Lineare Algebra

Die lineare Algebra beschäftigt sich mit Matrizen, Vektoren und Vektorräumen.

Ein Vektor ist eine strukturierte Ansammlung von Zahlen:

 / 3 \
|  7  |
|  6  |
 \ 1 /

(Spaltenvektor) oder

(3,7,3,8)

(Zeilenvektor). Die Bezeichnungen variieren:

• Kleinbuchstaben
• fetter Kleinbuchstaben
• unterstrichener Kleinbuchstaben
• Kleinbuchstaben mit einem Pfeil darüber

Dieser Artikel verwendet Kleinbuchstaben.

Auch eine Matrix ist eine strukturierte Ansammlung von Zahlen:

 / 8 2 9 \
|  4 8 2  |
|  8 2 7  |
 \ 5 9 1 /

Sie ist kann quadratisch sein (wichtiger Spezialfall). Matrizen werden meist mit Grossbuchstaben bezeichnet.

Der Einfachheit halber sind in diesem Artikel vorläufig alle Matrizen quadratisch, sie haben n Spalten und n Zeilen.

wichtigste Rechenregeln

• mit einem Index wird auf die Elemente eines Vektors (Bsp: x₂) oder einer Matrix (Bsp: a₁₃ ist dritte Element in der ersten Zeile) zugegriffen
• Vektoraddition: elementweise zusammenzählen

     / 1 \   / 3 \   /  4 \
     | 2 | + | 7 | = |  9 |
     \ 9 /   \ 2 /   \ 11 /

• Matrixaddition: elementweise zusammenzählen

     / 2 8 3 \   / 3 7 1 \   /  5 15  4 \
     | 2 9 4 | + | 8 4 6 | = | 10 13 10 |
     \ 7 3 1 /   \ 7 3 4 /   \ 14  6  5 /

• Skalarmultiplikation

       / 3 \   / 6 \
     2*| 4 | = | 8 |
       \ 1 /   \ 2 /

       / 3 8 4 \   /  6 16 8 \
     2*| 9 4 1 | = | 18  8 2 |
       \ 4 7 2 /   \  8 14 4 /

• Matrixmultiplikation

     C = A*B
     cij = &sumnk=1aik bkj

• die Matrixmultiplikation funktioniert auch mit Matrizen und Vektoren. Dafür müssen im folgenden Beispiel diese Bedingungen erfüllt sein:
  • x ist ein Spaltenvektor mit gleichvielen Einträgen wie A Spalten hat
  • y ist ein Zeilenvektor mit gleichvielen Einträgen wie B Zeilen hat
  • u ist ein Zeilen-, v ein Spaltenvektor. Die beiden Vektoren haben gleich viele Einträge

     A*x    y*B   u*v

Lineare Gleichungssysteme

Ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems:

  x1 +  x2 + 2x3 = 1
 2x1 + 3x2 + 3x3 = 4
 4x1 + 4x2 + 5x3 = 2

Aus diesen drei Gleichungen sollen nun die Werte von x₁, x₂ und x₃ berechnet werden. Dazu wird das System zuerst in Matrizen und Vektoren übersetzt:

            / 1 1 2 \       / x1 \       / 1 \
 Ax=b,  A = | 2 3 3 |,  x = | x2 |,  b = | 4 |
            \ 4 4 5 /       \ x3 /       \ 2 /

Hier kann nun der Gauss-Algorithmus angewendet werden.

Gauss-Algorithmus

Um Schreibarbeit zu sparen, wird die letzte Formel nochmal umgeschrieben:

1 1 2 | 1
2 3 3 | 4
4 4 5 | 2

Nun wird von der zweiten und der dritten Zeile jeweils das doppelte bzw vierfache der ersten Zeile abgezogen. Das entstehende System:

1 1  2 |  2
0 1 -1 |  2
0 2  1 | -2

Im nächsten Schritt wird von der dritten Zeile das doppelte der zweiten Zeile abgezogen:

1 1  2 |  2
0 1 -1 |  2
0 0  3 | -4

Dadurch entsteht aus A eine Matrix, in der alle Einträge links unterhalb der Diagonale 0 sind. Nun wird das System wieder umgeschrieben:

x1 + x2 + 2x3 =  2
     x2 -  x3 =  2
          3x3 = -4

Die dritte Gleichung kann einfach gelöst werden (einfach heisst nicht, dass es keine Brüche gibt...):

x3 = -4/3

Wenn man das nun in die zweite Gleichung einsetzt, kann auch diese leicht gelöst werden:

x2 + 4/3 = 2
⇒ x2 = 2/3

Die beiden Ergebnisse werden in die erste Gleichung eingesetzt:

x1 + 2/3 + 8/3 = 2
⇒ x1 = 2 - 10/3 = -4/3

Nun sind die drei "Unbekannten" x₁, x₂ und x₃ bekannt geworden, das Gleichungssystem ist gelöst:

     / -4/3 \
 x = |  2/3 |
     \ -4/3 /

weitere Algorithmen der linearen Algebra

• Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren zur Konstruktion von Orthonormalbasen