Primfaktorzerlegung

In der Mathematik versteht man unter der Primfaktorzerlegung, auch als Zerlegung in Primfaktoren bezeichnet, die Darstellung einer positiven natürlichen Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen. Jede "Nichtprimzahl" np (np > 1) wird als zusammengesetzte Zahl bezeichnet.

Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ist dabei die Darstellung dieser Zahl als Produkt von Primzahlen. Beispiel:

$1200=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5$

$6936=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 17\cdot 17$

Die in der Primfaktorzerlegung einer Zahl auftretenden Primzahlen nennt man die Primfaktoren dieser Zahl. Zum Beispiel hat 6936 die Primfaktoren 2, 3 und 17.

Dass die Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist, ist Aussage des Fundamentalsatzes der Arithmetik.

Es gibt Faktorisierungsverfahren, die eine Zahl in ihre Primfaktoren zerlegt.

Kanonische Darstellung

${\frac {1200}{6936}}=2\cdot 5^{2}\cdot 17^{-2}$

Eigenschaften

Die Primfaktorzerlegung der 1 besteht aus dem leeren Produkt (welches hier per Definition den Wert 1 hat) und die einer Primzahl p besteht aus dem einzigen Faktor p. Eine natürliche Zahl, die nicht selbst Primzahl ist, nennt man zusammengesetzt; ihre Primfaktorzerlegung besteht aus mehr als einem Faktor (möglicherweise auch mehrmals demselben).

Die Schwierigkeiten zur Zerlegung einer Zahl in ihre Primfaktoren werden als Faktorisierungsprobleme bezeichnet.

Verallgemeinerung

In einem kommutativen unitären Ring kann man den Begriff des Primelements definieren und fragen, ob jedes Element eine Primfaktorzerlegung hat, und ob diese eindeutig ist. Dabei stellt man fest, dass dies nicht immer so sein muss, z. B. hat die Zahl 4 im Ring Z[√-3] keine Primfaktorzerlegung.

Falls jedoch eine Primfaktorzerlegung existiert, dann ist diese (bis auf Reihenfolge und Einheiten) eindeutig.

In einem faktoriellen Ring existiert stets eine Primfaktorzerlegung.