Abbildung (Mathematik)

Allgemeines

Eine Abbildung ist eine Zuordnung zwischen zwei Mengen A und B. Elementen aus A können durch die Abbildung Elemente aus B zugeordnet werden.

Nennen wir die Abbildung f, so schreibt man formal

$f:A\to B$

um auszudrücken, dass f Elemente aus A auf Elemente von B abbildet.

Schreibweisen

Für die Abbildung eines konkreten Elementes a aus A, auf ein Element b aus B vermöge der Abbildung f schreibt man formal

$f(a)=b$

Manchmal lässt man auch die Klammern weg, und nennt f dann Operator

$f\,a=b$

Definitionsmenge einer Abbildung

Die Menge derjenigen Elemente, die durch f eine Zuordnung erfahren bezeichnet man als Definitionsmenge oder Definitionsbereich oder auch Urbildmenge und die Elemente Urbilder und schreibt

${\mbox{Def}}(f)=\{\,a\in A\,|\,\exists b\in B:f(a)=b\,\}$

Nicht alle Elemente aus A müssen durch die Abbildung f eine Zuordnung erfahren, daher gilt

${\mbox{Def}}(f)\subseteq A$.

Bildmenge einer Abbildung

Die Menge derjenigen Elemente, die durch f zugeordnet werden, bezeichnet man als Bildmenge, die Elemente als Bilder oder Werte und schreibt

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \mbox{Bild}(f) = \{ \, b \in B \, | \, \exists a \in \mbox{Def}(f): f(a) = b \, \}} .

Nicht alle Elemente aus B werden durch die Abbildung f zugeordnet, daher gilt

${\mbox{Bild}}(f)\subseteq B$.

Zurückführung auf die Mengenlehre

In der neuzeitlichen Mathematik ist die Mengenlehre das Fundament, d.h. man versucht die mathematischen Konstrukte auf die Mengenlehre zurückzuführen. (Das geht allerdings nur bis zu einer gewissen Grenze, siehe Nicolas Bourbaki). Abbildungen kann man mengentheoretisch auf eine Menge von Paaren zurückführen

Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle F = \{ \, (a, f(a))\, | \, a \in \mbox{Def}(A) \, \}} ,

die als Graph der Abbildung bezeichnet wird. Somit gilt

$F\subseteq A\times B$.

Hinweise

• Eine Abbildung ist eine injektive Zuordnung.

Siehe auch

Mathematik, Mengenlehre