Loxodrome

Gegenüberstellung von Loxodrome und Orthodrome

Die Loxodrome (gr. loxos „schief“, dromos „Lauf“) ist eine Kurve auf einer Kugeloberfläche, die immer unter dem gleichen Winkel die Meridiane im Geographischen Koordinatensystem schneidet und daher auch Kursgleiche, Winkelgleiche oder Kurve konstanten Kurses genannt wird.

Außer bei Spezialfällen, Schnittwinkeln 0° und Schnittwinkeln 90°, ist die Loxodrome nicht geschlossen. Sie windet sich spiralförmig um die Erde herum und nähert sich dabei den Polen an. Im streng mathematischen Sinn erreicht die Loxodrome dabei nie den Pol, sondern nähert sich ihm nur asymptotisch an, während sie sich unendlich oft um die Polregion windet.

Beim Spezialfall eines Schnittwinkels von 0° ist die Loxodrome selbst ein Meridian und somit Großkreis, geht also durch die Pole. Das ist auch der einzige Spezialfall einer Loxodrome, die den Pol erreicht. Daraus ergibt sich im Umkehrschluss zu dem oben gesagten eine weitere mathematische Schlussfolgerung: Da einzig und allein die Loxodrome 0° den Nordpol erreicht, startet umgekehrt vom Nordpol auch einzig und allein nur die Loxodrome 180°. Der geographische Nordpol ist mathematisch gesehen ein Punkt, von dem aus man in der unendlichen nahen Umgebung nur in Richtung 180° wegkommt. Noch dazu ist die Kursangabe 180° genau am Nordpol nicht definiert: Man könnte mit diesem Kurs vom Nordpol aus auf jedem Meidian fliegen – nach Moskau oder Los Angeles. Lediglich die Ankunft am Südpol wird damit garantiert. In der praktischen Navigation wird dieses Problem umgangen, indem in hohen Breitengraden nach der Gitternavigation (engl. grid navigation) mit polarstereographischen Karten navigiert wird.

Beim zweiten Spezialfall – Schnittwinkel 90° – ist die Loxodrome ebenfalls geschlossen, bildet einen Breitenparallel, ist also im Allgemeinen kein Großkreis. Der einzige Breitenkreis, der ein Großkreis ist, ist der Spezialfall des Äquators, wenn also auf der Loxodrome die geographische Breite konstant 0° beträgt.

Früher wurde in der See- und Luftfahrt oft mit dem Kompass navigiert. Es war günstig, entlang einer Loxodrome zu reisen, da man dann immer nur einer Kompassrichtung folgen musste. Zwar ist die Strecke der Loxodrome immer länger als die der Orthodrome (nur wenn die Loxodrome auf einem Großkreis liegt, können sie gleich lang sein) – dafür muss man aber nicht ständig einen neuen Kurswinkel berechnen. Auf kürzeren Strecken ist die Navigarion auf der Loxodrome nur unwesentlich länger als die Navigation auf der Orthodrome.

In der Kartografie sind auf Karten in der Mercator-Projektion die Loxodrome als gerade Linien abgebildet. Deshalb eignen sich diese besonders für die Navigation in der Schifffahrt.

Im Flugverkehr hingegen werden Lambertsche Schnittkegelprojektionen verwendet.

Berechnung

Die Formel für den Richtungswinkel $\,\eta$ der Loxodrome leitet sich aus der erwähnten Eigenschaft der Mercatorprojektion her, Loxodrome als Geraden abzubilden.

Die Länge wird mit $\,\lambda$ , die Breite mit $\,\phi$ bezeichnet.

In Richtung Westen ist $\,\lambda$ negativ, Richtung Osten positiv; $\,\phi$ ist positiv für Breiten der Nordhemisphäre und negativ auf der Südhalbkugel.

Der konstante Winkel $\eta$ der Loxodrome von A nach B

Die Mercatorprojektion bildet einen Punkt mit den Koordinaten $\,(\phi ,\lambda )$ auf die ebenen Koordintaen $\,(X,Y)$ ab, wobei:

$\,X=M_{X}(\lambda )=\lambda$

$\,Y=M_{Y}(\phi )=\ln \tan({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}})$

Durch die Mercatorprojektion zweier Punkte $\,A=(\phi _{A},\lambda _{A})$ und $\,B=(\phi _{B},\lambda _{B})$ entsteht in der Projektionsebene ein rechtwinkliges Dreieck mit ${\overline {(X_{A},Y_{A}),(X_{B},Y_{B})}}$ als Hypotenuse und dem rechten Winkel bei $\,(X_{B},Y_{A})$ . Für den Winkel $\,\varphi$ bei $\,(X_{A},Y_{A})$ ergibt sich:

$\tan \varphi ={\frac {Y_{B}-Y_{A}}{X_{B}-X_{A}}}={\frac {M_{Y}(\phi _{B})-M_{Y}(\phi _{A})}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}$

Unter Verwendung der zweistelligen Funktion $\,\varphi (y,x)$ die zu den kartesischen Koordinaten $\,x$ und $\,y$ den Winkel der Polarkoordinatendarstellung liefert und als Atan2-Funktion in den meisten Programmiersprachen zur Verfügung steht, erhält man:

$\varphi =\varphi \,(M_{Y}(\phi _{B})-M_{Y}(\phi _{A}),\;\lambda _{B}-\lambda _{A})=\varphi \,\left(\ln {\frac {\tan({\frac {\phi _{B}}{2}}+{\frac {\pi }{4}})}{\tan({\frac {\phi _{A}}{2}}+{\frac {\pi }{4}})}},\;\lambda _{B}-\lambda _{A}\right)$

Der Richtungswinkel $\,\eta$ der Loxodrome, der von Nord über Ost im Uhrzeigersinn berechnet wird, ist dann:

$\eta ={\frac {\pi }{2}}-\varphi$

Die Strecke, die man zwischen Punkt A und B auf der Loxodrome zurücklegt, beträgt:

$l={\sqrt {(\phi _{B}-\phi _{A})^{2}+(M_{Y}(\phi _{B})-M_{Y}(\phi _{A}))^{2}\cdot (\lambda _{B}-\lambda _{A})^{2}}}$

Weblinks

Escher-Bild (M. C. Escher, 1958)