Kurvendiskussion

Unter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung der Kurve einer Funktion auf Nullstellen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, Polstellen und deren Verhalten im Unendlichen. Mit diesem Wissen ist es recht einfach, eine Skizze der Kurve anzufertigen.

Nullstellen

Um die Nullstellen einer Funktion f zu finden, berechnet man die Lösungsmenge der Gleichung f(x)=0. Wie man dabei vorgeht hängt davon ab, welche Funktion man untersucht. Ebenso ist es oft sinnvoll den Schnittpunkt mit der y-Achse zu bestimmen, also f(0) zu berechnen.

Extrempunkte

Um die Extrempunkte stetig differenzierbaren Funktion f zu finden, setzt man die erste Ableitung von f mit Null gleich (sog. notwendige Bedingung), das heißt, man berechnet die Lösungsmenge der Gleichung f '(x)=0. Alle Lösungen sind mögliche Extremstellen. Erfüllt eine mögliche Extremstelle eine weitere (sogenannte hinreichende) Bedingung, z.B. dass die zweite Ableitung in dieser Stelle nicht 0 ist, dann handelt es sich um eine Extremstelle, genauer: ist die zweite Ableitung größer als 0, handelt es sich um ein lokales Minimum, ist sie kleiner als 0, handelt es sich um lokales Maximum. Ist sie jedoch auch gleich 0, muss man weitere Untersuchungen anstellen, um zu entscheiden, ob eine Extremstelle vorliegt oder nicht.

Anschaulich bedeutet f '(x)=0, dass an dieser Nullstelle x_N die Tangente waagrecht verläuft, d.h. eine Steigung von "0" hat.

f ''(x) kleiner 0 besagt, dass die Steigung der Tangente in der Umgebung des Punktes x_N fällt. Da die Tangente im Punkt x_N die Steigung 0 hat, muss sie für Werte "wenig" kleiner als x_N größer als 0 sein, also steigen, und für Werte "wenig" größer als x_N kleiner 0 sein, also fallen. Das wiederum bedeutet, dass die Funktion f(x) vor x_N steigt und hinter x_N fällt. Damit ist f(x_N) ein lokaler Hochpunkt.

Diese Anschauung kann man nutzen, wenn man die Bestimmung der zweiten Ableitung umgehen will oder wenn das Kriterium zu keiner Entscheidung führte (s.o.). Während auf Hochschulniveau wegen der Unklarheit des "wenig kleiner/größer" eine links- und rechtsseitige Grenzwertbetrachtung notwendig ist, reicht es auf Schulniveau, ein etwas kleineren und einen etwas größeren Wert als die mögliche Extremstelle in die erste Ableitung einzusetzen und zu überprüfen, ob sich das Vorzeichen ändert (Extremstelle) oder nicht (keine Extremstelle, aber möglicherweise Sattelstelle).

Historische Randbemerkung: Die Bestimmung der Extrema aus der Tangentensteigung wurde erstmals von Fermat vorgeschlagen (in einem Brief an Descartes), lange bevor es einen klaren Ableitungsbegriff gab.

Wendepunkte

Die Wendepunkte einer 2 mal stetig differenzierbaren Funktion f sind die Extrempunkte der Ableitungsfunktion f'. Man erhält sie, indem man die zweite Ableitung mit Null gleichsetzt, d.h. die Lösungsmenge der Gleichung f ''(x)=0 berechnet. Auch hier hat man es nur mit einer notwendigen Bedingung zu tun, sodass weitere Untersuchungen notwendig sind. Wenn zum Beispiel die dritte Ableitung der Funktion f an der fraglichen Stelle ungleich Null ist, so handelt es sich tatsächlich um eine Wendestelle. Ist der Wert der dritten Ableitung an diesem Punkt größer 0, handelt es sich um einen Wendepunkt mit Übergang Rechtskrümmung->Linkskrümmung, ist er jedoch kleiner 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt mit Übergang Linkskrümmung->Rechtskrümmung.

Polstellen

Um Polstellen zu finden, untersucht man, ob die Funktion Stellen enthält, an denen die Funktion nicht definiert ist....

Verhalten im Unendlichen

Um das Verhalten im Unendlichen herauszufinden, untersucht man den Grenzwert der Funktion f(x), wenn x über alle Grenzen wächst, also gegen ∞ geht,

\lim _{x\to \infty }f(x)\;,

Entsprechendes für -∞.

Beispiel: Ganzrationale Funktion

Die zu untersuchende Funktion sei:

f(x)=3x^{3}-5x^{2}+8

Der Graph der Funktion f ist im Bild schwarz dargestellt, zudem sind die erste und zweite Ableitung eingetragen:

Nullstellen

Mit der Formel von Cardano, durch Ausprobieren, oder mit dem Wissen, dass ganzzahlige Nullstellen ein Teiler des Konstanten Faktors 8 sind, findet man hier die einzige reelle Nullstelle x₀= -1:

Hoch- und Tiefpunkte

Die erste Ableitung ist

f '(x) = 9x² - 10x

Diese besitzt bei x₁=0 und bei x₂=10/9 eine Nullstelle.

Die zweite Ableitung

f ''(x) = 18x - 10

hat an diesen Stellen die Werte -10 bzw. 10, d.h. bei x₁ hat die Funktion einen Hochpunkt und bei x₂ einen Tiefpunkt.

Wendepunkte

Die zweite Ableitung wird für x₃=5/9 Null, d.h. dort findet sich ein Wendepunkt.

Polstellen gibt es bei Polynomen nicht. Als Polynom ungeradzahliger Ordnung (höchster Exponent bei x³) geht die Funktion gegen +∞ bzw. -∞, wenn x gegen +∞ bzw. -∞ geht.

Beispiel: Gebrochen rationale Funktion

Anmerkung: Sehr fraglich ist, ob dieses recht komplexe Beispiel die grundsätzliche Problematik verstehen hilft oder einen eher durchschnittlich begabten Schüler durch die schwierigen algebraischen Umformungen nicht abschreckt, womit der Sinn des Beispiels dann verfehlt wäre.

Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung

${f(x)}={{x^{3}-4x^{2}+4x} \over {4x^{2}-8x+4}}$

Definitionsbereich

Die Funktion ist nur dort definiert, wo der Nenner ungleich 0 ist. Untersuchung des Nenners auf Nullstellen ergibt:

$4x^{2}-8x+4=0$

$x^{2}-2x+1=0$

$x=1+{\sqrt {1-1}}=1$ oder $x=1-{\sqrt {1-1}}=1$

Die Quadratische Gleichung hat eine doppelte Lösung bei x = 1. Nur bei x = 1 wird also der Nenner 0. Der Definitionsbereich ist folglich

$\mathbb {D} =\mathbb {R}$ \ {1} .

(Menge der reellen Zahlen ausgenommen die 1). Wir vermerken bei der Gelegenheit, dass der Nenner in Linearfaktoren zerlegt als

4(x-1)(x-1) oder 4(x-1)²

geschrieben werden kann.

Nullstellen

Die Bedingung für Nullstellen ist f(x) = 0. Hierzu genügt es, dass der Zähler 0 wird, solange nicht zugleich der Nenner 0 wird. Untersuchung des Zählers auf Nullstellen ergibt:

$x^{3}-4x^{2}+4x=0$

$x(x^{2}-4x+4)=0$

$x=0$ oder $x=2+{\sqrt {4-4}}=2$ oder $x=2-{\sqrt {4-4}}=2$

Der Zähler hat eine einfache Nullstelle bei x = 0 und eine doppelte bei x = 2. Beide Stellen liegen im Definitionsbereich. f(x) hat also die Nullstellen x₁ = 0 sowie x₂ = x₃ = 2.

Wir vermerken, dass der Zähler demnach in Linearfaktoren zerlegt als

x(x-2)(x-2)=x(x-2)^{2}

geschrieben werden kann.

Polstellen

An der Stelle x=1 hat der Nenner eine zweifache Nullstelle, ohne dass zugleich der Zähler 0 wird. Es liegt also eine Polstelle bei x=1 vor. (Sollte der Zähler auch 0 werden, so muss für eine Polstelle die Ordnung der Nennernullstelle größer als die Ordnung der Zählernullstelle sein).

Symmetrie

Der Graph der Funktion wird an dieser Stelle auf Symmetrie untersucht. In der Regel zu erst auf Achsensymmetrie (A.S.) zur y-Achse und danach auf Punktsymmetrie (P.S.) zum Ursprung des Koordinatensystems. Die Bedingung für Achsensymmetrie ist $f(x)=f(-x)$ . Am Beispiel ${f(x)}={{x^{3}-4x^{2}+4x} \over {4x^{2}-8x+4}}$ steht für f(-x) nach dem Ausmultiplizieren ${f(-x)}={{-x^{3}+4x^{2}-4x} \over {4x^{2}+8x+4}}$ . Da f(-x)ungleich f(x) ist, ist der Graph von f nicht achsensymmetrisch. Das gleiche Spiel gilt für die Punktsymmetrie, nur hier lautet die Bedingung $f(x)=f(-x)$ . Führst du die Rechnung hier weiter, nimmst du f(-x) und setzt vor den Bruch ein Minus. Dann entscheidest du dich, ob das Minus in den Zähler oder Nenner gezogen werden soll. In diesem Fall ist es egal, denn der Graph von f ist auch nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Fazit: Der Graph im Beispiel besitzt keine Symmetrie.

Ableitungen

Wir bilden die Ableitungen von

${f(x)}={{x(x-2)^{2}} \over {4(x-1)^{2}}}$

(Die Darstellung in Linearfaktoren ist zweckmäßiger, da sie das Ausklammern und Kürzen vereinfacht.) Dies ergibt zunächst

${f'(x)}={{(2x(x-2)+(x-2)^{2})(x-1)^{2}-x(x-2)^{2}\cdot 2(x-1))} \over {4(x-1)^{4}}}$

$={{(2x(x-2)+(x-2)^{2})(x-1)-2x(x-2)^{2})} \over {4(x-1)^{3}}}$

$={{(x-2)(2x+(x-2))(x-1)-2x(x-2))} \over {4(x-1)^{3}}}$

$={{(x-2)(3x-2)(x-1)-2x(x-2))} \over {4(x-1)^{3}}}$

$={{(x-2)(3x^{2}-3x-2x+2-2x^{2}+4x)} \over {4(x-1)^{3}}}$

$={{(x-2)(x^{2}-x+2)} \over {4(x-1)^{3}}}$

für die erste Ableitung. Dann wird die zweite Ableitung

${f''(x)}={{((x-2)(2x-1)+(x^{2}-x+2))(x-1)^{3}-(x-2)(x^{2}-x+2)\cdot 3(x-1)^{2}} \over {4(x-1)^{6}}}$

$={{((x-2)(2x-1)+(x^{2}-x+2))(x-1)-3(x-2)(x^{2}-x+2)} \over {4(x-1)^{4}}}$

$={{2x^{3}-x^{2}-4x^{2}+2x-2x^{2}+x+4x-2+x^{3}-x^{2}-x^{2}+x+2x-2-3x^{3}+3x^{2}-6x+6x^{2}-6x+12} \over {(x-1)^{4}}}$

$={{-2x+8} \over {4(x-1)^{4}}}$

$={-{x-4} \over {2(x-1)^{4}}}$

und die dritte

${f'''(x)}={-{(x-1)^{4}-(x-4)4(x-1)^{3}} \over {2(x-1)^{8}}}$

$={-{(x-1)-4(x-4)} \over {2(x-1)^{5}}}$

$={-{x-1-4x+16} \over {2(x-1)^{5}}}$

$={{3x-15} \over {2(x-1)^{5}}}$

Hoch- und Tiefpunkte

Hierfür muss f '(x) = 0 werden. Es genügt, die Nullstellen des Zählers zu untersuchen:

$(x-2)(x^{2}-x+2)=0$

hat die Lösung x = 2. Die zweite Klammer hat keine reellen Lösungen. x = 2 liegt im Definitionsbereich. Der Funktionswert an dieser Stelle ist f(2) = 0, da oben bereits eine Nullstelle bei x=2 erkannt wurde. Die zweite Ableitung ist an dieser Stelle f''(2) = 1 > 0, es handelt sich also um einen Tiefpunkt bei (2|0).

Wendepunkte

Hierzu muss f ''(x) = 0 werden. Es genügt wieder, die Nullstellen des Zählers zu untersuchen.

$-(x-4)=0$

hat eine Lösung bei x = 4. x = 4 liegt im Definitionsbereich. Der Funktionswert an dieser Stelle ist f(4) = ⁴/₉. Die dritte Ableitung an dieser Stelle ist f'''(⁴/₉) = 129,12 also ungleich 0. Damit liegt ein Wendepunkt bei (4|⁴/₉).

Asymptoten

An der Polstelle, also bei x = 1, liegt eine senkrechte Asymptote. Da der Grad des Zählers (3) größer ist als der des Nenners (2), wird f(x) gegen ∞ gehen für x gegen ∞. Die Differenz 3-2=1 gibt an, dass sich der Graph an eine lineare Funktion (Gerade) asymptotisch annähern wird. Die Geradengleichung folgt durch Polynomdivision:

${(x^{3}-4x^{2}+4x):(4x^{2}-8x+4)}={{1 \over 4}x-{1 \over 2}+{{x-2} \over {4x^{2}-8x+4}}}$

Für x gegen ∞ geht der letzte Term gegen 0. Die Gleichung der Asymptote ist also

${a(x)}={{1 \over 4}x-{1 \over 2}}$

Graph

Siehe auch: Differentialrechnung