Grundlagen der Mathematik

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Die Bezeichnung Grundlagen der Mathematik wird manchmal benutzt für mathematische Teilgebiete wie Mathematische Logik, axiomatische Mengenlehre, Beweistheorie, Modelltheorie und die Theorie der Berechenbarkeit. Diese Diziplinen berühren die Frage nach Inhalt und Maßstab für die Richtigkeit mathematischer Aussagen. Sie liegen damit an der Schnittstelle von Mathematik und Philosophie. Aus Sicht der Philosophie der Mathematik geht es um die zentrale Frage, auf welcher Grundlage mathematische Aussagen als wahr angesehen werden können.

Philosophische Grundlegungen der Mathematik

Aus Sicht der Philosophie der Mathematik gibt es hierzu mehrere Standpunkte.

Der Platonische Realismus in der Mathematik, wie er etwa von Kurt Gödel vertreten wurde, geht davon aus, dass die Gegenstände der Mathematik unabhängig vom Menschen existieren. Wahrheiten über diese Gegenstände, also mathematische Sätze, müssen von den Menschen also entdeckt werden. Aus diese Sicht haben die Gesetze der Mathematik einen sehr ähnlichen Charakter wie die Naturgesetze. Grundlage sind nicht von Menschen gesetzte Axiome, sondern die durchaus reale Welt der mathematischen Objekte. Zu klären bleibt die Frage: Wodurch erhalten wir Zugang zu dieser Welt?

Für den Formalismus, wie er am klarsten von David Hilbert formuliert wurde, besteht die Grundlage der Mathematik in axiomatischer Mengenlehre und formaler Logik. Tatsächlich können heute alle mathematischen Sätze als Sätze der Mengenlehre formuliert werden. Aus dieser Sicht besteht die Wahrheit einer mathematischen Aussage ausschließlich darin, dass sie aus einem Axiomensystem der Mengenlehre nach den Regeln der formalen Logik hergeleitet werden kann. Ein Bezug zur äußeren Wirklichkeit ist danach nicht Gegenstand der Untersuchung.

Der Intuitionismus sieht in der Mathematik das Produkt einer Tätigkeit des menschlichen Geistes.

die Theorie der Berechenbarkeit zu den Grundlagen hinzugenommen.

Siehe auch

• Metamathematik
• Formalisierte Theorie
• Formalismus (Mathematik)
• Hilbertprogramm

Literatur

• W. S. Anglin: Mathematics. A Concise History and Philosophy, 2. A., New York: Springer 1996, ISBN 0387942807, Kap. 39
• Paul Benacerraf/Hilary Putnam: Philosophy of Mathematics, Selected Readings, 2. A. 1983, ISBN 9780521296489
• L.E.J. Brouwer: Over de grondslagen der wiskunde ("Grundlagen der Mathematik") 1907
• W. B. Ewald (Hg.): From Kant to Hilbert: Readings in the Foundations of Mathematics, 2 Bde., Oxford: Clarendon 1996
• Marcus Giaquinto: The Search for Certainty: A Philosophical Account of the Foundations of Mathematics, Oxford: Oxford University Press 2002
• Wilbur Dyre Hart (Hg.): The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK 1996.
• David Hilbert/Paul Bernays, Grundlagen der Mathematik, I-II, Berlin/Heidelberg/New York 2. A. 1970
• Philip Kitcher: Kant and the Foundations of Mathematics, in: Phil. Review 84 (1975), 23-50.
• Imre Lakatos: A renaissance of empiricism in the recent philosophy of mathematics?, in: British Journal for the Philosophy of Science 27/3 (1976), 201-223
• P. Mancosu (Hg.): From Hilbert to Brouwer. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, Oxford, UK 1998.
• Charles Parsons: Foundations of Mathematics, in: P. Edwards (Hg.): Encyclopaedia of Philosophy, Bd. 5., Macmillan, New York 1967, 188–213
• Hilary Putnam: "Mathematics Without Foundations", Journal of Philosophy 64/1 (1967), 5–22, auch in: ders.: Philosophical Papers, vol 1, 2. A. Cambridge UP 1979, auch in Hart 1996, 168-184
• Christian Thiel: Grundlagenkrise und Grundlagenstreit, Studie über das normative Fundament der Wissenschaften am Beispiel von Mathematik und Sozialwissenschaft, Meisenheim am Glan 1972 ISBN 3-445-00883-3
• Christian Thiel: Das Begründungsproblem der Mathematik und die Philosophie, in: F. Kambartel / J. Mittelstraß (Hgg.): Zum normativen Fundament der Wissenschaften, Athenäum: Frankfurt am Main 1973, 91-114
• Thomas Tymoczko (Hg.): New Directions in the Philosophy of Mathematics, 2. A. 1998.
• Ludwig Wittgenstein: Bemerkungen über die Grundlagen der Mathematik, Suhrkamp, Frankfurt am Main 1984. (Werkausgabe Bd. 6).
• Crispin Wright: Wittgenstein on the Foundations of Mathematics. London: Duckworth 1980.

Weblinks

• Mark Colyvan: Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Solomon Feferman: The development of programs for the foundations of mathematics in the first third of the 20th century
• Kurt Gödel: The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy (1961)
• William S. Hatcher: Foundations of Mathematics. An Overview at the Close of the Second Millennium
• Geoffrey Hellman und John L. Bell: Pluralism and the Foundations of Mathematics
• David Hilbert: The Foundations of Mathematics (1927)
• Leon Horsten: Philosophy of mathematics. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Frank Paul Ramsey: The Foundations of Mathematics (1925)
• A. Sakharov: Foundations of Mathematics Linksammlung
• S. G. Simpson: Foundations of Mathematics Materialien
• Paul Taylor: Practical Foundations of Mathematics, Cambridge University Press 1999, ISBN 0 521 63107 6.
• Richard Zach: Hilbert's Program. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Richard Zach: Hilbert's Program Then and Now, in: Dov M. Gabbay, Paul Thagard und John Woods: Handbook of the Philosophy of Science, Bd. 5: Dale Jacquette (Hg.): Philosophy of Logic, 2006
• Edward N. Zalta: Frege's Logic, Theorem, and Foundations for Arithmetic. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.