigkeit. Es seien die f_n differenzierbar auf I und gleichmäßig konvergent gegen f. Im Allgemeinen braucht die Grenzfunktion nicht einmal differenzierbar sein, und wenn sie es ist, muss ihre Ableitung keineswegs gleich dem Grenzwert der Ableitungen der Folge sein. So konvergiert z.B. f_n= 1/n sin(nx) gleichmäßig gegen 0, die Ableitungen aber nicht. Allgemein kann man sagen:

Es seien alle f_n differenzierbar. Wenn f_n gleichmäßig gegen f und die Ableitungen f_n' gleichmäßig gegen g konvergieren, dann ist f differenzierbar mit der Ableitung g.

Integrierbarkeit

Für das Riemann-Integral können bei gleichmäßiger Konvergenz Integration und Grenzwertbildung kommutieren:

Es seien alle f_n (Riemann-)integrierbar. Wenn f_n gleichmäßig gegen f konvergiert, dann ist f Riemann-integrierbar, und das Integral von f ist der Grenzwert der Integrale von f_n.

Für des Lebesgue-Integral reicht schon punktweise Konvergenz für wesentlich stärkere Resultate.

Satz von Dini

Wenn I ein kompaktes Intervall und f_n eine monoton wachsende Folge stetiger Funktionen ist (monoton wachsend bedeutet in diesem Zusammenhang f_n+1(x) $\geq$ f_n(x)), die punktweise gegen eine ebenfalls stetige Funktion f konvergiert, dann konvergiert f_n auch gleichmäßig.

Ebenfalls gilt:

Wenn I ein kompaktes Intervall und f_n eine gleichstetige Folge ist, die punktweise gegen f konvergiert, so konvergiert sie auch gleichmäßig.