Diskussion:Äquidistante Hyperfläche

Zu wenig

Dieses Lemma gibt mehr her.

Wo ist die mathematische Behandlung?

Wenn y = f(x)

dann ist die Funktionsgleichung der Äquidistante

 yA = Fa(x,d)

wobei d der Abstand sein soll.

Für d gilt: d² = delta²x + delta²y

Ferner gilt: deltay / deltax = y'

Wer wagt sich an eine korrekte Darstellung? Und kann es am Beispiel einer Parabel nachvollziehen.

Ich suche seit Jahrzehnten nach einer korrekten Beschreibung. --Kölscher Pitter 11:50, 4. Dez. 2006 (CET)

Schönes Beispiel für eine Enveloppe. Die Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{r}$ sei stetig diff'bar und habe einen reguläre Nullstellenmenge (diese ist eine $n-r$-dimensionale Untermannigfaltigkeit des $R^{n}$). Für hinreichend kleines $d>0$ ist dann die Äquidistante $A$ mit Abstand $d$ von $f^{-1}(0)$ die Enveloppe der Sphärenschar ${\big (}S_{d}({\bar {x}}){\big )}_{{\bar {x}}\in f^{-1}(0)}$.

Die Sphärenschar wird durch die Gleichungen

${\begin{matrix}\|x-{\bar {x}}\|^{2}&=&d\\f({\bar {x}})&=&0\end{matrix}}$

beschrieben.

Die Enveloppe hat in jedem Punkt $x\in A$ mit einer der Sphären (parametrisiert durch ${\bar {x}}$) den Tangentialraum im Punkt $x$ gemeinsam. Die Tangentialvektoren $dx\in \mathbb {R} ^{n}$ an die Sphäre $S_{d}({\bar {x}})$ im Punkt $x$ genügen den Gleichungen

${\begin{matrix}(1)&&f({\bar {x}})&=&0,\\(2)&&\|x-{\bar {x}}\|^{2}&=&d,\\(3)&\quad &(x-{\bar {x}})^{T}dx&=&0.\end{matrix}}$

Bei der Enveloppe ändert sich im Allgemeinen auch der Scharparameter ${\bar {x}}$. Damit ergeben sich für die Tangentialvektoren der Enveloppe außer den Gleichungen (1) und (2) mit $d{\bar {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$ noch die Gleichungen

${\begin{matrix}(4)&\quad &(x-{\bar {x}})^{T}(dx-d{\bar {x}})&=&0,\\(5)&&f'({\bar {x}})\;d{\bar {x}}&=&0.\end{matrix}}$

Aus (3) und (4) folgt

$(6)\quad (x-{\bar {x}})^{T}d{\bar {x}}=0$

für alle $d{\bar {x}}$ die zu Tangentialvektoren $dx$ im Tangentialraum der Enveloppe korrespondieren, wegen (5) also für alle

$d{\bar {x}}\in \ker f'({\bar {x}})=\left(\operatorname {image} \left(f'({\bar {x}})\right)^{T}\right)^{\perp }.$

Nach (6) ergibt sich daraus

$(x-{\bar {x}})\in \left(\left(\operatorname {image} (f'({\bar {x}})^{T}\right)^{\perp }\right)^{\perp }=\operatorname {image} (f'({\bar {x}})^{T}),$

woraus folgt, dass es $\lambda \in \mathbb {R} ^{r}$ mit

$(7)\quad (x-{\bar {x}})=f'({\bar {x}})^{T}\lambda$

gibt.

Mit (1),(2) und (7) hat man $n+r+1$ skalare Gleichungen für die $2n+r$ Unbekannten $x,{\bar {x}},\lambda$. Unter den gemachten Voraussetzungen definieren diese Gleichungen also eine $n-1$-dimensionale Manngifaltigkeit, die dann gerade die Enveloppe -- sprich die Äquidistante ist. --TN 00:47, 29. Sep. 2007 (CEST)

Beispiel Parabel im $\mathbb {R} ^{2}$

Hier ist $n=2$. Die Gleichungen (2) und (3) lauten:

${\begin{matrix}(1')&\quad &{\bar {x}}_{1}^{2}-{\bar {x}}_{2}&=&0,\\(2')&&(x_{1}-{\bar {x}}_{2})^{2}+(x_{2}-{\bar {x}}_{2})^{2}&=&d\;\end{matrix}}$

und die Gleichung (7) ergibt sich in diesem Beispiel zu

$(2x_{1},\;-1)=\lambda (x_{1}-{\bar {x}}_{1},x_{2}-{\bar {x}}_{2})$

oder komponentenweise geschrieben:

${\begin{matrix}(7'a)&\quad &2x_{1}&=&\lambda (x_{1}-{\bar {x}}_{1})\\(7'b)&&-1&=&\lambda (x_{2}-{\bar {x}}_{2})\end{matrix}}$

--TN 00:52, 29. Sep. 2007 (CEST)

nur ein thema pro artikel

Jeder Artikel sollte nur eine bedeutung eines worts beschreiben. igel+- 22:08, 18. Jul. 2007 (CEST)

Das kapier ich nicht.--Kölscher Pitter 00:37, 19. Jul. 2007 (CEST)