Benutzer:Nzds1

Allerlei

Ich benutze diese Seite um bequem LaTeX-Formeln veröffentlichen zu können und insgesamt ein bisschen mit den Funktionen von Wikipedia rumzuspielen.

Mathe

$\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2$

Verrückt, nicht wahr?

Phonetik

Resonanzfrequenzen in Röhren

Beidseitig geschlossene Röhre

Hier soll zunächst die (erste) Resonanzfrequenz einer 10cm langen beidseitig geschlossenen Röhre berechnet werden. Auf der einen Seite ist die Röhre durch die Schallquelle, auf der anderen Seite durch eine Wand geschlossen. Als Wert für die Schallgeschwindigkeit wird hier 35.000cm/s angenommen. Die Wellenlänge der ersten Resonanzfrequenz (λ) in dieser Röhre beträgt zweimal die Länge der Röhre (2L). Die Erklärung hierfür ist, dass das Luftdruck-Maximum, welches zu Beginn durch die Schallquelle auf der einen Seite gesendet wird (vgl. Longitudinalwelle), zunächst bis zur gegenüberliegenden Wand wandert (erstes L), dort reflekiert wird, und den gleichen Weg nochmal zurückwandert um zur Schallquelle zurückzukehren (zweites L).

$F_{1}={\frac {c}{2\cdot L}}={\frac {35000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{20\mathrm {cm} }}=1750\mathrm {s} ^{-1}=1750\mathrm {hz}$

Die zweite Resonanzfrequenz ist das Doppelte der ersten Resonanzfrequenz. Das liegt daran, dass die Wellenlänge in diesem Fall die Hälfte (= 10cm) beträgt. Es ergibt sich folgende Resonanzfrequenz:

$F_{2}={\frac {c}{L}}={\frac {35000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{10\mathrm {cm} }}=3500\mathrm {hz}$

Im allgemeinen Fall berechnet sich die Resonanzfrequenz in einer beidseitig geschlossenen Röhre wie folgt:

$F_{n}={\frac {n\cdot c}{2\cdot L}}$

Einseitig geschlossene Röhre

In dieser Variante fehlt die reflektierende Verschlusswand auf der einen Seite der Röhre. Diese Konstellation aus Schallquelle und folgendem Resonanzraum in Form einer offenen Röhre wird im Quelle-Filter-Modell aufgefriffen um die Realisierung von Lauten der natürlichen Sprache bei deren Produktion die Lippen geöffnet sind (insbesondere Vokale) vereinfacht nachzubilden.

Für die Berechnung der Resonanzfrequenz ist jedoch wichtig, dass trotz der fehlenden Wand eine Art Reflektion stattfindet. Beim Heraustreten aus dem Vokaltrakt trifft die Luft an den Lippen auf eine unbewegliche äußere Luftmasse. Hier werden die Schallwellen polarisiert zurückgeworfen (ein Luftdruck-Maximum wird als ein Minimum reflektiert). Hieraus ergibt sich, dass ein Luftdruck-Maximum vier Perioden braucht um als solches wieder bei der Schallquelle anzukommen. Es wandert als Maximum los, wird an der Öffnung als Minimum reflektiert (erstes L), kommt somit als Minimum zur Schallquelle zurück (zweites L), um dann ein weiteres Mal an der Öffnung polarsiert reflektiert zu werden (drittes L) und letztlich als Maximum zur Schallquelle zurückzukehren (viertes L). Die Wellenlaenge λ der ersten Resonanzwelle ist also 4L. Für unsere 10cm lange Röhre ergibt sich folgende erste Resonanzfrequenz:

$F_{1}={\frac {c}{4\cdot L}}={\frac {35000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{40\mathrm {cm} }}=875\mathrm {s} ^{-1}=875\mathrm {hz}$

Für die zweite Resonanzfrequenz gilt:

$F_{2}={\frac {3\cdot c}{4\cdot L}}={\frac {105000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{40\mathrm {cm} }}=2625\mathrm {hz}$

Allgemein gilt:

$F_{n}={\frac {(2n-1)\cdot c}{4\cdot L}}$

Länge des Vokaltrakts bestimmen

Mit Hilfe der letztgenannten Formel lässt sich u.A. auch die Länge eines Vokaltrakts ausrechnen. Bei der Artikulation des mittleren Zentralvokals Schwa kommt der Vokaltrakt dem idealisierten Ansatzrohr am nächsten, da die Luft aus den Lungen ungehindert ausströmen kann. Insofern lässt sich Anhand der durch die erwähnten Resonanzcharakteristika des offenen Rohres entstehenden Energiemaxima im Spektrum des produzierten Schwas, die Länge des Vokaltrakts zurückberechnen.

Die oben beschriebene Formel zur Berechnung der ersten Resonanzfrequenz lässt sich nun leicht umstellen um auf die Länge des Vokaltrakts zu kommen.

$L={\frac {(2n-1)\cdot c}{4\cdot F_{n}}}$

Für einen Sprecher dessen erster Formant (siehe unten) bei der Produktion von Schwa nun einen Wert von 560hz ergibt, lässt sich somit folgendes berechnen:

$L={\frac {35000\mathrm {\frac {cm}{s}} }{2240\mathrm {hz} }}=15{,}625\mathrm {cm}$. Dies würde eher auf einen weiblichen Sprecher hindeuten.

Quelle-Filter-Modell

Wie oben bereits angedeutet lässt sich der menschliche Vokaltrakt in einer stark vereinfachten Form als einseitig geschlossene Röhre beschreiben. Die Länge dieser „Röhre“, welche sich von der Glottis bis zu den Lippen erstreckt, liegt im Bereich von 17,5cm. Die Stimmlippen an der Glottis werden zur Produktion stimmhafter Laute durch Luft, die aus dem Brustkorb strömt, in Schwingungen versetzt bzw. nehmen zur Produktion stimmloser Laute bestimmte Stellungen ein. Sie stellen die Quelle des Modells dar. Der produzierte Sprachschall kann durch verschiedene Konstriktionen im Vokaltrakt modifiziert werden, um die unterschiedlichen Lautklassen zu produzieren.

Das von den Stimmlippen produzierte Quellsignal ist eine komplexe periodische Welle, die sich aus Sinuswellen unterschiedlicher Frequenzen zusammensetzt. Die Anzahl der Wiederholungen dieser Welle pro Sekunde bezeichnet die Grundfrequenz des Sprachsignals.

Wie oben beschrieben besitzt eine einseitig geschlossene Röhre verschiedene Resonanzfrequenzen. Diese führen bei der Sprachproduktion dazu, dass jene Frequenzanteile des komplexen Sprachsignals, die diesen Resonanzfrequenzen entsprechen besonders verstärkt werden, während die Frequenzen, die den Resonanzfrequenzen nicht entsprechen, abgeschwächt werden. Dieses System ähnelt einem im Endeffekt dem Einsatz von Bandpassfiltern. Insgesamt lässt sich so die Bezeichnung „Quelle-Filter-Modell“ erklären.

Die Werte der Resonanzfrequenzen des Vokaltrakts, bei der Artikulation eines bestimmten Lautes, hängen von der Länge des Vokaltrakts und seiner Form ab.